5. Если заданное значение дюрации портфеля d удовлетворяет условию

, то задача линейного программирования (13.11) разрешима.

Действительно, для разрешимости задачи линейного программирования необходимо и достаточно, чтобы множество допустимых решений задачи было не пусто, а целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Согласно свойству 3, если число D удовлетворяет указанному двойному неравенству, то множество допустимых решений задачи (13.11) не пусто. Так как 0, то целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Свойство доказано.

Пусть T лет – срок, на который сформирован портфель облигаций (инвестиционный горизонт). Для оценки портфеля через t лет после покупки, где t [0, T], используем понятие стоимости инвестиции в портфель в момент t.

Если в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r и после покупки портфеля временная структура процентных ставок остается неизменной до окончания срока T, то Ω(r, t) – планируемая стоимость инвестиции в портфель в момент t[0, T]. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков изменились на одну и ту же величину и остались на новом уровне в течение всего инвестиционного периода, то Ω(, t) – фактическая стоимость инвестиции в портфель в момент t[0, T]. Стоимости Ω(r, t) и Ω(, t) рассчитываются, исходя из тех же принципов, что и в случае облигации. Тогда

, (13.12)

, (13.13)

где R₁, R₂, …, R_n в моменты t₁ , t₂,…, t_n – ожидаемый поток платежей от портфеля.

Таким образом,

Ω(r, t) = R_t(r) + P_t(r),

Ω(, t) = R_t() + P_t(),

где R_t(r) и R_t() – результат реинвестирования к моменту t доходов от портфеля под ставку r или соответственно; P_t(r) и P_t() – планируемая и фактическая рыночная стоимость портфеля в момент t.

Ω(r, t) и Ω(, t) обладают теми же свойствами, что и планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию. Тогда

Ω(r, t) = , (13.14)

Ω(, t) = . (13.15)

где Ω(r) = Ω – цена покупки портфеля, Ω() – оценка портфеля на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после t = 0.

6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

Пусть D_P = D_P(r) – дюрация портфеля облигаций в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля, t = D_P, фактическая стоимость инвестиции в портфель не меньше планируемой, т.е.

Ω (, D_P) Ω (r, D_P) (13.16)

для любых значений .

Действительно, если портфель П(Ω₁, Ω₂,…, Ω_m) эквивалентен одной облигации без кредитного риска, то иммунизирующее свойство дюрации облигации (теорема 12.1) переходит в иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

На этом свойстве дюрации портфеля облигаций основан принцип формирования иммунизированного портфеля. В 1952 году Ф. Реддингтон, один из основателей стратегии иммунизации, впервые ввел понятие иммунизации портфеля облигаций и сформулировал условие иммунизации: для защиты стоимости портфеля от изменений рыночной процентной ставки необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом. Таким образом, чтобы сформировать иммунизированный портфель с инвестиционным горизонтом T лет, необходимо решить систему:

(13.17)

ω_j 0, j = 1, 2,…, m.

Если срок портфеля T удовлетворяет неравенству , то по свойству 3 дюрации портфеля система (13.17) разрешима. Тогда дюрация портфеля, сформированного в соответствии с решением системы (13.17), совпадает с его инвестиционным горизонтом, D_P = T, и по свойству 6

Ω (,T) Ω (r, T). (13.18).

Пример 13.3. Портфель формируется из купонных облигаций двух видов, характеристики которых на момент покупки портфеля (t = 0) приведены в таблице:

Облигация	А, д.е.	f	m	T, годы
А1	100	5%	2	2
А2	100	8%	1	2

В облигации первого вида инвестировано 4000 д.е., в облигации второго вида – 6000 д.е. В момент покупки портфеля безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы и равны 9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до 8% годовых, и затем уже не изменялись. Определить:

1) поток платежей от портфеля, его дюрацию и показатель выпуклости;

2) относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке с 9 до 8% годовых;

3) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени t = 2 года (момент погашения всех облигаций из портфеля);

4) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени, равный дюрации портфеля (t = D_P).