Issled_ryada_na_norm_zakon
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра геоінформатики та геодезії
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання розрахункого-графічної роботи з дисципліни" ТМОГВ " для спеціальностей 7.070901 " Геодезія",
7.070904" Землевпорядкування та кадастр", 7.070908 " Геоінформаційні системи та технології" розділ " Теорія ймовірностей та математична статистика"
Затверджено на засіданні кафедри " Геоінформатики та геодезії"
.09.2005р. протокол № 1
Донецьк -2005
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
УДК
Методичні вказівки до розрахунково-графічної роботи № 3 по курсу " ТМОГВ" для спеціальностей 7.070901 " Геодезія", 7.070904" Землевпорядкування та кадастр", 7.070908 " Геоінформаційні системи та технології" розділ " Теорія ймовірностей". Укладач Андоленко С.С.=Донецьк:ДонНТУ,2005-13 с.
Розглянуті способи вирішення однієї з основних задач математичної статистики: визначення закону розподілу випадкової величини по обмеженній кількості спостережень.Розглянуті критерії , які використовують при порівнянні емпіричного розподілу з нормальним. Викладено методику визначення та перевірки значущості критеріїв., наведено приклад.
Укладач |
Андоленко С.С., к.т.н., доц. |
Відповідальний за випуск |
Могильний С.Г., д.т.н., проф. |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ЗМІСТ
І. Мета та склад роботи, основні теоретичні засади ІІ. Порядок виконання завдання
ІІ.1 Завдання ІІ.2 Вихідні данні
ІІ.3 Виконання завдання
ІІІ. Список рекомендованої літератури.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ДОСЛІДЖЕННЯ РЯДУ ІСТИННИХ ПОМИЛОК НА НОРМАЛЬНИЙ ЗАКОН РОЗПОДІЛУ
І.Мета роботи – засвоєння методів перевірки емпіричних рядів на нормальний закон розподілу.
Склад роботи. Кожен студент одержує від викладача ряд істинних помилок, обчислених по практичним геодезичним вимірюванням, що підлягають дослідженню на нормальний закон розподілу.
Основні теоретичні засади Виконуючи завдання треба виходити з положень математичної статисти-
ки та теорії помилок.
Для того, щоб одержати вірогідні результати при статистичній обробці рядів вимірювань, необхідно визначити вигляд граничного розподілу, якому підкоряються одержані результати. На практиці ми завжди маємо обмежену кількість спостережень., тому виникає питання, які властивості є характерними для одержаного ряду вимірювань, а які випадковими і є слідством обмеженості числа спостережень. Як відомо, на основі інтегральної теореми Ляпунова, ми можемо вважати, що закон розподілу вимірювань та їх помилок наближається до нормального закону. Виникає задача порівняння ряду одержаних істинних помилок з нормальним законом розподілу.
Для порівняння емпіричних розподілів з нормальним використовують низку критеріїв: наближені , асиметрія та ексцес, критерій χ 2.
1. Наближені критерії. У випадку нормального розподілу між середнім υ , імовірним r і середнім квадратичним σ відхиленнями існує залежність
r = 0.675 σ, |
( 1 ) |
σ = 1.253 υ. |
( 2 ) |
У зв’язку з обмеженістю числа вимірювань замість наведених формул ( 1 ) і ( 2 ) більш коректним буде використання наступних співвідношень
r * |
≈ 0.675 m( 3 ) |
m ≈ 1.253 υ * |
( 4 ) |
де m – середня квадратична помилка, υ * - середня помилка, r * - ймовірна помилка, k 1 = 0,675, k 2 =1,253 - коефіцієнти. Помилки знаходять за формулами
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
å ′i |
2 |
|
|
|||||
m = |
|
i = 1 |
|
; |
( 5 ) |
|||||
|
|
|
n −1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
||||||
|
å |
|
′i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ = |
|
п |
; |
|
|
( 6 ) |
||||
у формулах ∆ / - істина помилка, з якої виключена систематична частина, n – число помилок.
Для обчислення імовірної помилки r* абсолютні величини скоректованих істинних помилок ∆ / розміщують у порядку збільшення. Імовірною помилкою буде центральне значення ∆ / у одержаному ряді у випадку парного числа спостережень, або середнє з двох центральних значень у випадку непарного числа спостережень.
2.Перевірка за допомогою ексцесу та асиметрії
Відомо, що для нормального закону розподілу скошеність Sk ( асиметрія ) і ексцес Е ( гостровершинність ) кривої розподілу дорівнюють 0. Характеристики скошеності та гостровершинності, обчислені по емпіричним розподілам ( S*k і Е* ), відрізняються від 0. На практиці, якщо їх значення не перевищують величин
| |
S * k | ≤ 3 |
|
( 7 ) |
DSK |
|||
| |
E * | ≤ 5 D Е |
( 8 ) |
|
приймають гіпотезу про нормальний розподіл емпіричного ряду. У наведених формулах D Sk і DЕ відповідні значення дисперсій асиметрії та ексцесу.
Значення асиметрії та ексцесу можуть бути обчислені за формулами
S k = μ 3 / σ3 |
( 9 ) |
Е = ( μ 4 / σ4 ) – 3 |
( 10 ) |
де μ 3 , μ 4 – центральні моменти, відповідно, третього та четвертого порядків, σ
– середнє квадратичне відхилення .
Оцінки центральних моментів та середнього квадратичного відхилення знайдемо за формулами
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
n |
|
|
|
|
|
å i |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
μ *3 = |
|
i =1 |
; |
( 11 ) |
|
|
n |
||||
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
å i |
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
μ *4 = |
|
i =1 |
|
; |
( 12 ) |
|
n |
||||
|
|
|
|
||
σ * = m .
Для визначення дисперсії асиметрії та ексцесу можна використати фор-
мули
D Sk = |
6 (n−1) |
≈ |
6 |
; DE = |
24 n ( n − 2 )( n − 3 ) |
≈ |
24 |
, |
( 13 ) |
|
( n + 1) ( n + 3 ) |
n |
( n + 1 )2 ( n + 3 ) ( n + 5 ) |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
де n – об’єм вибірки.
Критерій Пірсона або критерій χ2.
Критерій χ 2 базується на слідуючих засадах.
Щоб відповісти на питання про погодження результатів вимірювань з нормальним розподілом, треба розрахувати, як були б розподілені результати вимірювань при розподілі Гауса та порівняти їх з одержаними. Але помилка є неперервною змінною, тому ми не можемо говорити про очікуєме число вимірювань для будь якого одного значення помилки. Замість цього ми можемо говорити про число очікуємих даних у якомусь інтервалі. Формула для розрахунку імовірності p попадання в інтервал у випадку нормального розподілу нам добре відома. У критерії χ 2 виконується порівняння кількості значень які попали у будь який i - тий інтервал m i з кількістю значень які б туди попали у випадку нормального розподілу np i. Значення критерію знаходять за формулою
k |
( m − n p |
i |
) 2 |
|
|
χ 2 = å |
i |
|
, |
( 14 ) |
|
n p i |
|
|
|||
i = 1 |
|
|
|
|
де n- загальна кількість спостережень, а k – кількість інтервалів.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
По обчисленому значенню критерію χ 2 і числу степенів вільності k – 3 знаходять імовірність P одержання значення χ 20 більшого або рівного обчисленому значенню χ 2 у випадку, коли б наш розподіл підкорявся нормальному закону. Задавшись рівнем значущості α, гіпотезу про нормальність розподілу приймають, якщо одержана імовірність P більша за прийняту α.
ІІ. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ.
ІІ.1 Визначити вид розподілу ряду істинних помилок. При порівнянні емпіричного ряду з нормальним використати наближені критерії, асиметрію та ексцес, критерій Пірсона.
ІІ.2. Кожен студент одержує для обробки ряд з 50 істинних помилок. Приклад вихідних даних наведений у табл.1.
Таблиця 1 Вихідні данні
№ п.п |
∆ |
№ п.п |
∆ |
№ п.п |
∆ |
№ п.п |
∆ |
№ п.п |
∆ |
1 |
-3,5 |
11 |
-4,63 |
21 |
6,12 |
31 |
1,41 |
41 |
0,98 |
2 |
-10,78 |
12 |
-2,35 |
22 |
-4,88 |
32 |
-1,7 |
42 |
-7,11 |
3 |
6,39 |
13 |
22,89 |
23 |
-6,47 |
33 |
4,11 |
43 |
-0,16 |
4 |
-4,21 |
14 |
14,72 |
24 |
9,11 |
34 |
11,4 |
44 |
7,71 |
5 |
2,81 |
15 |
6,74 |
25 |
4,48 |
35 |
-8,92 |
45 |
16,63 |
6 |
-14,14 |
16 |
2,53 |
26 |
-8,26 |
36 |
-6,96 |
46 |
-10,95 |
7 |
10,25 |
17 |
14,76 |
27 |
-25,55 |
37 |
-0,84 |
47 |
0,01 |
8 |
14,42 |
18 |
21,58 |
28 |
7,79 |
38 |
6,19 |
48 |
9,9 |
9 |
12,19 |
19 |
2,65 |
29 |
-9,06 |
39 |
11,69 |
49 |
-3,56 |
10 |
9,29 |
20 |
-6,85 |
30 |
-1,86 |
40 |
-9,73 |
50 |
23,45 |
Заданий рівень значущості – 10%.
1.Визначити центр розподілу, для цього обчислити середнє арифметичне з ряду істинних помилок за формулою
n
å i
= |
1 |
|
( 15 ) |
|
n |
||
|
|
|
Для наведеного прикладу n = 50, середнє арифметичне = 2,195. Щоб не накопичити помилку округлення треба у обчисленому значенні утримати на один десятинний знак більше ніж у вихідних даних.
2. Одержане середнє арифметичне значно відрізняється від нуля, що вказує на присутність систематичної помилки. Треба виключити її з ряду істинних помилок і сформувати новий ряд скоректованих істинних помилок, які обчислити за формулою
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
′ = i − |
|
. |
( 16 ) |
|
Обчислені значення наведені у табл. 2.
Для контролю обчислень знайти суму ∆´, яка не повинна перевищувати 0,0005 * n, тобто 0.0005 * 50 = 0,025. У наведеному прикладі сума становить Σ ∆´ = 0,0000..
3. Виконати перевірку за допомогою наближених критеріїв.
3.1 Обчислити середню квадратичну m, середню υ* і імовірну r* помилки за формулами
( 5 ) і ( 6 ). Для обчислень значень помилок треба мати слідуючи ряди значень: ∆´²¸ а також впорядкований ряд | ∆´| , розміщених у порядку зростання. Ряди наведені у табл. 2.
Одержані значення становлять : середня помилка υ* = 8,2,
середня квадратична помилка m = 10,1.
Число помилок 50, тобто парне, тому при обчислені імовірної помилки r* знаходимо середнє значення з ∆´25 і ∆´26 в ряді | ∆´| , розміщених у порядку зростання.
r* = (ê∆´25 ï+ê∆´26)/ 2,
імовірна помилка r* = 7,1.
Виконаємо перевірку ряду помилок на наявність грубих помилок, використавши правило 3σ, Максимальне значення | ∆´| = 27,745 не перевищує 3 m. (27,745 < 30,3). Тобто грубі помилки відсутні.
3.2. Виконати перевірку співвідношень ( 3 ) і ( 4 ). Обчислені значення коефіцієнтів становлять
7,1 ≈ 0,675 * 10,1; k 1 = 7,1 / 10,1 0,693 ≈ 0,695 10,1 ≈ 1,253 * 8,2; k 2 = 10,1 / 8,2 1,231 ≈ 1,253.
Співвідношення виконуються досить точно, тому можна зробити висновок, що,
згідно перевірки по наближеним критеріям, наведений ряд помилок підкоряється нормальному закону розподілу.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Таблиця 2
№ |
|
´́́́ |
´́́́2 |
| |
´́́́ |
´́́́3 |
́́́´ 4 |
|
|
|
| |
|
|
||
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-3,500 |
-5,6946 |
32,42847 |
|
0,335 |
-184,667 |
1051,606 |
2 |
-10,780 |
-12,9746 |
168,34025 |
|
0,455 |
-2184,147 |
28338,438 |
3 |
6,390 |
4,1954 |
17,60138 |
|
0,615 |
73,845 |
309,809 |
4 |
-4,210 |
-6,4046 |
41,01890 |
|
0,785 |
-262,710 |
1682,550 |
5 |
2,810 |
0,6154 |
0,37872 |
|
1,215 |
0,233 |
0,143 |
6 |
-14,140 |
-16,3346 |
266,81916 |
|
1,915 |
-4358,384 |
71192,463 |
7 |
10,250 |
8,0554 |
64,88947 |
|
2,185 |
522,711 |
4210,643 |
8 |
14,420 |
12,2254 |
149,46041 |
|
2,285 |
1827,213 |
22338,413 |
9 |
12,190 |
9,9954 |
99,90802 |
|
2,355 |
998,621 |
9981,613 |
10 |
9,290 |
7,0954 |
50,34470 |
|
3,035 |
357,216 |
2534,589 |
11 |
-4,630 |
-6,8246 |
46,57517 |
|
3,895 |
-317,857 |
2169,246 |
12 |
-2,350 |
-4,5446 |
20,65339 |
|
3,925 |
-93,861 |
426,562 |
13 |
22,890 |
20,6954 |
428,29958 |
|
3,995 |
8863,831 |
183440,531 |
14 |
14,720 |
12,5254 |
156,88565 |
|
4,055 |
1965,055 |
24613,106 |
15 |
6,740 |
4,5454 |
20,66066 |
|
4,195 |
93,911 |
426,863 |
16 |
2,530 |
0,3354 |
0,11249 |
|
4,545 |
0,038 |
0,013 |
17 |
14,760 |
12,5654 |
157,88928 |
|
4,545 |
1983,942 |
24929,024 |
18 |
21,580 |
19,3854 |
375,79373 |
|
5,515 |
7284,912 |
141220,930 |
19 |
2,650 |
0,4554 |
0,20739 |
|
5,595 |
0,094 |
0,043 |
20 |
-6,850 |
-9,0446 |
81,80479 |
|
5,695 |
-739,892 |
6692,024 |
21 |
6,120 |
3,9254 |
15,40877 |
|
5,755 |
60,486 |
237,430 |
22 |
-4,880 |
-7,0746 |
50,04997 |
|
6,405 |
-354,083 |
2504,999 |
23 |
-6,470 |
-8,6646 |
75,07529 |
|
6,825 |
-650,497 |
5636,300 |
24 |
9,110 |
6,9154 |
47,82276 |
|
6,915 |
330,713 |
2287,016 |
25 |
4,480 |
2,2854 |
5,22305 |
|
7,075 |
11,937 |
27,280 |
26 |
-8,260 |
-10,4546 |
109,29866 |
|
7,095 |
-1142,674 |
11946,197 |
27 |
-25,550 |
-27,7446 |
769,76283 |
|
7,705 |
-21356,76 |
592534,813 |
28 |
7,790 |
5,5954 |
31,30850 |
|
8,055 |
175,184 |
980,222 |
29 |
-9,060 |
-11,2546 |
126,66602 |
|
8,665 |
-1425,575 |
16044,281 |
30 |
-1,860 |
-4,0546 |
16,43978 |
|
9,045 |
-66,657 |
270,266 |
31 |
1,410 |
-0,7846 |
0,61560 |
|
9,155 |
-0,483 |
0,379 |
32 |
-9,730 |
-11,9246 |
142,19609 |
|
9,205 |
-1695,631 |
20219,727 |
33 |
-1,700 |
-3,8946 |
15,16791 |
|
9,305 |
-59,073 |
230,065 |
34 |
4,110 |
1,9154 |
3,66876 |
|
9,495 |
7,027 |
13,460 |
35 |
11,400 |
9,2054 |
84,73939 |
|
9,995 |
780,060 |
7180,764 |
36 |
-8,920 |
-11,1146 |
123,53433 |
10,455 |
-1373,035 |
15260,731 |
|
37 |
-6,960 |
-9,1546 |
83,80670 |
11,115 |
-767,217 |
7023,563 |
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
38 |
-0,840 |
-3,0346 |
9,20880 |
11,255 |
-27,945 |
84,802 |
39 |
6,190 |
3,9954 |
15,96322 |
11,925 |
63,779 |
254,824 |
40 |
11,690 |
9,4954 |
90,16262 |
12,225 |
856,130 |
8129,298 |
41 |
0,980 |
-1,2146 |
1,47525 |
12,525 |
-1,792 |
2,176 |
42 |
-7,110 |
-9,3046 |
86,57558 |
12,565 |
-805,551 |
7495,331 |
43 |
-0,160 |
-2,3546 |
5,54414 |
12,975 |
-13,054 |
30,738 |
44 |
7,710 |
5,5154 |
30,41964 |
13,145 |
167,776 |
925,354 |
45 |
16,630 |
14,4354 |
208,38077 |
14,435 |
3008,060 |
43422,547 |
46 |
-10,950 |
-13,1446 |
172,78051 |
16,335 |
-2271,131 |
29853,104 |
47 |
0,010 |
-2,1846 |
4,77248 |
19,385 |
-10,426 |
22,777 |
48 |
9,900 |
7,7054 |
59,37319 |
20,695 |
457,494 |
3525,176 |
49 |
-3,560 |
-5,7546 |
33,11542 |
21,255 |
-190,566 |
1096,631 |
50 |
23,450 |
21,2554 |
451,79203 |
28,745 |
9603,020 |
204116,038 |
Σ |
109,730 |
0,0000 |
5050,41964 |
410,870 |
-860,382 |
1506914,898 |
4. Виконати перевірку за допомогою асиметрії та ексцесу. 4.1Обчислити ексцес і асиметрію за формулами ( 9 ) і ( 10 ), використо-
вуючи данні табл.2. Значення центральних моментів знайти за формулами ( 11 ) і ( 12 ). Для наведеного прикладу вони становлять
μ*3 = -17,208;
μ*4 = 30138,298.
Асиметрія та ексцес приймають такі значення
Sk = -0,016;
Е = -0,163.
4.2.Обчислити середнє квадратичне відхилення для асиметрії та ексцесу за формулами ( 13 ), при n = 50
σSk = 0.34;
σЕ = 0,69.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com