Методические указания к выполнению задания 4

В п.1 задания требуется выполнить подбор сечения сжатого стержня. Задача решается при помощи условия устойчивости (9) методом последовательных попыток (так как в уравнение входят два неизвестных – площадь сечения F и коэффициент продольного изгиба ).

При подборе сечения необходимо выполнить следующие расчетные этапы.

1. В общем виде записать геометрические характеристики сечения выразить их через неизвестный размер С (площадь сечения F, минимальный момент инерции и минимальный радиус инерции).

2. В первом приближении задать значение коэффициента в пределах 0,5 -0,6). Из условия устойчивости (9) следует, чьл требуемая площадь сечения стержня

Где N=P

Зная F₁, легко вычислить размер сеченияС₁

3. Определив ориентировочные размеры сечения, вычислить по формуле (4) гибкость стержня λ₁ и по таблице найти соответствующее значение коэффициента . Еслиотличается от предполагаемой величинене более чем на 5%, то на этом подбор сечений заканчивается.

4. Если иотличаются друг от друга более, чем на 5 %, то во втором приближении следует задать новым значение коэффициента

5. Затем снова определяется необходимая площадь F₂ и размер С₂ сечения стерня.

6. По этим размерам сечения надо определить гибкость стержня λ₂ и соответствующее значение коэффициента .

Если разница между получится больше 5%, то расчет выполняется в третий раз при

См. Сноску

Для средне и тяжело нагруженных стержней в первом приближении рекомендуется принимать (что соответствует).

___________________________________________________________

Попытки подобрать сечение до тех пор ,пока разница между не получится в пределах 5%.

При окончательно принятых размерах сечения стержень обязательно должен быть проверен на устойчивость по условию (9).

Отклонения оценивается в %.

Пункт 3 задания выполняется по формулам (2) или(6), в зависимости от гибкости стержня при принятых размерах сечения.

Пример 4

Стальной стержень прямоугольного сечения (рис.4) сжат силой Р= 100кН.

Требуется:

1. Из расчета на устойчивость по коэффициенту продольного изгиба (по допускаемому напряжению на устойчивость) определить необходимые размеры поперечного сечения стержня, если длина, материал сталь марки Ст.3, для которой модуль упругости, предел пропорциональностиосновное допускаемое напряжение на сжатие (без учета опасности продольного изгиба).

2. Найти велечину критической силы по формуле Л.Эйлера или формуле Ясинского Ф.С. ( в зависимости от гибкости стержня).

3. Определить запас устойчивости стержня К_у.

Решение

1. Геометрические характеристики поперечного сечения. Площадь

Минимальный, главный центральный момент инерции

Минимальный радиус инерции сечения

2. Подбор сечения.

Условие устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня (9) имеет вид

Здесь две неизвестные :F и . Внутреннее усилиеN=P. Велечину F определить методом последоватьных приближений, задаваясь значением .

Первое приближение . Ориентировачно примем . По условию (9), удерживая знак равенства ,получаем

Но

При таких размерах поперечного сечения стрежень имеет гибкость

По таблице коэффициентов продольного изгиба для стали марки Ст.3 интерполируя, получаем значение, соответствующие гибкости 147.

Значение значительно больше.

Второе приближение . задаемся значением

Получаем

Гибкость стержня

По таблице значений , интерполируя, получаем

Значение так же является завышенным.

Третье Приближение . Принимаем

Получаем

Гибкость стержня

По таблице коэффициентов находим

Значение незначительно отличается от(всего на 1%):

Поэтому останавливаемся на значениях

Для практических целей удобно принять С =4 см. Тогда площадь

Момент инерции ,

Проверка. При принятых размерах сечения имеем

Гибкость стержня

По таблице коэффициентов

Действительное напряжение в поперечном сечении стержня

Допускаемое напряжение на устойчивость

Условие устойчивости (9) удовлетворяется:

Следовательно, стержень обладает достаточным запасом устойчивости.

Недопряжение составляет

Величина критической силы.

При принятом размере С = 4 см гибкость стержня λ= 130. Известно, что наименьшая предельная гибкость для стали марки Ст.3. при которой еще справедлива Формула Эйлера , равна 100. Очевидноλ=130 > = 100. Поэтому для определенияP_к следует применить формулу Эйлера (2)

3. Запас устойчивости стержня.

Коэффициент запаса устойчивости определяется по формуле

В рассмотренном примере