- •Действия с матрицами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.
- •Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.
- •Обратная матрица и ее вычисление.
- •Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.
- •Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
- •Формулы Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.
- •Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в базисе.
- •Скалярное произведение. Координатная форма скалярного произведения.
- •Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.
- •Смешанное произведение. Координатная форма смешанного произведения.
- •Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости, заданных точкой и нормальным вектором.
- •– Каноническое уравнение эллипса с центром в точке
- •Парабола и ее основные свойства.
- •Гипербола и ее основные свойства.
- •Прямые называются директрисами гиперболы. – левая директриса,
Прямые называются директрисами гиперболы. – левая директриса,
– правая директриса.
Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса
(18)
т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Для гиперболы важную роль играют также прямые
(19)
которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)
Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет, – уравнения директрис.
-
Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
-
Комплексные числа и действия над ними.
-
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
-
Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
-
Понятие квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичных форм
Квадратичной формой от п переменных называется сумма (функция) вида ,
где – вещественные числа (коэффициенты), .
Матричная запись квадратичной формы ,
где – матрица квадратичной формы, .
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для всех значений переменных, не равных нулю одновременно.
Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительны, т. е.
(критерий Сильвестра).
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы главные миноры матрицы чередовали знак с минуса на плюс, т. е. .
Примеры
17. Выяснить, является ли квадратичная форма положительно или отрицательно определенной:
.
Р е ш е н и е. Запишем матрицу квадратичной формы:
.
Найдем главные миноры:
,
.
Согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма положительно определенная.