Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатиричную и обратно

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричноеего нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней левой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 101001₂в восьмеричное:

101 001₂ => 1•2²+0•2¹+1•2⁰0•2²+0•2¹+1•2⁰ => 51₈.

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры.

Двоичные триады	000	001	010	011	100	101	110	111
Восьмиричные цифры	0	1	2	3	4	5	6	7

Для перевода дробной части числа из восьмеричной системы в двоичную, необходимо также выделить в дробной части триады, только слева направо от запятой. Если справа будет нулей до триады не хватать, то их надо дописать, а затем каждую триаду заменить восьмеричным эквивалентом.

Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричноеего нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше разрядов, дополнить ее слева нулями. Для переводадробного двоичного числа в шестнадцатеричноенеобходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо ее дополнить справа нулями. Процедура перевода такая же, как и для восьмеричной системы, только каждая шестнадцатеричная цифра представляется 4-мя двоичными, например: 1 – 0001; 3 – 0011; 9 – 1001; A – 1010; D – 1101; F – 1111

Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичнуюнеобходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных чисел. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных разрядов (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа – в группу из четырех разрядов (тетраду).

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение

Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 =   00 + 1 =   01 + 0 =   11 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или большим основания. Для двоичной системы счисления, это число равно двум. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110₂и11₂.

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим. 110₂ = 1•2² + 1•2¹ + 0•2⁰ = 6₁₀11₂ = 1•2¹ + 1•2⁰ = 3₁₀6₁₀ + 3₁₀ = 9₁₀

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число. 1001₂ = 1•2³ + 0•2² + 0•2¹ + 1•2⁰ = 9₁₀

Сравним результаты, сложение выполнено правильно.