5. Продольный изгиб

Продольным изгибом называются изгиб стержня под действием осевой сжимающей силы.

Критической силой называется такая осевая сжимающая сила, при которой происходит продольный изгиб.

Критическая сила определяется по формуле Эйлера

Формула Эйлера применима для стержней гибкость которых λ больше или равна предельной гибкости λ₀ т.е. λ≥ λ₀.

λ≥ λ₀ – условие применимости формулы Эйлера

– гибкость стержня ( зависит от геометрии стержня ).

λ₀ = – предельная гибкость ( зависит от свойства материала), для стали λ₀≈100.

- минимальный радиус инерции сечения.

Значения i_min для некоторых сечений даны в табл. 5.1.

µ - коэффициент, зависящий от способов закрепления концов стержня (рис. 5.1).

σ_pr – предел пропорциональности материала.

– длина стержня.

Рис. 5.1. Значения коэффициента µ при различных способах закрепления концов стержня

Если гибкость стержня λ меньше λ₀, то формула Эйлера несправедлива. В этом случае определяют критическое напряжение по формуле Ясинского, а затем находят критическую силу : .

Здесь а и b – коэффициенты, зависящие от свойств материала имеющие размерность напряжения.

Для стали a = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

После определения критической силы F_cr по формуле Эйлера или Ясинского можно определить значение допускаемой для стержня нагрузки:

Где F_adm – допускаемая нагрузка ; F_cr – критическая сила; n_y – коэффициент запаса устойчивости (n_y>1).

Вместо двух формул Эйлера и Ясинского величину допускаемой внешней силы можно определить из условия устойчивости, справедливого для стержня любой гибкости:

– условие устойчивости сжатого стержня.

Здесь: – допускаемое напряжние на сжатие; А – площадь сечения стержня;

– коэффициент продольного изгиба.

Коэффициент изменяется в пределах от 0 до 1, зависит от гибкости λ и свойств материала. Значение определяется экспериментально и сведены в таблицы. Значение коэффициента для некоторых материалов даны в табл. 5.2.

Из условия устойчивости можно также подобрать площадь поперечного сечения А стержня пользуясь методом последовательных приближений. Сущность этого метода покажем на примере решения задачи.

Задача

Стальной стержень длиной сжимается силой F (рис. 5.2).

Требуется:

1. Найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие

( Расчет производить последовательными приближениями, предварительно задавшись величиной коэффициента ).

2. Найти величину критической силы F_cr и коэффициент запаса устойчивости.

Дано: F =200 кН =200·10^-3МН, Материал – ст.3.

При заданой форме сечения (треугольник) из табл. 5.1 выбираем необходимые для расчета данные : A = 0,433а²; a =1,52;.

Решение

Условие устойчивости сжатого стержня:

Рис. 5.2. Схема закрепления концов стержня и форма поперчного сечения

Первое приближение.

Задаемся велечиной .

Из условия устойчивости (5.1), беря знак равенства, находим площадь:

Гибкость стержня:

По табл. 5.2 для гибкости λ =36 материала ст. 3 определяем значение коэффициента

продольного изгиба.

В табл. 5.2 даны значения для λ =30 и λ =40 и нет значений для λ =36.

Интеополируя эти значения получим для λ = 36:

Так как разница между занчительна ) , то имеет недонапряжение ,т.е. подобранная площадь сечения м² велика.

Второе приближение.

Выбираем значение между как среднее, т.е

Из условий устойчивости (5.1) определяем площадь А:

Гибкость стержня:

Как и следовало ожидать, с уменьшением площади сечения А гибкость увеличилась.

По табл. 5.2. интерполируя, определяем коэфициент , соотвествующий гибкости λ =43:

Так как , то имеет место недонапряжение. Повторяем расчет.

Третье приближение.

Из условий устойчивости (5.1) находим площадь:

Гибкость стержня:

По табл. 5.2. интерполируя, определяем коэфициент , соотвествующий гибкости λ =46:

близко к , но по-прежнему имеет место недонапряжения. Повторяем расчет.

Четвертое приближение.

Из (5.1) оспределяем А:

Гибкость стержня:

По табл. 5.2. интерполируя, определяем коэфициент , соотвествующий гибкости λ =47:

близко к

Проверяем напряжение в сечение отержня для площади А = 14,7·10^-4 м²

Имеет место недонапряжение.

Подсчитаем процент напряжения:

Допускаемые недонапряжения и перенапряжение не должны превыщать 5% . В данном случаенедонапряжение . Необходимо продолжить расчет.

Пятое приближение.

Площадь:

Гибкость:

По табл. 5.2. определяем для λ =48:

Напряжение в стежне для:

Процент напряжения:

Таблица 5.1

Форма сечения	Площадь, сторона	Минимальный радиус инерции

Итак, размеры подобранного сечения:

Радиус инерции:

Гибкость: λ = 48.

Определение велечины критической силы и коэффициента запаса устойчивости. Для подобранного стержня велечину критической силы определяем по формуле Ясинского, так как гибкость стержня λ = 48 меньше предельной гибкости λ₀=100(λ< λ₀).

Коэффициент запаса устойчивости

Таблица 5.2

Гибкость λ	Значение
	ст.1, ст2,ст. 3,ст.4	ст.5	чугун	дерево
0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,98	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,69	0,87
50	0,89	0,86	0,57	0,80
60	0,86	0,82	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,34	0,60
80	0,75	0,70	0,26	0,48
90	0,69	0,62	0,20	0,38
100	0,60	0,51	0,16	0,31
110	0,52	0,43	0,16	0,25
120	0,45	0,37	-	0,22
130	0,40	0,33	-	0,18
140	0,36	0,29	-	0,16
150	0,32	0,26	-	0,14
160	0,29	0,24	-	0,12
170	0,26	0,21	-	0,11
180	0,23	0,19	-	0,10
190	0,21	0,17	-	0,09
200	0,19	0,16	-	0,08
210	0,19	0,16	-	0,08
220	0,19	0,16	-	-