Issled_ryada_na_norm_zakon

4.3. Виконати перевірку нерівностей ( 7 ) і ( 8 )

| -0,016 | ≤ 1,05; | -0,163 | ≤ 3,45.

Нерівності виконуються, тобто, згідно цим критеріям можна зробити ви-

сновок, що наведений ряд істинних помилок підкоряється нормальному закону розподілу.

5.Перш, ніж виконувати перевірку з використанням більш потужного критерію, треба визначитись з можливим видом розподілу за допомогою графіка емпіричного розподілу і висунути гіпотезу про вид розподілу. Для цього ряд скоректованих помилок перетворити на інтервальний. Кількість інтервалів прийняти рівним 12, а ширину інтервалу – 0,5 m. Для наведеного прикладу ширина інтервалу становить 5,06.

Підрахувати кількість значень, що попали у кожний інтервал, позначивши їх m і. Інтервальний ряд наведений у табл. 3.

5.1.Інтервальні ряди в графічному зображені представляють у вигляді гістограми. Гістограма складається з прямокутників площею Q і, основою яких є ширина інтервалу, а висоти h і обчислюють за формулою

h і = Q і / 0,5 m,

( 17 )

де Q і –відносна частота влучання в і –тий інтервал, яку знаходять за формулою

Q і = m і / n

( 18 )

Контроль обчислень відносної частоти: Σ Q і = 1. У наведеному прикладі Σ Q і

= 1,00.

Гістограма наведена у додатку 1.У роботі гістограму побудувати на аркуші міліметрового паперу

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Таблиця 3

№	Межі	Кількість	Віднос-	Висота	t ј = ∆ ј /	y´ ј	Ордина-
інтер-	інтерва	значень у	на час-	прямоку-	m		ти
валу	лів	інтервалі	тота	тників			у ј
	∆ ј	m і	Q і	гістогра-
				ми h і
	-30,36
1		1	0,02	0,004
	-25,30
2		0	0	0
	-20,24
3		1	0,02	0,004
	-15,18
4		6	0,12	0,024
	-10,12
5		9	0,18	0,036
	-5,06
6		8	0,16	0,032
	0				0	0,564	0,397
7		9	0,18	0,036
	5,06				0,5	0,498	0,0351
8		9	0,18	0,036
	10,12				1	0,342	0,0241
9		4	0,08	0,016
	15,18				1,5	0,183	0,0129
10		1	0,02	0,004
	20,24				2	0,076	0,0054
11		2	0,04	0,008
	25,30				2,5	0,025	0,0018
12		0	0	0
	30,36				3	0,006	0,0004
Сума			1,00

5.2 .По побудованій гістограмі провести згладжу вальну криву,по вигляду якої зробити висновки для формування нульової гіпотези. Абсцисами точок згладжу вальної кривої будуть межі інтервалів, а ординати розраховують за формулами:

У ј = y´ј * z

( 19 )

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

де z – міра точності, яка знаходиться за формулою

z= m12 ;

а y´ ј – значення функції

	1			e−	t2
y´ ј =						.
					2
		π

Зазвичай, величину y´ знаходять у таблицях по аргументу

t ј = ∆ ј / m)

( 20 )

( 21 )

( 22 )

наприклад, можна скористатись додатком ІІ у [l]. Величина z для наведеного прикладу становить 0,0704.

Враховуючи, що згладжу вальна крива симетрична відносно вісі ординат, одержані ординати у ј будуть однакові як для додатних, так і для від'ємних абсцис, тому у таблиці 3 значення tј, у ј, y´ј для від’ємних абсцис не наведені.

Нанести на графік ( див. додаток 1 ) точки з координатами ј і yј , через одержані точки провести згладжу вальну криву та висунути нульову гіпотезу. Треба зауважити, що вихідні данні підібрані таким чином, що згладжувальна крива буде подібною до кривої нормального розподілу.

6.Виконати перевірку ряду істинних помилок на нормальний закон розподілу з допомогою критерію χ 2.Обчислення критерію виконати у таблиці 4.

6.1Значення функції Лапласа Ф( t ) знайти по аргументу t ј з таблиці значень інтегралу імовірностей, наприклад, з додатку IІ у [5].

6.2Обчислити теоретичну імовірність влучення в інтервал у випадку нормального закону розподілу

Р і = Ф (t ј +1 ) – Ф ( t ј )

( 23 )

де ј та ј +1 відповідно нижня та верхня межі інтервалу.

Сума обчислених імовірностей повинна становити 1.Для наведеного прикладу вона становить 0,98, різниця з 1 не перевищує помилки округлення.

6.3 Обчислити кількість значень, які б влучили в інтервал у випадку нормального розподілу npі ( теоретичну кількість значень ). Те, що одержані зна-

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

чення npі не є цілими числами, вказує на те, що величина npі є середнім значенням, яке б ми одержали повторюючи експеримент дуже багато разів.

6.4Знайти відхилення між дійсною та теоретичною кількістю даних у і - ому інтервалі m і - npі .

6.5Обчислити значення критерію χ 2 за формулою ( 14 ). Як видно з фор-

мули, значення критерію буде дорівнюватись сумі останнього стовпця у табл.5. Для наведеного прикладу значення критерію становить χ 2 = 7,595.

Таблиця 4

№	Кінці	Число	t ј	*Φ (t ј)	Р і	n p і	m і -	(m і - np
інтервалу	інтервалу	значень					np і	і)2
		у ін-						npі
		тервалі
	-30,36		-3,0	-0,499
1		1			0,005	0,25	0,75	2,25
	-25,30		-2,5	-0,494
2		0			0,017	0,85	-0,85	0,85
	-20,24		-2,0	-0,477
3		1			0,044	2,2	-1,2	0,654
	-15,18		-1,5	-0,433
4		6			0,092	4,6	1,4	0,426
	-10,12		-1,0	-0,341
5		9			0,149	7,45	1,55	0,322
	-5,06		-0,5	-0,192
6		8			0,192	9,6	-1,6	0,267
	0		0	0
7		9			0,192	9,6	-0,6	0,038
	5,06		0,5	0,192
8		9			0,149	7,45	1,55	0,250
	10,12		1,0	0,341
9		4			0,092	4,6	-0,6	0,078
	15,18		1,5	0,433
10		1			0,044	2,2	-1,2	0,654
	20,24		2,0	0,477
11		2			0,017	0,85	1,15	1,556
	25,30		2,5	0,494
12		0			0,005	0,25	-0,25	0,25
	30,36		3,0	0,499
Сума					0,98			7,595

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

6.6 Знайти імовірність Р одержання значення χо2 більшого або рівного обчисленому значенню χ 2 у випадку, якщо б емпіричний розподіл підкорявся нормальному закону. Для цього можна скористатись додатком VIІ в [1], де наводиться " Таблиця значень імовірностей для критерію χ 2 ". По горизонталі у шапці таблиці розташовані значення Р, а по вертикалі – кількість ступенів вільності r. При роботі з критерієм χ 2 кількість ступенів вільності знаходиться за формулою

r = k- 3 ,

( 24 )

де k- кількість інтервалів.

Для наведеного прикладу k становить 12, відповідно r = 9; χ 2 =7,595

.Знайдене по таблиці значення імовірності P = 0,57.

Нульова гіпотеза буде відхилена у випадку, коли імовірність Р буде менша 0,1 (згідно прийнятого 10 % рівня значущості). Так як одержане значення Р значно більше 0,1 ( 0,57 > 0,1 ), можна зробити висновок:

Наведений емпіричний розподіл підкоряється нормальному закону.

Висновки по роботі В результаті дослідження ряду істинних помилок приходимо до висновку, що розглянутий ряд підкоряється нормальному закону розподілу, тому що:

а )максимальне значення помилки ΄ не перевищує 3m (27,745 < 30,3); б) коефіцієнти k1 і k2 наближаються до їх теоретичних значень

( 0,693 ≈ 0,695; 1,231 ≈ 1,253 );

в) емпіричні значення асиметрії та ексцесу задовольняють нерівностям

| -0,016 | ≤ 1,05; | -0,163 | ≤ 3,45.

г) знайдена на а основі критерію Пірсона імовірність Р = 0,57 > 0,1 достатньо велика.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

						Додаток 1
				Г І С Т О Г Р А М А
	0,04
	0,035
	0,03
	0,025											Ряд2
,Y	0,02
h												Ряд1
	0,015
	0,01
	0,005
	0
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
					номера интервалов

Нульова гіпотеза : згладжувала крива має колоколоподібну форму, тому можна припустити, що ряд помилок підкоряється нормальному закону розподілу.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Большаков. В.Д., Маркузе Ю.И.Практикум по теории математической обработки геодезических измерений.- М.:Недра, 1984.-372с.

2.Большаков. В.Д., Маркузе Ю.И.Теория математической обработки геодезических измерений.- М.:Недра, 1977.-366с.

3.Большаков. В.Д., Маркузе Ю.И., Голубев В.В.Уравнивание геодезических построений.- М.:Недра, 1989.-413с.

4.Войтенко С.П.Математична обробка геодезичних вимірів.-

К.:КНУБК,2003.-216с.

5.Гурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М.: Высшая школа, 1979.-328с.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com