Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.

1. Дюрация облигации не превосходит срока до ее погашения Т.

Действительно,

,

где P(r) – рыночная стоимость облигации в момент t = 0, r – ее внутренняя доходность.

2. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку до ее погашения.

Действительно, для чисто дисконтной облигации имеем ,

где A – номинал облигации. Тогда дюрация облигации равна

.

3. Если облигация не является чисто дисконтной, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше ее дюрация и показатель выпуклости.

Доказательство. Рассмотрим облигацию, по которой через t₁ , t₂,…, t_n лет от текущего момента времени t = 0 (0 < t₁ < t₂ < … < t_n ) обещают выплатить денежные суммы С₁, С₂,…, С_n соответственно. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Покажем, что дюрация D и показатель выпуклости C облигации - это убывающие функции r. Согласно определению

.

Рассмотрим производную

= .

Используем обозначения

, , .

Покажем, что a² – bc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.

Основание индукции n = 2.

a² – bc = =

= , где t₂ > t₁.

Предположим, что утверждение верно для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

= .

Пусть теперь число платежей по облигации равно n. Рассмотрим

a² – bc = =

= ( )– ,

где < 0 по предположению индукции.

, где 0 < t₁ < t₂ <…< t_n.

Следовательно a² – bc < 0 для всех целых n > 1. Значит, .

Согласно определению, показатель выпуклости равен

.

Тогда

C =D + B,

где – дюрация облигации,. Следовательно,, где. Покажем, что.

.

Используем обозначения

, ,,.

Покажем, что ab – dc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.

Если n = 2, то

, где 0 < t₁ < t₂.

Положим, для (n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

.

Для n платежей по облигации имеем

.

по предположению индукции, =

= =

, где 0 < t₁ < t₂ <…< t_n.

Значит, ab – dc < 0 для всех целых n > 1. Следовательно . Тогда. Свойство доказано.

4. Если все платежи по облигации отсрочить на t₀ лет, не изменяя ее внутренней доходности r, то дюрация облигации увеличится на t₀ лет, а показатель выпуклости – на (t₀² + 2 t₀D + t₀ ) лет².

Доказательство. Дюрация исходной облигации

.

Дюрация облигации с отсроченными платежами

= .

Таким образом,

= D + t₀. (11.12)

Показатель выпуклости исходной облигации

.

Показатель выпуклости облигации с отсроченными платежами равен

= C + 2 t₀D + t₀² + t₀ .

Таким образом,

= C + (t₀² + 2 t₀D + t₀ ). (11.13)

Свойство доказано.

5. Если до погашения облигации остается больше одного купонного периода, то при заданном значении внутренней доходности r дюрация облигации и показатель выпуклости тем больше, чем меньше купонная ставка.

Доказательство. Покажем, что дюрация облигации и показатель выпуклости – убывающие функции купонной ставки f .

Формула (11.6) для дюрации купонной облигации, продающейся через время после купонной выплаты с доходностью к погашениюr, когда до погашения остается n купонных выплат, имеет вид:

. (11.14)

Цена облигации

.

Используем обозначения

. (11.15)

Тогда

.

Рассмотрим производную дюрации по купонной ставке f.

,

так как и по условиюn > 1. Таким образом, .

Показатель выпуклости купонной облигации равен

. (11.16)

Используем те же обозначения (11.15). Тогда

C = .