4. Вероятность попадания случайной точки

в полуполосу и в прямоугольник

Пользуясь интегральной функцией системы случайных величин X и Y, легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полуполосу и ,(рис.14, a) или в полуполосу и (рис.14,б).

Вычитая от вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной вероятность попадания точки в квадрант с вершиной (рис.14,a), получим

Аналогично имеем

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению интегральной функции по одному из аргументов.

Рис.14 из книги Гмурманна.

С помощью функции можно найти вероятность попадания случайной точкив заданный прямоугольник. Рассмотрим прямоугольникABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы:

.

Рис.15 из книги Гмурманна

Найдем вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник. Эту

вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки в полуполосу AB с вертикальной штриховкой. Эта вероятность равна, вычесть вероятность попадания точки в полуполосуCD с горизонтальной штриховкой. Эта вероятность равна . Следовательно, получим

(5)

.

Обозначим левую часть равенства (5) величиной =.

Применяя к правой части (5) теорему Лагранжа получим

,

где . Отсюда

(6) ,

или введя новую функцию

(7) ,

(более подробно см. о функции в следующем разделе).

Пример 4. Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник,

ограниченный прямыми,

если известна функция распределения

Решение. Положив в формуле (5), получим:

Равномерное распределение в плоской области .

Начнем с разбора следующей задачи. На отрезке длиной выбирают наугад и независимо друг от друга две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется не больше (где )?

Рис. 34

Считая, что данный отрезок есть отрезок числовой оси, обозначим через координату первой точки и через– координату второйточки (рис. 34). Исходом опыта является пара чисел , удовлетворяющих условиям:

.

Иначе говоря, исход опыта – случайная точка квадрата , изображенного на рисунке 35.

Рис. 35

Рассмотрим отдельно случайную величину . Ее закон распределения в условии задачи не оговорен; он будет зависеть от того, какой смысл мы придадим слову «наугад» в формулировке задачи. Наиболее естественное толкование этого слова заключается в том, что все значения величинына отрезкеравноправны, или, говоря точнее, величина равномерно распределена на отрезке . То же самое относится, конечно, и к. Итак, будем считать, что плотность вероятности для и равны соответственно:

Ввиду независимости с.в. и плотность распределения для системы будет:

,

т.е.

Для того, чтобы расстояние между точками не превышало , нужно, чтобы выполнялось неравенство

(8) .

На рисунке 35 штриховкой отмечена область внутри квадрата , которая отвечает неравенству (8). Обозначим эту область через . Неравенство (8) эквивалентно условию , следовательно, вероятность его осуществления

,

где – площадь области, равная.

Отсюда искомая вероятность будет:

Задачу выбора двух точек на отрезке можно сформулировать как задачу о «встрече двух лиц». Представим себе, что два человека условились встретится в определенном месте между двенадцатью и часом дня. При этом было условлено, что пришедший первым на место встречи будет ждать второго только в течение 20 минут.

Какова вероятность того, что встреча состоится, если каждый из из них приходит, когда ему вздумается (но между двенадцатью и часом дня), не согласуя свои действия с другим. Легко понять, что логический смысл этой задачи в точности такое же, как в задаче о выборе двух точек на отрезке ; при этом задаваемый вопрос состоит в том, с какой вероятностью расстояние между точками окажется не больше, чем.

Действительно, если обозначить через время прихода одного из данных лиц и через– время прихода второго, то условие встречи запишется в виде: после чего аналогия с задачей о выборе точек становится очевидной. Полагая в найденном итоговом выражении найдем, что искомая вероятность встречи будет

Распределение, с которым мы столкнулись в только что разобранной задаче, относится к числу равномерных распределений. В двумерном случае равномерное распределение задается с помощью области _{конечной площади; при этом плотность вероятности постоянна в} , авне области равна нулю:

Значение постоянного числа можно определить из условия:

А это дает равенство или, обозначает площадь области.

Если – какая-либо часть области (рис. 36), то вероятность попадания случайной точки в область равна интегралу по этой области от постоянной функции , следовательно,

.

y

Рис. 36

Заметим, что равномерное распределение можно рассматривать не только в двумерном случае, но и в случае пространства любого числа измерений. На этом ограничимся. Другие примеры см.например, [Солод.].