Математическая истина

остаётся на вечные времена…

«Числа правят Миром!»

Глава II

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 7. Случайные величины,

законы распределения случайной величины

1. Понятие случайной величины

Одним из основных понятий дисциплины теории вероятностей (наряду со случайным событием и понятием вероятности) является понятие случайной величины (коротко с.в.).

Уже в первой части нашего курса лекции (случайные события) приводились примеры события, когда при испытаниях появлялись те или иные числа.

Например, при бросании игральной косточки, могло появиться любое из чисел: Заранее до проведения эксперимента угадать число выпавших очков нельзя, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которых полностью предусмотреть невозможно.

Число космических частиц, попадающих на определённый участок земной поверхности в течение определённой промежутка времени, подвержено значительным колебаниям в зависимости от многих случайных обстоятельств, скорость молекулы газа не остаётся неизменной, а меняется в зависимости от столкновения с другими молекулами и т.д.

Среди решаемых задач встречаются много таких в которых исходы опыта выражаются некоторым числовым множеством Х. В этом смысле, например, число очков в множестве при бросании игральной косточки - есть величина случайная и выражает всевозможные значения случайной величины в данном эксперименте. Приведём ряд примеров.

1. Число родившихся мальчиков среди 100 новорождённых – есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения Х={0, 1, 2, …, 99, 100}.

2. Измерение температуры больных в некотором лечебном учреждении (примерно в пределах от 35,…до 40,…) – есть случайная величина.

3. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия – есть случайная величина Потому, что оно зависит от силы и направления ветра, температуры воздуха, мощности оружия, угол направления полёта и т.д.

Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исхода некоторого испытания (опыта), причём для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение.

Примеры:

- Х - число выстрелов до первого попадания в цель;

- Y – время безотказной работы некоторого механического прибора;

- S - изменения роста человека по времени;

- изменение курса валюты некоторого государства за определённый период;

- количество бракованных деталей в некоторой совокупности, изготовленной изделии;

- изменение температуры воздуха в течение дня и т.д.

2. Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайная величина Х может принять то или иное значение из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. В дальнейшем будем обозначать случайные величины прописными буквами: или их индексациями:, а их возможные значения – соответствующими строчными буквамиК примеру, если покупается лотерейных билетов и Х - число выигрышей, то .

Если значения, которые может принимать данная случайная величина , образует дискретный ряд чисел(конечный или бесконечный, но счетный!), то случайная величинаназывается дискретной(сокращённо д.с.в.). То есть д.с.в. принимает отдельные изолированные друг от друга значения с определёнными вероятностями.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина Х, заполняет конечный или бесконечный промежуток числовой оси ОХ, то случайная величина называется непрерывной (сокращённо н.с.в.)

Каждому значению случайной величины дискретного типа отвечает определённая вероятностькаждому промежуткуиз области значений случайной величинынепрерывного типа также отвечает определённая вероятность того, что значение, принятое случайной величиной, попадёт в этот промежуток.

Таким образом, случайная величина является некоторая числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий (коротко ПЭС) , которая каждому элементарному событиюставит в соответствие число.

Пример 1. Пусть подбрасывается монета 2 раза. Пространством элементарных событий будет где Г Г, Г Р, Р Г, Р Р, можно рассматривать как случайную величину - число появлений герба. Случайная величинаявляется функцией от элементарного события

Следовательно, есть случайная величина со значениями:.

Следует запомнить, что если множество ПЭС конечное или счётное, то с.в. является любая функция, определённая на всем. В общем случае функциядолжна быть такова, чтобы для любогособытиепринадлежалоалгебре множестваS , а следовательно, для любого такого события определена числовая функция называемой - вероятностью наступления событие

Для дальнейшего следует помнить, что для полного описания с.в. недостаточно лишь знания ее возможных значений; необходимо ещё знать вероятности этих значений, причём, сумма всех вероятностей должна равняться единице.

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий, где- алгебра множеств (событий) пространства, в том числе, указывающих вероятности отдельных значений с.в. или множества этих значений называетсязаконом распределения случайной величины (или просто: распределением).

Относительно с.в.говорят, что «она подчиняется данному закону распределения». 5.