Алмаев1

	1	1	3	4			7	2		1	3	4
							1	0		2	0	3
	2	0	0	8
1.35.					.	1.36.	3	0		4	0	7			.
	3	0	0	2			6	3		2	4	5
	4	4	7	5
							5	1		2	2	3
1.2. Вычисление определителей n-го порядка
Задачи
Вычислить определители приведением к треугольному виду
	a11		a12	… a1 n−2		a1 n−1	a1 n							3		2 2 … 2
	a21		a22	… a2 n−2		a2 n−1		0						2		3 2 … 2
1.37.	a31		a32	… a3 n−2		0		0	.	1.38.				2		2 3	… 2			.
				…												…
	an1		0 … 0			0		0						2		2 2 … 3
	1 2 3 … n							1 2 3 … n −2 n −1 n
	−1 0 3 … n							2 3 4 … n −1									n	n
1.39.	−1	−2		0 … n		1.40.		3 4			5	…				n	n	n				.
				…								…
	−1 −2 −3 … n							n n n … n									n	n

Вычислить определители методом выделения линейных множителей

	1	2	3	…	n			a0	a1	a2	… an
	1	x +1 3		…	n			a0	x a2		… an
1.41.	1	2	x +1 …		n	.	1.43.	a0	a1	x	… an
			…							…
	1	2	3	… x +1				a0	a1	a2	… x

11

			1		1	1	…	1						1		1				2	3
			1	2 − x		1	…	1
														1	2 − x2					2	3
1.42.			1		1	3 − x	…	1		.	1.44.													.
														2		3				1	5
						…								2		3				1	9 − x2
			1		1	1	…	n +1− x
Вычислить определители методом рекурентных соотношений
			2	1	0	… 0			3		2	0		… 0
			1	2	1	… 0			1		3	2		… 0
1.45.			0	1	2	… 0	.	1.46.	0		1	3		… 0				.
					…	0						…
			0	0	0	… 2			0		0	0		… 3
									5		6	0	0		0				… 0		0
			7	5	0	… 0			4		5	2	0		0				… 0 0
			2	7	5	… 0			0		1	3	2		0				… 0 0
1.47.			0	2	7	… 0	.	1.48.	0		0	1	3		2				… 0		0		.
					…								…
			0	0	0	… 7			0		0	0	0		0				… 3 2
									0		0	0	0		0				… 1		3
1.3. Матрицы, операции над матрицами
Определение. Суммой матриц одного порядка																		Amn +Bmn назы-
вается	матрица					Cmn с	элементами				cij = aij +bij ,							где		i =1,..., m,

j =1,..., k.

Определение. Произведением матрицы A на число α называется матрица C того же порядка с элементами cij =α aij .

Определение. Произведением матрицы Amn на матрицу Bnk на-

n

зывается матрица Cmk с элементами cij = ∑ais bsj , где i =1,..., m,

s=1

j =1,..., k.

12

Примеры
1. Вычислить выражение A BT , если
1	0	3
A = 2 (2 1 1), B = −1 2		0 .
2	1	−2

Решение. Прежде всего преобразуем матрицу A , используя определение произведения матрицы на число

A = 2 (2 1 1)= (4 2 2).

Найдем теперь BT . По определению, чтобы получить матрицу

BT необходимо в B поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом, имеем

1		−1	2
BT =	0	2	1 .
	3	0	−2

Вычислим теперь искомое выражение

		1		−1 2
A B	T		0 2		1		=
		=(4 2 2)
			3	0	−2

=(4 1+ 2 0 + 2 3 4 (−1) + 2 2 + 2 0 4 2 + 2 1+ 2 (−2))=

=(10 0 6).
2. Вычислить выражение P( A) , если
3	1		, P(x) = 2x2	−3x + 4 .
A =	2
1

Решение. Выражение P( A) представляет собой матричный многочлен

P( A) = 2 A2 −3 A + 4 E , где			1	0		– единичная матрица.
		E =		1
			0
Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:
3	1	3	1		10 5 20 10			,
2 A2 = 2 A A = 2		1	= 2			=
1	2		2			5 5 10 10

13

3		1 9				3		1		0 4				0
3 A = 3	1	2		=	3	6		, 4	0	1		=	0	4	.

Подставив все это в P( A) , имеем
20 10		9 3			4 0		=	20 −9 + 4 10 −3					+0 15 7
P(A) =	−			+	0 4				10	−3 +0 10 −6			+ 4			=	7 8	.
10 10		3 6
Задачи
							2		1	−1	−1		2
1.49. Найти A + B			T	, если	A =							3	7
											, B =			.
							3		2	0		4	5

1.50. Даны матрицы
	2 0					−1					1 −3 5						0 0 0
			4 3 5								2 1 −7					,C =		2	−2 1
	A =							, B =													.
			0 7			−4					3 4 4							3 4 5
Найти: а)			2A +3BT −C ;								б) ( A − B)T				+ 2C.
1.51. Найти матрицу X , если
−1			3			1			2		−3 T
	2 4
а) 2				+ X		=	−7			8		;
	0		5									9
б) 3 X T +		4			−1				−1			0
					4	=	2			2		−4	.
		3
1.52. Даны матрицы											−1		2	4
	A = 1 0 −2
									, B =			5 6 7				,C = (1 2 3).
			3		9	−5						0	3
														−1
Найти: а)		A CT ;								б)	A B;			в) BT A.
														2		3			−1	0	2
1.53. Найти A B и B A , если A = 1																4 , B =
																				−2	4	.
																			3
														5		6

14

Найти произведения матриц
1.54.	a		b	α		β
				γ			.
	c		d			δ
							1
1.56. (−1			2	2		3)		0	.
								−3
								1
	3 1 2 0 1 −2
1.58.		2	3	1 2				0				−3 .
	−1 0 −2 3 4 5
		3	0	1 −1				1				1
1.60.		2	−1	0			2	−2
													.
		3	0	1			5	0				−1
	−1		1	2		3		1
		0 1 3									−1 2
1.61.							−4	5
		5	1	1			0	2			4		0
		0	4	2

1.62. Вычислить

1.55.	3		−2 3		4
		5	−4			.
				2	5
	5		−1	0	2			1
								2
1.57.		3	4	−1	0				.
								3
		3	2	1	5
								4

1	−3	2 2	5	6
1.59. 3	−4	1 1	2	5 .
2	−5	3 1	3	2

7

6 .

а)

1 −3

2

0

1

0 3

в) 1 1

n

;

б)

2 0

3 ;

;

2

0

0

0

1

0 1

λ

1 n

;

cos α

−sin α n

г)

0

д)

cos α

.

λ

sin α

1.63. Показать, что матрица

A = 2

−1

является корнем мно-

0

3

гочлена P(x) = x2 −5x + 6 .

1.64. Вычислить P( A) , если

а)

A = 3

−1

, P(x) = x3 − 2x2 + x + 4 ;

0

2

15

	1			0		2
б) A =		0	0		−1 , P(x) = 3x2 −4x +1 ;
	0			1		0
	1			−2		3
в) A =		2	−4 1 , P(x) = 3x2 −2x +5 ;
	3			−5		2
	−1			0		0	0
г)	A =	0 2 0					0	, P(x)	= x4	− 2x2 +3x −5 .
		0		0		1	0
		0		0		0	0

1.4. Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица A−1 называется обратной к

квадратной матрице A того же порядка, если AA−1 = A−1 A = E , где E – единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица A имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда det A ≠ 0 .

Утверждение. Элементы cij обратной матрицы A−1 , если она существует, можно найти по формуле

		A	ji		AT
c	=			или c =	ij	,
ij				ij

где = det A, Aji – алгебраическое дополнение к элементу aji матрицы A , AijT – алгебраическое дополнение к элементу aijT транспонированной матрицы AT .

Примеры				1		0	3
1. Найти матрицу C = A	−1	обратную к	A , если		0	2	1
				A =				.
					1	1	0

Решение. Прежде всего вычислим определитель матрицы A , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

16

1 0 3

det A = = 0 2 1 =1 (2 0 −1 1) +3 (0 1− 2 1) = −1−6 = −7 ≠ 0 . 1 1 0

Следовательно, для A существует обратная матрица. Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы об-

ратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам

		1		0	1
T	T		0	2	1
транспонированной матрицы. Для A имеем	A	=				.
			3	1	0

Вычислим последовательно элементы cij :

							1+1									2								1
c	=			AT			=				(−1)					1 0										=				−1				=		1		,
				11
11														−7																−7						7
							1+2												0					1
c		=		AT			=					(−1)							3 0								=				(−1) (−3)												= −			3	,
				12
12														−7																				−7												7
							1+3									0								2
c		=		AT			=				(−1)					3 1											=				(−6)					=		6				,
				13
13														−7																		−7						7
				AT								(−1)2+1								0				1							(−1) (−1)															1
c		=						=												1 0							=																= −				,
				21
21														−7																				−7												7
																					1			1
				AT								(−1)2+2																				(−3)								3
c		=							=												3			0			=									=						,
				22
22														−7																			−7							7
					AT								(−1)2+3										1	0									(−1) 1										1
c		=								=													3	1					=											=				,
					23
23															−7																			−7									7

17

				AT				(−1)3+1	0			1							(−2)										2
c	=				=				2			1				=										=							,
		31
31								−7														−7							7
				AT				(−1)3+2			1	1								(−1) 1													1
c	=						=				0	1				=														=				,
				32
32								−7															−7										7
									1			0
				AT				(−1)3+3														2								2
c	=					=			0			2					=								= −								.
			33
33								−7													−7									7
С учетом полученного обратная к A матрица имеет вид
																						1			1								−3		6
								C = A					−1
																		=									−1 3								1	.
																						7
																											2							1	−2
2. Решить матричное уравнение
								A X =			B , где A =															2							1		B =	3		1
																											2						3	,			4	.
																																						5

Решение. Такое матричное уравнение, если определитель матрицы A отличен от нуля, удобно решать путем умножения обеих

частей уравнения слева на матрицу A−1 . В этом случае для искомой матрицы получим

A−1 A X = A−1 B и поскольку A−1 A = E , то X = A−1 B .

Найдем теперь выражение для A−1 . Детерминант матрицы A равен 4. Пользуясь формулами, определяющими элементы обратной матрицы, имеем

		3						−		1
														1	3			−1
		4								4
A−1 =													=							.
																		2
		−		1				1					4		−2
				2				2
Учитывая последнее, для X получим
X = A−1 B =	1							3 −1 3 1											1	5 −2
																	=					.
	4						−2 2											4			2 8
													4 5

18

Задачи
1.65. Какая из матриц													B,C, D является обратной к матрице													A ,
если A =		1 2							1 3						4 −3 2					D =		4		−1
					, B =									, C =					,						.
		3 8							2 8						−4 1 2							−3 2 1 2
1.66. При каких λ существует A−1 , если
				2				4 −1											−1			2 λ
a)					0			0 3					;							λ		3 0
	A =																б) A =							;
				λ −2 2 1															λ −1 5 λ
				λ	λ	2	−1		0
в) A = 1						λ			0 .
				3		4			2
Найти матрицу, обратную к данной, если она существует
1.67.	a b							1.68.			2			−3			1.69.		3 4					4 5
					.										.					.		1.70.				.
	c d										1			−4					5 7					5 6
	2 0							0						1 2 2								3 −4 5
1.71.		0		1 2				0							2	1		−2					2	−3	1
									.		1.72.								.	1.73.						.
		0 0 1 3													2	−2 1							3
																								−5 −1
	−10 12							−10								2 5 7
1.74.			−17			6			7					1.75.			6	3	4
										.										.
				8		0			−8								5	−2
																			−3
	−3				1			9								1		−3	0	0
																	0	1	0	0
1.76.			−5		−3			8	.					1.77.							.
																	0	0	2	1
			−4		−1			5
																	0	0	1	1
	1 0 0 0															0 0 −1 3
			−1		1			0		0							1	−5	0		2
1.78.											.			1.79.								.
			1 −1 1 0														0	0 3 4
			−1 1					−1 1									0	0 7 8

19

Решить матричные уравнения
1.80.		1 2								3 5				1.81.			3 −2			−1 2
		3			X =					5 9		.					X	−4	=	−5 6	.
				4													5
1.82.		3		−1						5 6 14 16
		5		−2			X						=	9 10			.
										7 8
1.83.		−1 2								1 0 −2 −12
		0 1					X						=	1			.
										2 4						−4
			1 2 −1 1 −2 5
				0	4								14			−7
1.84. X							−2				= 1						.
				1 0 2
										1 20					−12
		1		2 −3								1 −3 0
1.85.		3		2			−4		X =					2		7
												10					.
		2		−1 0
												10 7 8
		1		−1 0								1 2			−1 6
1.86.		2		4					X +					4
							−1					−1				= −1 2		.
		0		1 2									0 5				5 12

1.5. Базисный минор, ранг матрицы

Определение. Минор r -го порядка матрицы A называется ее базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы A порядка (r +1) и выше, если они существуют, равны нулю.

Определение. Ранг матрицы – это порядок ее базисного минора. Для ранга матрицы A используются такие обозначения:

r( A), rg( A) .

Утверждение. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).

Утверждение. Ранг матрицы не меняется

-при транспонировании матрицы;

-при перестановке ее строк и столбцов;

-при умножении всех элементов ее строки (столбца) на число, отличное от нуля;

20