6.4. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения нмс

Предположим, что НМС под действием системы внешних сил совершает плоскопараллельное движение, при котором все точки НМС движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, в качестве которой примем координатную плоскость xOy (рис. 45).

Рис. 45

Из кинематики (Ч.1 Кинематика) известно, что для определения положения НМС, совершающего плоскопараллельное движение, достаточно задать положение какой-нибудь его МТ, принятой за полюс, и угол поворота НМС вокруг оси, проходящей через этот полюс и перпендикулярной к неподвижной плоскости, параллельно которой происходит движение всех МТ рассматриваемого НМС. Задачи динамики решаются проще, если за полюс взять центр масс С и определять положение НМС координатами центра масс и углом поворотаНМС вокруг оси, проходящей через центр масс С и перпендикулярной к плоскости xOy.

Таким образом, для изучения плоскопараллельного движения свободного НМС достаточно составить три дифференциальных уравнения, связывающих величины ис действующими на НМС внешними силами. Для описания движения центра масс воспользуемся первыми двумя уравнениями движения центра масс (6.1). Добавляя к ним уравнения вида (6.3) относительно оси Сz, получаем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения НМС:

(6.11)

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения НМС могут быть записаны и в другой форме, если воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии НМС.

Глава 7. Динамика точки переменной массы

7.1. Понятие о мт переменной массы

Во всех предыдущих главах рассматривались движения, при которых массы МТ и СМТ были постоянны. Однако существует целый ряд задач, когда масса СМТ изменяется с течением времени, как путем отделения от нее частиц, так и присоединения к ней частиц извне. Примерами подобного изменения массы являются ракеты или планеты, массы которых соответственно изменяются вследствие выгорания топлива или оседания космической пыли.

СМТ (в частности, тело), масса которой непрерывно изменяется с течением времени вследствие присоединения к ней или отделения от нее материальных частиц, называется СМТ (телом) переменной массы. Если при изучении движения тела переменной массы его размерами по сравнению с проходимыми им расстояниями можно пренебречь или если тело движется поступательно, то (пренебрегая изменением положения центра масс, происходящим в процессе отделения или присоединения частиц) его можно рассматривать как МТ переменной массы. При этом принимается, что масса МТ переменной массы представляет собой непрерывную дифференцируемую функцию времени.

7.2. Дифференциальное уравнение движения мт переменной массы – уравнение Мещерского

Найдем уравнение движения МТ массы М, которая непрерывно убывает, рассматривая ее как МТ переменной массы. Будем изучать движение этой МТ относительно некоторой неподвижной системы координат Oxyz (рис. 46).

Рис. 46

Рассмотрим в некоторый момент времени t МТ переменной массы и отделяющуюся от нее в течение промежутка времени dt частицу, как одну МС, тем самым исключив внутренние силы. Таким образом, изучение движения МТ переменной массы, по существу, приводится к изучению движения МС.

Обозначим в момент времени t через всю массу МТ переменной массы. Пусть абсолютная скорость этой МТ в момент времени t будет, и, следовательно, количество ее движения в этот момент времени

. (7.1)

Пусть МТ переменной массы за промежуток времени dt отбросила от себя некоторую частицу и пусть абсолютная скорость этой частицы будет . Масса отбрасываемой частицы равна величине, на которую за промежуток времени dt изменится масса МТ. Так как М – функция убывающая, тои, следовательно,. Количество движения рассматриваемой МС (МТ и отброшенная частица) в момент временибудет:

, или

, (7.2) где – приращение скоростиМТ переменной массы, вызванное отбрасыванием от нее частицы массы.

Если на рассматриваемую МС не будут действовать внешние силы, то тогда, как известно, будет иметь место закон сохранения количества движения этой системы:

и на основании формул (7.1) и (7.2) будем иметь:

.

Пренебрегая членом второго порядка малости ­, получим:

.

Отсюда находим:

,

где есть относительная скорость (скорость по отношению к МТ переменной массы) отбрасываемой частицы.

Приращение скоростиМТ переменной массы, обусловленное действием на нее внешней силы, на основании второго основного закона динамики можно с той же точностью определить по формуле:

.

На основании четвертого закона динамики о независимости действия сил суммарное приращение скорости будет:

.

Умножив на М и разделив на обе части полученного равенства, получим:

, (7.3)

или

, (7.4)

где – скорость изменения массы.

Уравнения, аналогичные соотношениям (7.3) и (7.4), могут быть получены и для случая присоединения массы.

Уравнение (7.3) или (7.4) представляет собой в векторной форме дифференциальное уравнение движения МТ переменной массы или уравнение Мещерского.

Вторые слагаемые правой части соотношений (7.3), (7.4) называются реактивной силой :

. (7.5)

Учитывая соотношение (7.5), уравнение (7.3) или (7.4) –уравнение Мещерского, можно представить в виде:

(7.6)

Закон движения МТ переменной массы: Для каждого момента времени произведение массы МТ на ее ускорение равно геометрической сумме действующих на МТ внешней и реактивной сил.