Рассмотрим производную

.

Отсюда

.

Таким образом, . Свойство доказано.

6. Зависимость дюрации облигации от срока до погашения при неизменных f и r, где f и r – купонная ставка и внутренняя доходность облигации соответственно, сформулируем в виде следующих утверждений. Пусть D_n – дюрация облигации, платежи по которой выплачиваются m раз в год и до погашения которой остается n купонных периодов. Тогда

6а. .

6b. Если , то последовательность {D_n} является возрастающей.

6с. Если f < r, то можно указать число n₀ такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n₀ последовательность {D_n} является возрастающей.

Доказательство. 6а. Согласно (11.14), дюрация облигации при τ = 0, когда до погашения остается n купонных периодов, равна

. (11.17)

Так как

,

то

,

где < 1. Поскольку ,то получаем .

Так как обычно r мало, то

.

Тогда

. (11.18)

Заметим, что значение предела не зависит от купонной ставки облигации.

6b. Пусть . Для простоты будем считать, что платежи по облигации выплачиваются раз в год (m = 1) и до ее погашения остается n лет (τ = 0). Тогда дюрация купонной облигации равна

.

Используем обозначение . Тогда

.

Так как , , то

,

где a = (1 – p)(1 – p – fp). Покажем, что .

Рассмотрим разность

D_n+1 – D_n = =

= ,

где .

Покажем, что B > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей.

Основание индукции n = 0. Тогда

.

Заметим, что при n = 0 разность D₁ – D₀ = 1, т.к. D₁ = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D₀ = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты.

Предположим, что B > 0 при n = k, т.е.

.

Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим

.

По предположению индукции B_k > 0.

,

так как ,при. Следовательно,B_k+1 > 0. Отсюда B > 0 для любого целого неотрицательного n. Значит, D_n+1 – D_n > 0. Утверждение доказано.

На рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения при ,m = 1, τ = 0.

Рис. 1.11.2

6с. Пусть . Дюрация купонной облигации, платежи по которой выплачиваются раз в год (m = 1) и до погашения остается n лет (τ = 0), равна

.

Рассмотрим разность

D_n+1 – D_n = ,

где

,

a = (1 – p)(1 – p – fp), .

Преобразуем это выражение к виду:

. (11.19)

Легко убедиться, что если , то B > 0 (следовательно ). С другой стороны, если n достаточно велико, например , то B < 0 (следовательно,). Действительно,

.

Следовательно, существует срок, когда разность изменяет знак. В качестве приближенного значения такого срока можно взять (целую часть). Число получено при условии, что ,когда выражение в квадратных скобках в (11.19) равно нулю. Равенство является приближенным с точностью до . Следовательно, чем ближе значения r и f , тем точнее полученное данным методом значение , что и подтверждается расчетами для r = 25% и ряда значений f.

f		(лет)	Значение n (лет), при котором Dn+1 - Dn меняет знак (точное)
3 %	9,7	9	12
5 %	10,3	10	12
10 %	12,3	12	13
15 %	16,5	16	17
20 %	29,0	29	30
23 %	66,5	66	67
24 %	129,0	129	129

Из выражения для n₀ следует, что чем ближе значения r и f , тем больше срок n₀. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n₀. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами. Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17). Пример таких вычислений для купонных ставок f₁ = 5% и f₂ = 10% показан в следующей таблице:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Df1	1	1,94	2,82	3,60	4,29	4,87	5,34	5,70	5,96	6,13	6,21	6,24	6,22	6,16	6,08
Df2	1	1,90	2,68	3,35	3,90	4,34	4,68	4,93	5,11	5,23	5,30	5,34	5,36	5,35	5,33

Покажем, что если , то для любого .

Имеем

,

где

.

Установим знак B при условии .

B

,

так как и. Значит.

Следовательно, если f < r, то можно указать число n₀ такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n₀ последовательность {D_n} является возрастающей. Таким образом, если облигации A₁, A_2, …, A_k продаются с дисконтом и число периодов до их погашения n₁ < n₂ < …< n_k < n₀, то при прочих равных условиях D_n1 < D_n2 <…< < , где D_n1 , D_n2 ,…, – дюрации этих облигаций.

Покажем, что значение дюрации облигации со сроком погашения n₀ удовлетворяет неравенству , где при m = 1 (см. пункт 6а). Предположим противное. Пусть . Следовательно .Отсюда, учитывая, что при , получаем . Противоречие, так как . Следовательно, приf < r характер зависимости дюрации облигации от срока до погашения имеет вид, показанный на рисунке 1.11.3. На этом рисунке показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения для купонных ставок .

Рис. 1.11.3.

166