Алмаев1

Утверждение. Система векторов v1 ,...,vk линейно зависима то-

гда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов данной системы.

Примеры

1. Являются ли линейно зависимыми (независимыми) векторы a1 = (2, −3, 1), a2 = (3,−1,5), a3 = (1, −4,3).

Решение. По определению линейная зависимость или независимость векторов устанавливается исходя из условия равенства нулю линейной комбинации этих векторов

α1a 1 +α2a2 +α3a3 = 0

или в развернутом виде

α1a11 +α2a12 +α3a13 = 0, α1a 21 +α2a22 +α3a23 = 0,

α1a 31 +α2a32 +α3a33 = 0.

Если эти равенства выполняются при условии, что хотя бы один из коэффициентов α1, α2, α3 отличен от нуля, то векторы линейно зависимы. Записанные равенства представляют собой однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов α1, α2, α3. Эта система имеет нетривиальное решение (т.е. решение, в котором не все α одновременно равны нулю) только при условии равенства нулю определителя системы. В рассматриваемом случае определитель системы равен

A =	2	3	1
	−3	−1	−4	= 2 (−3 + 20) −3 (−9 + 4) +1 (−15 +1) = 35 ≠ 0.
	1	5	3

Таким образом, система имеет лишь тривиальное решение и исходная совокупность векторов линейно независима.

2. При каких λ вектор b = (7, −2,λ) линейно выражается через векторы

a1 = (2,3, 5), a2 = (3,7, 8), a3 = (1, −6,1).

Решение. По условию задачи надо найти такие λ , при которых выполняется равенство

b =α1a 1 +α2a2 +α3a3

41

или в развернутом виде

α1a11 +α2a12 +α3a13 = b1,

α1a 21 +α2a22 +α3a23 =b2 ,

α1a 31 +α2a32 +α3a33 = b3.

Записанные соотношения представляют собой систему неоднородных линейных уравнений относительно α1 ,α2 ,α3 – коэффици-

ентов линейной комбинации. В соответствии с теоремой Кронеке- ра-Капелли эта система совместна, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Выпишем расширенную матрицу для заданных условий:

	2		3	1		7
		3	7	−6		−2
A =
		5	8	1		λ

Сначала определим ранг основной матрицы. Видно, что отличные от нуля миноры второго порядка в матрице имеются, например, минор, стоящий в левом верхнем углу. Вычислим теперь минор третьего порядка (определитель) основной матрицы

2 3 1 = 3 7 −6 = 2 (7 + 48) −3 (3 +30) +1 (24 −35) = 0 .

5 8 1

Следовательно, ранг основной матрицы равен двум. Таким образом, рассматриваемая система будет совместна, если ранг расширенной матрицы также будет равен двум. Для этого необходимо, чтобы второй минор третьего порядка расширенной матрицы был равен нулю, т.е.

2	3	7
3	7	−2	= 0,
5	8	λ

откуда следует

2 (7λ +16) −3 (3λ +10) +1 (24 −35) = 0, 14λ +32 −9λ −30 −77 = 0, 5λ = 75, λ =15.

42

Задачи

3.7. Зависимы ли векторы а) a = 4e1 + e2 , b = 2e1 +3e2 ;

б) a = (2, −2,1) , b = (3,4,2) , c = (−1,0,1) ;

в) a1 =3e1 + 2e3 , a2 = e1 + 4e2 +7e3 , a3 =3e3 −e2 .

3.8. При каких значениях параметра α зависимы векторы а) a = (3 −α,2) , b = (2, −α) ;

б) a = (3 −α,0,0) , b = (2,α,0) , c = (10, −5,1) ; в) a = (3,α) , b = (α,1) , c = (0,5) ;

г) a = (0,7,α,1) , b = (1,2,5,2) , c = (0,0, −1,3) .

3.9. Является ли вектор d = (1,1,1) линейной комбинацией век-

торов a = (2,0, −2) , b = (3, −1,1) , c = (−2,1,0) ?

3.10.Является ли вектор c = (2, −1,3) линейной комбинацией векторов a = (1,1,1) и b = (0, −1,1) ?

3.11.При каких λ вектор d = (8,λ,12) линейно выражается че-

рез векторы a = (2, −1,3) , b = (3,1,4) , c = (1, −1,2) ?

3.12.При каких λ вектор d = (3 −3λ)e1 +(λ + 2)e2 −4e3 линейно

выражается через векторы

a1 =3e1 +λe2 + 4e3 , a2 =λe1 +e2 +3e3 , a3 = 5e2 +e3 ?

3.13. Является ли линейно независимой система векторов в линейном пространстве квадратных матриц данного порядка:

a)		−1	2	2		−4			;
		0	3	,		−6
				0
		2	1	0		−1 1				1			1	2	1
b)		−1 0		3			0		2	−2			−1 2		1
						,						,				.
		1	1	2			0		−1 1				1	0	3

3.14. Является ли линейно зависимой система векторов в линейном пространстве многочленов степени не выше 2:

а) x2 −1 , 3x + 2 ;	б) 1,1+ x , (1+ x)2 ;
в) 2x +3 , x −2 , 3x −1 .

43

3.15. Является ли линейно независимой система векторов в линейном пространстве функций специального вида, заданных на указанном множестве:

а) sin x,cos x,cos 2x при		π	;	π		;
	x −	2		2

б) sin2 x,cos2 x,cos 2x при x (0;π); в) e−x ,1, ex при x (−∞;∞);

г) x , 1x ,1 при x (0;1).

3.16.Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.

3.17.Доказать, что система векторов линейно зависима, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов данной системы.

3.18.Доказать, что система векторов линейно независима, если ни один из этих векторов не является линейной комбинацией остальных векторов данной системы.

3.3. Базис и размерность линейного пространства Определение. Базисом линейного пространства V называется

линейно независимая система векторов v1 ,...,vn из V такая, что любой вектор из пространства V можно представить в виде линейной комбинации векторов v1 ,...,vn .

Определение. Размерностью линейного пространства V называется количество векторов в базисе этого пространства. Обозначается dim V .

Утверждение. Базисом линейного пространства решений однородной системы является ее фундаментальная система решений.

Утверждение. dim Rn=n.

Примеры

1. Образуют ли базис в пространстве R3 векторы a1 = (1,0,0), a2 = (0,1,0), a3 = (1,1,0) ?

Решение. По определению базис составляют линейно независимые векторы. Линейная зависимость (или независимость) опреде-

44

ляется исходя из анализа равенства нулю линейной комбинации этих векторов:

αa1 +βa2 + γa3 = 0 .

Последнее векторное уравнение после записи его по компонентам представляет собой систему трех однородных уравнений относительно α,β, γ . Согласно схеме исследования линейной зависимо-

сти векторов (см. пример 1 из раздела «Линейная зависимость и независимость векторов») вычислим определитель матрицы, со-

ставленной из координат векторов
=		1	0	1		= 0
		0	1	0
		0	0	0

Определитель системы равен нулю, следовательно, она имеет нетривиальное решение, и это означает, что исходная группа векторов линейно зависима и не образует базис в R3.

2. Найти размерность и один из базисов линейного пространства решений однородной системы:

3x1 − x2 + x3 + x4 − x5 = 0, x1 +3x2 − 2x3 + x4 − x5 = 0,

4x1 + 2x2 − x3 + 2x4 −2x5 = 0.

Решение. Представленная система состоит из трех уравнений и содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований, сначала поменяв местами строки 1 и 2, а затем вычитая новую первую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно из второй и третьей строк:

	3	−1 1 1		−1			1	3	−2 1	−1
	1	3	−2 1	−1			3	−1 1 1		−1		~
A =						~
	4	2	−1 2	−2			4	2	−1 2	−2

1		3	−2	1	−1			1	3 −2 1 −1
	0	−10	7	−2	2
~							~	0	−10 7 −2 2	.
	0	−10	7	−2	2

45

Видно что ранг матрицы A равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, а три – свободными. Значит ФСР системы содержит 5 – 2 = 3 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных x1 , x2 . Это можно сделать, т.к. минор 2-го поряд-

ка, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид

x1 +3x2 − 2x3 + x4 − x5 = 0,

−10x2 +7x3 −2x4 + 2x5 = 0.

Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение

x1 = −0.1x3 −0.4x4 +0.4x5 ,

x2 = 0.7x3 −0.2x4 +0.2x5 .
или иначе:
−0.1x		−0.4x		+ 0.4x
	0.7x 3	−0.2x	4	+0.2x 5
	3		4	5
X =		x			.
		3
		x4
		x5

Фундаментальная совокупность решений, составленная в соответствии с изложенным алгоритмом (см. пример 4 в разделе «Системы линейных алгебраических уравнений»), является базисом линейного пространства решений исходной системы и в данном слу-

чае имеет вид
		−0.1					−0.4					0.4
		0.7					−0.2					0.2
X1	=	1		,	X2	=	0		,	X3	=	0	.
		0					1					0
		0					0					1

Размерность искомого пространства равна 3.

46

Задачи

3.19. Является ли базисом пространства R3 система векторов:

а) a1 = (0,0,1) , a2 = (0,3,1) , a3 = (1,2, −7) ; б) a1 = (3,0,5) , a2 = (1,2, −1) ;

в) a1 = (1,2, −1) , a2 = (2,3,4) , a3 = (−1,7,2) , a4 = (3,4,6) .

3.20. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы:

	1 2 −3					x		0			3x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0
						1
а)	2		−1 1			x2		= 0	;	б)	x + 2x −4x −2x = 0								;
						x					1		2	3		4
						3
	x1 + 2x2 − x3 = 0										1 2 −3 1				x				0
																1
в)	3x − x + 2x = 0 ;									г)		2 4 −1 −1			x2			=		0		;
		1	2		3	= 0						3 6			x
	4x		+ x	+3x									−4 0			3				0
		1	2		3											x
																4
д)			x + x + x + x + x = 0							.
			1	2		3	4	5
	2x1		+ 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 = 0

3.21. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства всех векторов, выходящих из начала координат и

x +3y −		4z = 0			;
а) лежащих на прямой
2x − y + z = 0
б) перпендикулярных прямой	x	=	y	=	z		;
					−1
3		0
в) лежащих в плоскости x + 2 y −3z = 0 ;
г) перпендикулярных плоскости 2x − y −4z = 0 .

3.22. Вектор x = (1,2) разложить по базису a1 = (2,1) , a2 = (3, −1) .

3.23. Данный вектор x ,		разложить по указанному базису
a1 , a2 , a3 :
а)	x = (5, −3,1) , a1 = (2,1,3) , a2	= (−3,4,2) , a3 = (1, −1,3) ;
б)	x = (1,9, −5) , a1 = (2,3,1) , a2 = (−1,2, −4) , a3 = (2, −1,3) .

3.24. Дополнить до какого-либо базиса соответствующего пространства Rn систему:

47

а) a1 = (−2,3,1) , a2 = (1,0, −4) ;

б) a1 = (1, −1,2,3) , a2 = (2, −2,2,3) , a3 = (2, −1,3,0) ; в) a1 = (1, −1,1, −1) , a2 = (2,0,1,3) .

3.25. При каких значениях параметра λ векторы образуют базис пространства R3:

а) a1 = (1, −1,2) , a2 = (0,2,1) , a3 = (3,λ, −1) ;

б) a1 = (−1,2,λ) , a2 = (λ,3,0) , a3 = (λ −1,5,λ) ;

в) a1 = (λ,λ2 −1,0) , a2 = (1,λ,0) , a3 = (3,4,2) .

3.26. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства а) многочленов степени не выше n;

б) квадратных матриц порядка n;

в) прямоугольных матриц размера m × n; г) симметричных матриц порядка n;

д) диагональных матриц порядка n.

3.27. Доказать, что система 1,1+ x,(1+ x)2 ,...,(1+ x)n образует

базис пространства многочленов степени не выше n.

3.28. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства положительных чисел, в котором сумма произвольных чисел x и y вычисляется как x y, а произведение вещественного числа α на произвольное положительное число x вычисляется как xα .

3.4. Координаты вектора

Определение. Координатами вектора x в базисе v1 ,...,vn называются числаx1 ,..., xn , для которых выполняется равенство

x1 v1 +...+ xn vn = x .

Определение. Матрицей перехода от базиса a1,..., an к базису b1 ,...,bn называется матрица вида

	c11	c12	..	c1n
	c	c	...	c		,
T = 21		22	...	2n
	...	...		...
	c	c	...	c
	n1	n2		nn
где для каждого j = 1,	…, n	в j-ом столбце стоят координаты
(c1 j ,c2 j ,...,cnj ) вектора bj	в базисе a1,..., an .
48

Утверждение. Координаты (α1,α2 ,...,αn )										вектора x	в базисе
a1,..., an	и координаты (β1 ,β2 ,...,βn )						этого же вектора				в базисе
b1 ,...,bn	связаны равенством
		α					β
		1					1
		α2		=T			β2		,
				a→b
		αn
							βn
где Ta→b	– матрица перехода от базиса a1,..., an									к базису b1 ,...,bn .

Утверждение. Матрица перехода Ta→b от базиса a1,..., an к базису b1 ,...,bn и матрица обратного перехода Tb→a от базиса b1 ,...,bn к базису a1,..., an связаны равенством Ta→b =Tb−→1 a .

Примеры

1. Найти координаты вектора x в базисе e1′,e2′, если известно

x = 2e1 −5e2 , e1′ = e1 +3e2 , e2′ = e1 −e2 .

Решение. В соответствии с определением матрица перехода от

базиса e1,e2 к базису e1′,e2′ есть
Te→e′	1	1
	=	.
	3	−1
Обозначим координаты вектора x		в базисе e1,e2 через ξ1 ,ξ2 , а в

базисе e1′,e2′ через η1,η2 . Искомые координаты η1,η2 связаны с известными координатами ξ1,ξ2 следующим соотношением:

	η			ξ				ξ
	1		=Te′→e	ξ	1		=Te−→1e′	ξ	1	.
	η				2				2
	2
Видно, что для получения координат η1,η2										необходимо вычис-

лить матрицу, обратную Te→e′ . Используя стандартную процедуру (см. пример 1 из подраздела «Обратная матрица»), имеем

	Te−→1e′ =	1	1		1
					.
		4		3
					−1

Вычислим теперь координаты η1,η2 :

49

																					−		3
	η			1	1		1	2			1		2 −5			1		−3
																							4
	1		=							=					=					=					.
				4		3		−5			4		6 +5			4		11
	η2						−1														11
																					4

2.	Найти матрицу перехода от базиса a1 , a2 к базису b1 ,b2 по
данным разложениям этих векторов в базисе e1 ,e2 :
	a1 = e1 + 4e2 , a2 = 3e1 +5e2 , b 1 = 7e1 +e2 , b2 = e2 .
Решение. Чтобы построить матрицу Ta→b перехода от базиса a1 , a2
к базису b1 ,b2 ,				необходимо найти разложение векторов b1 ,b2 по ба-
зису	a1, a2 . Сделаем это, представив															b1 ,b2			в виде разложения по
a1 , a2	с неизвестными координатами, которые требуется определить:
				b1 =α1 a1 +α2 a2 ,										b2 =β1 a1 +β2 a2
или с учетом вида этих векторов в базисе e1 ,e2
		7				1			3						0				1	3
	=α1					+α2 ,										=β1			+β2 .
		1				4			5						1				4	5
Откуда для координат α1,α2 ,β1,β2																имеем
	α1 +3α2 = 7, 4α1 +5α2 =1; β1 +3β2 = 0, 4β1 +5β2 =1,
	α = −		32	, α		=	27	; β =		3		, β			= −		1	.
					2									2
	1	7				7		1	7								7
Теперь, зная разложение b1 ,b2													по a1 , a2 , выпишем матрицу Ta→b :
								Ta→b = −			1		32					−3
																			.
																	1
									7				−27
Задачи
3.29. Найти координаты вектора																x	в базисе			e1′,...,en′ , если из-
вестны следующие разложения по базисам e1 ,...,en																				и e1′,...,en′ :
а) x = 2e1 −3e2 , e1 = e1′ + 2e2′ , e2 =3e1′ + 2e2′ ;

б) x = e1 −e2 +e3 , e1 =3e2′ +e3′, e2 = e3′ −2e1′, e3 = e1′ +e2′ −e3′ .

3.30. Пользуясь определением, найти координаты вектора x в указанном базисе a1,..., an :

50