Раздел 2.9

Задача 2.1 Найти пределы

Вариант 4.

А)

Б)

В)

Г) ^x+6

А)

Ответ:

Б)===

Применяя частное правило пишу: как :

это непрерывная 4х, так == 3

это непрерывная 4х, так == 1

= -

Ответ: -

В)

Найдём след. пределы

Используем tan (2x²) = , запишем как:

Поскольку косинус – это непрерывная функция то:

(2x²) = cos (2 * 0²) = 1:

Используя капитальную формулу получаю:

= ===

По правилу

= () () :

Применяя частное правило, запишу:

как :

Поскольку косинус – это непрерывная функция то:

cos (5x) = cos(5 0) = 1

/1

Поскольку косинус – это непрерывная функция то:

cos (2x²) = cos(2 0²) = 1

Применяя частное правило, получаю:

= =

Константа:

Применяя частное правило запишу:

как :

Поскольку косинус – это непрерывная функция то:

cos(5x) = cos(5 0) = 1

*1*=*1*=

Ответ:

Г) ^x+6

(x+3)^x+6 (x+5)^{-x-6 =}

Ответ:

Задача 2.2

Найти производную если функция y(x) задаётся так:

А) y=

Б) y=(1+tgx)^x3

В) y*e^x – x * e^y + x² – y =0

Г)

1. 

Б)

В)

Возможное происхождение:

Дифференциирую сумму почленно и выношу константы за скобки:

y (e^x) – e^y (x) +(x²) + (-y) =(0)

Производная для e^x это e^x:

- (e^y(+(x²) + (-y) + e^xy = (0)

Производная из x это 1

e^xy + (x²) + (y) -1e^y = (0)

Используем формулу силы: (xⁿ) = nx^n-1, так n = 2/(x²) = 2x:

-e^y + e^xy + (-y) +2x =(0)

Производная из y это 0:

-e^y + 2x + e^xy + 0 = (0)

Упрощаю выражение:

-e^y + 2x + e^xy = (0)

Производная из 0 это 0:

Ответ: -e^y + 2x + e^xy = 0

Г)

Решение:

Функция задана в параметрическом виде. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.

y_x =

Отдельно нахожу производные x_t' и y_t' x_t' = -5t•sin(5t) + cos(5t)

y_t' = (t+1)(6tg(6t)²+6)+tg(6t) Следовательно: или

Контрольная работа №3

Раздел 2.9

Задача 2.4 Провести полное исследование функции и построить график функции y =

Решение:

1) Область определения функции:

x € (-∞,0) (0,∞)

2) Пересечение с ось абсцисс (ox)

y = = 0 ↔ Действительных решений нет

3) Поведение функции в граничных точках области определения:

x = 0, не существует

x= 0, = -∞

x=0, = ∞

4) Поведение функции на бесконечности

= ∞

= -∞

5) Наклонная асимптота функции:

y = 3x

6) Исследование функции на чётность\нечётность:

f(x) = f(-x) =

Функция является нечётной

7) Производная функции равна:

12-

8) Нули производной:

x = -1

x = 1

9) Функция возрастает на: x € (-∞, -1

10) Функция убывает на:

11) Минимальное значение функции: - ∞

12) Максимальное значение функции: ∞

13)Интервалы выпуклости и вогнутости функции:

f''(x) = -36/x+12(3x4+1) / x5 или

Нахожу корни уравнения. Для этого полученную функцию приравниваю к нулю.

Для данного уравнения корней нет

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f''(x) < 0	f''(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

Построение графика функции:

Задача 2.6 Найти частные производные первого порядка d(xy)

Вариант 4: z = x + sin(xy) + y – cos(yx)

Частная производная первого порядка по х:

(x+sin(xy)-cos(yx) = y sin(xy)+y cos(xy)+1

Частная производная первого порядка по y:

(x+sin(xy)-cos(yx) =x(sin(xy)+cos(xy))

Задача 2.9 Найти неопределённые интегралы. Вариант 4:

А) ∫(4+ 8x⁴) (x+5-2x) dx;

Б) ∫dx;

B) ∫ln (2x+4) dx

А) ∫ (4+ 8x⁴) (x+5-2x) dx = ---

Возьму интеграл:

∫ (5-x) (8x + 4)dx

Для подынтегрального выражения (5-x) (8x + 4) заменюu =иdu = dx = 2∫-4u(4²-5u) (2u⁸+)du

Фактор констант:

-8∫u(4²-5u) (2u⁸+)du

Расширение подынтегрального выражения 4u(4²-5u) (2u⁸+) даёт 2u¹¹-10u¹⁰-5(u²)^6/5+u³:

= -8∫(2u¹¹-10u¹⁰-5(u²)^6/5+u³u³) du

Объединить сумму почленно и вынести константы за скобки:

40 ∫ (u²)^6/5du-8 ∫ u³du-16 ∫ u¹¹du+80 ∫u¹⁰du

Для подынтегрального выражения (u²)^6/5 упростить полномочия

40 ∫ u^12/5du-8 ∫ u³du-16 ∫ u¹¹du+80 ∫u¹⁰du

Интеграл из u^12/5 это

–8∫ u³du-16 ∫ u¹¹du+80 ∫u¹⁰du

Для подынтегрального выражения u³ заменю s=u² и ds=2u du

–4∫ s^6/5ds-16 ∫ u¹¹du+80 ∫u¹⁰du

Интеграл из s^6/5 это

+ -16 ∫u¹¹du+80 ∫u¹⁰du

Интеграл из u¹¹ это

+ -+ 80 ∫u¹⁰du

Интеграл из u¹⁰ это

+ -+

Займу назад с s = u²:

- +-(u²)^11/5

Займу назад с u = √x

Ответ:

+ -+

Б) ∫dx

Вынесу константу за скобки:

∫dx

Для подынтегрального выражения заменюu=ln(3x) и du= dx

= ∫u dx

Интеграл из u это =

Заменю назад для u = ln(3x) = ln²(3x)

B) ∫ln (2x+4) dx

Для подынтегрального выражения ln(2x+4) заменю u = 2x+4 и du = 2dx: ∫ln(u)du

Для подынтегрального выражения, объеденённые частями ∫f dg=fg - ∫gdf, откуда f = ln(u), dg = du, df =du, g = u

u ln(u) - ∫1du

Интеграл из 1 это u:

u ln(u) -

Заменю назад для u = 2x+4

= -x+(x+2) ln(2(x+2)) -2

Фактический ответ выглядит:

(x+2) (ln(2(x+2)) -1)

Ответ: (x+2) ln(2(x+2)) – x

Задача 2.10 Найти плоскую меру множества, ограниченного заданными линиями на плоскости Оxy, сделать чертёж

Вариант 4: y² = 3+2x y=x

1) Нахожу точки пересечения двух линий: y = (-1; 3)

2) Построю фигуру на плоскости Oxy, ограниченную y² = 3+2x - параболой и y = x – прямой.

Нахожу площадь фигуры:

Вычисляю первообразную (интеграл) для функции (константу, возникающую при интегрировании, здесь не учитываем):

F(y) ==dy =+-

В итоге получил:

F(y)=+-

По теореме Ньютона-Лейбница определенный интеграл можно представить как:

= F(y)

Подставляю в данную формулу данные, а именно первообразную и пределы интегрирования:

= (+-)(+-) - (+-) =

= – (-) == 5.33

Ответ: S фигуры = 5.33