Контрольная работа №2
Раздел 1.5
Задача 1.6
Даны вершины пирамиды A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4). Найти: а) угол между гранями АВС и ABD;
б) каноническое и параметрические уравнения прямой CD;
в) уравнения плоскости параллельной плоскости АВС, проходящую через точку D;
г) каноническое уравнение высоты пирамиды.
x1=7 x2=5 x3=5 x4=2
y1=2 y2=7 y3=3 y4=3
z1=2 z2=7 z3=1 z4=7
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}={-2, 5, 5} Длина ребра АВ=7.3 Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}={0, -4, -6} Длина ребра ВC=7.2 Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}={-2, 1, -1} Длина ребра АC=2.4 Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}={-5, 1, 5} Длина ребра АD=7.1 Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}={-3, -4, 0} Длина ребра BD=5 Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={-3, 0, 6} Длина ребра CD=6.7
А) Угол между гранями ABC и ABD
Угол между гранями равен углу между нормалями к этим граням
Уравнение плоскости ABC: -5x - 6y + 4z + 39 = 0
Уравнение плоскости ABD: 20x - 15y + 23z-156 = 0
γ = arccos (0.27) = 74.338o
Б) Каноническое и параметрические уравнения прямой CD
Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={-3, 0, 6}
С (5; 3; 1) D (2; 3; 7)
Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
= ==t
X = 5 – 3t Y = 3 + t Z = 1 + 6t
В) Уравнения плоскости параллельной плоскости АВС, проходящую через точку D
Решение: Вектор n ( -5; -6; 4) есть нормальный вектор плоскости ABC = -5x – 6y + 4z + 39 = 0.
Уравнение плоскости, которая проходит через точку D (2; 3; 7) и имеет нормальный вектор n = (-5; -6; 4), имеет вид
-5 * (x – 2) – 6 * (y – 3) + 4 * (z – 7) = 0 ↔ -5x – 6y – 4z + 51 = 0.
Это искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.
Г) Каноническое уравнение высоты пирамиды.
Уравнение плоскости ABC: −5x − 6y + 4z + 39 = 0 или, если умножить на -1: 5x + 6y - 4z – 39 = 0
Получаем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через точку D (т.е. высоту пирамиды)
Из уравнения плоскости 5x + 6y - 4z – 39 = 0 берем коэффициенты при x,y,z и получаем нормальный вектор: {5, 6, -4}. Параметрическое уравнение прямой с заданным направляющим вектором (A,B,C) и проходящей через данную точку (2, 3, 7):
x= 2+At y= 3+Bt z= 8+Ct
Подставляем нормальный вектор плоскости и точку D:
x= 2+5t y= 3+6t z= 7-4t
Получили параметрическое уравнение высоты пирамиды. Если нужно каноническое уравнение, в каждом уравнении выражаем параметр t, а потом приравниваем:
t = t = t =
Уравнение высоты: t = t = t =
Задача 1. 7.
Даны три точки на плоскости: A(0;2) B(6;6) С(-12;3)
Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты, опущенной из вершины A;
в) уравнение медианы, опущенной из вершины B;
г) уравнение прямой, параллельной прямой BС, проходящей через точку
А;
д) угол при вершине B.
А) Уравнение стороны AB
Решение: Даны три вершины треугольника, поэтому уравнения сторон будем искать ка уравнение прямой, проходящей через две заданные точки = Подставляем координаты вершин: уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(0;-2) и B(6;6
AB = =
Б) Уравнение высоты, опущенной из вершины A
Решение:
Прямая, проходящая через точку A(0;-2) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: Найдем уравнение высоты через вершину Ay = -6x -2 или y +6x + 2 = 0
В) Уравнение медианы, опущенной из вершины B
Решение: Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. M(-6;1/2) Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(6;6) и М(-6;1/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой: илиили y =11/24x + 13/4 или 24y -11x - 78 = 0
Найдем длину медианы: Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
ВМ = √(-6-6)2 + √( -6)2 = √122 + ()2 = √=√697
Г) Уравнение прямой, параллельной прямой BС, проходящей через точку А
Решение: Прямая, проходящая через точки В(6; 6) и С(-12; 3), представляется уравнениями: Уравнение прямой BC Каноническое уравнение прямой:
y = 1/6x + 5 или 6y -x - 30 = 0
Уравнение прямой BC: y = 1/6x + 5 Уравнение AB параллельно BC находится по формуле: y - y0 = k(x - x0) Подставляя x0 = 0, k = 1/6, y0 = -2 получим: y-(-2) = 1/6(x-0) y = 1/6x -2 или 6y -x +12 = 0
Д) Угол при вершине B.
Решение: Найдем угол B как угол между двумя прямыми. Уравнение прямой AB: y = 4/3x -2 Уравнение прямой BC: y = 1/6x + 5 Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y2 = k2x + b2, вычисляется по формуле:
Угловые коэффициенты данных прямых равны 4/3 и 1/6. Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю: tg φ =21/22 Ответ: φ = arctg (21/22) = 43.670
Задача 1.8
Перевести уравнение кривой второго порядка а11x2 + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0 к каноническому виду, выяснить, что это за кривая. Найти координаты смещённого центра. Построить кривую на плоскости.
а11 = 3 а22 = 2 а1 = 3 а2 = 4 а0 = -45
Дано уравнение кривой: 3x2 + 2y2 + 6x + 8y - 45 = 0 1. Определить тип кривой. 2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. 3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение:
Приводим квадратичную форму B = 3x2 + 2y2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:
B = |
|
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: (3 - λ)x1 + 0y1 = 0 0x1 + (2 - λ)y1 = 0 Характеристическое уравнение:
|
|
= λ 2 - 5λ + 6 = 0 |
λ2 -5 λ + 6 = 0 D = (-5)2 - 4 • 1 • 6 = 1
Исходное уравнение определяет эллипс (λ1 > 0; λ2 > 0) Вид квадратичной формы: 3x2 + 2y2 Выделяем полные квадраты: для x1: 3(x12+2•1x1 + 1) -3•1 = 3(x1+1)2-3 для y1: 2(y12+2•2y1 + 22) -2•22 = 2(y1+2)2-8
В итоге получаем: 3(x1+1)2+2(y1+2)2 = 56 Разделим все выражение на 56 Полуоси эллипса:Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке: C(-1; -2) Найдем координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами Итак, фокусы эллипса:С учетом центра, координаты фокусов равны:Тогда эксцентриситет будет равен:Вследствие неравенстваc < a эксцентриситет эллипса меньше 1.