Алмаев1

-при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других ее строк (столбцов);

-при удалении (вычеркивании) из нее строки (столбца) из нулей;

-при удалении из нее строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).

Методы вычисления ранга матрицы

1.Метод упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований. Упрощения производятся с использованием свойств ранга матрицы. Как и в случае с определителями, можно, например, с помощью 1-й строки занулить все элементы первого столбца кроме одного – верхнего. Далее с помощью второй строки занулить все элементы второго столбца кроме двух верхних и т.д., пока матрица не приведется к ступенчатому виду.

2.Метод окаймления. Ищется минор M порядка s , заведомо от-

личный от нуля. Затем вычисляются все окаймляющие (т.е. содержащие M ) миноры s +1-го порядка. Если среди них найдется хоть один, отличный от нуля, то ищутся окаймляющие миноры следующего порядка. Процедура продолжается до тех пор, пока для какогото, отличного от нуля, минора r -го порядка все окаймляющие миноры не окажутся равными нулю. Тогда ранг матрицы равен r.

Примеры

1. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы

2		3	5	−3	−2
	3 4 3			−1	−3
A =						.
	5	6	−1	3	−5

Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой:

	2	3	5	−3	−2			2	3	5 −3 −2				1	1	−2 2	−1
	3	4	3	−1	−3			1	1	−2 2				2	3	5 −3 −2
A =							~				−1		~					.
	5	6	−1 3 −5					5	6	−1 3	−5			5	6	−1 3	−5

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

21

	1	1	−2 2	−1			1	1	−2 2 −1
	2	3	5 −3 −2				0	1	9	−7	0
A ~						~						.
	5	6	−1 3	−5			0	1	9	−7	0

Третья строка равна второй, и ее можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:

1		1	−2	2	−1
A ~	0	1	9	−7	0	.

В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например, минор 10 11 . Этот минор можно выбрать в качест-

ве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: rg( A) = 2 .

2. Вычислить методом окаймления ранг матрицы

1		2	1	4
	0	1	−1	3
A =					.
	2	5	1
				11

Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:

1 2 =1 ≠ 0 .

0 1

Теперь вычислим миноры, окаймляющие данный. Таких два:

	1	2	1
	0	1	−1			=1 (1+5) + 2 (−2 −1) = 6 −6 = 0 ,
	2	5	1
	1	2	4			=1 (11−15) + 2 (6 −4) = −4 + 4 = 0 .
	0	1	3
	2	5	11

Таким образом, оба окаймляющих минора равны нулю и, следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: rg( A) = 2 .

22

Задачи

1.87. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы

	1	0	0				− 2 −1 3						1	3	0	0	0
	0	0	0		;		4	2	− 6		;		2	4	0	0	0		;
а)						б)						в)
	0	0					2	1	− 3				0	0	0	2	3
			−1

	−1		3	3				0	0	0	0
								0	0	1	0
г)		2 −6 0				;	д)					.
								0	0	0	1
		−3	9	−3
								1	0	0	0

1.88. С помощью элементарных преобразований найти ранг мат-

рицы											0	1	2	−1
		2 −1 3 −2 4
а)		4 −2 5 1 7							;	б)	0 2 4 −2 ;
											1	3	−2		4
		2	−1	1	8	2
											1	6	4		1
		−1 0 2 4									1 2 −1 −2
		2 1									0 1 2 3
					3 −1
в)		1	1		5	3	;			г)	1 2 −1 0					;
		−4 −2 −6 2									1 3 1 1
		0 1 7 7									2 5 0 1
		24	14	17		15					24	19		36		72	−38
		23	13	16		14					49	40		73		147	−80
д)								;		е)								.
		47	27	33		29					73	59		98		219	−118
		3	0		0	5					47	36		71		141	−72
1.89. Найти все значения λ , при которых ранг матрицы
		1 3 −4									λ	2		3
а)		λ	0	1							0	λ − 2		4		равен 2;
					равен 2;					б)
		4 3 −3									0	0		7

23

1		−1	2
	0	2	1		равен 3.
в)
	3	λ
			−1

1.90. В зависимости от λ исследовать ранг матрицы

	1		λ		−1	2			3		1	1	4
										λ	4	10 1
а)		2 −1 λ 5 ;							б)					;
										1	7	17	3
			10		−6
	1					1				2	2	4	3
		−1 2			3	4				2		−1 4 0
		0		1	λ	2				4	−2 0 λ
в)								;	г)						.
		1 −3 0				−6				8	−4 8 λ
		−2 4			6	8				6	−3 12 0

24

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Система линейных алгебраических уравнений, содержащая m уравнений и n неизвестных, имеет следующий вид:

a x + a

x

+... + a

x

= b

11

1

12

2

1n

n

1

a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn

= b2

..............................................

a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

= b

m1

1

m2

mn

m

a

a

... a

11

12

1n

или в матричной записи

a21 a22 ... a2n

– основная

Ax =b , где A =

.................

a

m1

a

... a

m2

mn

x

b

1

1

матрица системы,

x =

x

–

столбец

неизвестных,

b

–

2

b = 2

...

...

xn

bm

столбец свободных членов.

a11

a12 ...

a1n

b1

a

a

...

a

b

называют

расширенной

Матрицу A =

21

22

2n

2

.... .... ...

...

...

am2 ...

amn

am1

bm

матрицей системы.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется прямоугольной, если m ≠ n , и квадратной, если m = n .

Определение. Система линейных алгебраических уравнений

называется однородной, если b = 0 , т.е., если столбец свободных членов состоит из одних нулей.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется неоднородной, если b ≠ 0 .

25

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Совместность системы может быть определена с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

Теорема. Для того , чтобы система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы.

Определение. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. rgA = rgA , то ранг матрицы системы называ-

ют рангом системы.

Замечание. Если ранг системы равен числу неизвестных, то система определенная.

Теорема (Крамера). Если матрица квадратной системы невырожденная, то система определенная.

В этом случае решение системы может быть найдено по формулам Крамера.

Теорема. Если ранг однородной системы меньше числа неизвестных, то такая система имеет фундаментальную совокупность решений, состоящую из n −r решений, где n − число неизвестных, r − ранг системы.

Определение. Совокупность решений однородной системы называется фундаментальной, если выполняются два условия: 1) эта совокупность линейно независимая; 2) любое решение однородной системы может быть линейно выражено через эту совокупность.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

К ним относятся

-перестановка любых двух уравнений;

-умножение обеих частей одного уравнения на любое число, отличное от нуля;

-прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему в эквивалентную.

26

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений состоит в том, что с помощью элементарных преобразований последовательно исключаются неизвестные, и данная система превращается в ступенчатую. Приводить к ступенчатому виду удобнее не саму систему, а ее расширенную матрицу, выполняя все преобразования над ее строками.

Формулы Крамера. Решение неоднородной системы n уравнений с n неизвестными, имеющей невырожденную основную матрицу системы, находится по формулам

xj = j , j =1,2,...,n ,

где = det A – определитель системы; j – определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой ее j -го столбца столбцом свободных членов.

Примеры

1. Решить систему уравнений

2x1 − x2 − x3 +3x4 =1, 4x1 −2x2 − x3 + x4 = 5, 6x1 −3x2 − x3 − x4 = 9,

2x1 − x2 + 2x3 −12x4 =10.

Решение. Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1, соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

2		−1	−1	3		1			2	−1	−1 3			1
	4	−2	−1	1		5			0	0	1	−5		3
A =								~							.
	6	−3	−1	−1		9			0	0	2	−10		6
	2	−1	2 −12			10			0	0	3	−15		9

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвертой строк:

27

2		−1 −1 3				1		2		−1 −1 3				1
	0	0	1	−5		3			0	0	1	−5		3
	0	0	2	−10				~	0	0	0	0
						6								0
	0	0	3	−15		9			0	0	0	0		0

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

2x1 − x2 − x3 +3x4 =1,

x3 −5x4 = 3.

Полученная упрощенная система представляет собой систему из двух уравнений для четырех неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два – за свободные, через которые будут выражены главные. В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать x1 , x3 .

Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

13 =		2	−1		= 2 ≠ 0 .
		0	1

Теперь из второго уравнения выразим x3 через x4 . Затем подставим его впервоеуравнение и найдем x1 через x2 , x4 . Витогеполучим x1 = 12 x2 + x4 + 2,

x3 =5x4 +3.

Переменные x2 , x4 принимают произвольные значения. Положив x2 = λ2 , x4 = λ4 , общее решение системы можно записать в виде

x			1		λ		+λ				+ 2
						2				4
	1			2
							λ2
X = x2			=									.
x					5λ				+3
	3
x								4
	4						λ4

28

2. Решить с помощью формул Крамера систему уравнений x1 + 2x2 + x3 = 4,

3x1 −5x2 +3x3 =1,

2x1 +7x2 − x3 =8.

Решение. Убедимся, прежде всего, в том, что определитель системы отличен от нуля:

	1	2	1
=	3	−5	3	=1 (5 −21) −2 (−3 −6) +1 (21 +10) = 33 .
	2	7	−1

Вычислим теперь остальные, входящие в формулы Крамера, оп-

ределители:
		4					2	1
1 =		1					−5	3			= 4 (5 − 21) − 2 (−1− 24) +1 (7 + 40) = 33 ,
		8					7	−1
2 =						1	4	1		=1 (−1 − 24) −4 (−3 −6) +1 (24 − 2) = 33 ,
						3	1	3
						2	8	−1
					1		2	4
3 =					3		−5	1	=1 (−40 −7) −2 (24 − 2) + 4 (21+10) = 33 .
					2		7	8

Подставив полученные значения определителей в формулы Крамера, имеем

x	=	1 =	33	=1, x	=	2 =	33	=1, x	= 3 =	33	=1.
1			33	2			33	3	33

Правильность представленного решения можно проверить подстановкой значений x1, x2, x3 в исходную систему уравнений.

3.Исследовать на совместность и, если совместна, найти общее

иодно частное решение системы уравнений

x1 −2x2 + x3 = 3, x1 +3x2 − x3 =1, 3x1 + 4x2 − x3 =5.

29

Решение. Прежде всего, используя теорему Кронекера-Капелли, определим, является ли данная система уравнений совместной. Для этого выпишем расширенную матрицу системы

1		−2	1		3
	1	3	−1		1
A =						.
	3	4	−1		5

Вычислим вначале ранг основной матрицы. Видно, что минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:

	1	−2		= 3 + 2 =5 ≠ 0 .
	1	3

Посмотрим теперь, чему равен минор третьего порядка (определитель) основной матрицы:

		1	−2	1
=		1	3	−1		=1 (−3 + 4) + 2 (−1+3) +1 (4 −9) = 0.
		3	4	−1

Таким образом, ранг основной матрицы равен двум: rg( A) = 2 .

Для определения ранга расширенной матрицы необходимо вычислить еще один, оставшийся, минор третьего порядка

1 =		1	−2	3		=1 (15 −4) + 2 (5 −3) +3 (4 −9) = 0.
		1	3	1
		3	4	5

Следовательно, ранг расширенной матрицы также равен двум rg( A) = 2 . Значит, в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли,

рассматриваемая система уравнений совместна. Принимая за независимые первые два уравнения, содержащие базисный минор, исходную систему можно переписать в виде

x1 − 2x2 + x3 = 3,

x1 +3x2 − x3 =1.

Здесь главными являются относящиеся к базисному минору неизвестные x1 , x2 . Выражая их через x3 получим

x	=	11− x3	,	x	2	=	2x3 −2	.
1		5				5

30