Elektrodinamika

Електростатика

ІІІ. ЕЛЕКТРОСТАТИКА

§48. Закон збереження електричного заряду. Електричне поле. Напруженість електричного поля

Електростатика – це розділ фізики, в якому розглядають взаємодії і властивості електричних зарядів, що нерухомі в тій системі координат, в якій ці заряди вивчають.

У природі існує два види електричних зарядів – позитивні і негативні. Домовились вважати позитивним заряд, що виникає, наприклад, на склі, яке натирають шовком, а негативним – на бурштині, який натирають хутром. Однойменно заряджені тіла відштовхуються одне від одного, а різнойменно заряджені притягуються. Знак заряду, який виникає на тілі внаслідок електризації тертям, залежить не тільки від хімічного складу цього тіла, а й від того, з яким іншим тілом воно стикається при терті.

	При електризації тіл тертям завжди одночасно електризуються обидва тіла, причому
одне	з	них	дістає	позитивний
заряд,	а друге – негативний.	Позитивний заряд першого тіла за величиною завжди точно

дорівнює негативному заряду другого, якщо до електризації обидва тіла не були заряджені. Численними експериментами було встановлено закон збереження електричних зарядів:

в ізольованій системі алгебраїчна сума електричних зарядів залишається незмінною.

Заряди можуть лише передаватись від одного тіла даної системи до іншого або

зміщуватись всередині даного тіла.

Електричні заряди можуть зникати і виникати знову, але завжди зникають або виникають два електричні заряди протилежних знаків.

В 1909 р. Р.Мілікен встановив кратність електричного заряду деякому елементарному заряду е:

q = ±N ×e , де N=1, 2, 3...

Було виявлено, що цей елементарний заряд має величину 1,6 ×10−19 Кл.

Ш. Кулон в 1785 р. експериментально за допомогою крутильних терезів встановив основний закон взаємодії нерухомих точкових електричних зарядів.

Точковим називається заряд, який зосереджений на тілі, лінійні розміри якого малі порівняно з відстанню до інших заряджених тіл, з якими він взаємодіє.

Закон Кулона: сила електростатичної взаємодії між двома точковими електричними зарядами у вакуумі прямо пропорційна до добутку величин зарядів і обернено

пропорційна до квадрата відстані між ними:

F = k

q1

q2

,

r 2

де k – коефіцієнт пропорційності.

Сили, які діють на заряди, є центральними, тобто вони напрямлені вздовж прямої,

що з’єднує заряди.

Закон

Кулона

можна

записати

у

103

Електромагнетизм

векторній формі. Якщо

V

– радіус-вектор, що з’єднує заряд q1 із зарядом q2 (рис. 95) і

r12

V

= r , тоді

r12

R

= -k

q q

2

R

R

= k

q q

2

R

F

1

r

,

F

1

r .

12

r 3

12

21

r 3

12

R

+ q1

R

+ q2

R

F

F

r

12

+

12

+

21

r

Рис. 95

У системі СІ для зарядів у вакуумі коефіцієнт k у формулі закону Кулона записують у

формі

					k =	1		,
							4πε0
де ε0 = 8,85 ×10−12	Кл2	– електрична стала, і, отже, k = 9 ×109							Н м2	.
	Н м2
									Кл2
Множник 4π у виразі k =			1		відбиває сферичну симетрію електростатичного поля
		4πε0
точкового заряду, оскільки величина					4π	числово дорівнює повному тілесному куту в
стерадіанах.

Простір, у якому перебуває електричний заряд, характеризується певними фізичними властивостями і називається електричним полем.

Електричне поле – це специфічний вид матерії, який існує навколо електричних

зарядів і за допомогою якого передається електрична взаємодія.

Воно проявляє себе в тому, що поміщений в нього електричний заряд виявляється під дією сили, яка пропорційна до величини заряду. Якщо електричне поле створюється нерухомими електричними зарядами, то таке поле називається електростатичним.

Для виявлення і дослідного вивчення електростатичного поля використовується

пробний заряд	qпр . Це одиничний позитивний точковий заряд, який не бере участі у
створенні	поля	і	не	спотворює

досліджуване поле, тобто не спричинює перерозподілу зарядів, які утворюють поле. Якщо в

R

поле, що створюється зарядом q помістити пробний заряд qпр , то на нього діє сила F , яка пропорційна до величини qпр . Тому ця сила не може бути характеристикою самого поля.

	Але величина, яка	дорівнює	відношенню		F		= const , може		служити силовою
					qnp
				R			F
	характеристикою поля.	Векторна	величина E =					називається напруженістю
						qnp
	електричного поля.
	Напруженість електричного поля числово				дорівнює силі, що				діє на одиничний

позитивний пробний заряд в даній точці поля.

157

Електромагнетизм

За напрямок вектора напруженості E беруть напрямок сили, з якою поле діє на пробний позитивний заряд, вміщений у певну точку поля (рис. 96).

	E F	R	R
+		F	E
	+	–	+
q	qпр	q	qпр

Рис. 96

У системі СІ одиниця напруженості електричного поля 1 Н/Кл – це напруженість такого поля, яке діє з силою 1 Н на точковий заряд 1 Кл.

Електричні поля зображають за допомогою ліній напруженості, які проводять так,

R

щоб дотичні до цих ліній в кожній точці збігалися з напрямками вектора E (рис. 97).

E1

R

E2

R

E3

Рис. 97

Лінії напруженості мають початок і кінець або йдуть у нескінченність чи з нескінченності, вони напрямлені від позитивного заряду до негативного, тобто виходять з позитивного заряду, а входять у негативний заряд. Лінії напруженості ніколи не перетинаються. Ці лінії проводять з такою густиною, щоб кількість ліній, які пронизують одиничну площу, перпендикулярну до вектора напруженості, числово дорівнювала величині напруженості електричного поля в місці розміщення площини. Приклади графічного зображення електричних полів за допомогою ліній напруженості показано на рис. 98.

+	–	+	–
	+	–	+
+	+

Рис. 98

Поле, у всіх точках якого величина і напрямок вектора напруженості незмінні,

називається однорідним.

Воно утворюється між зарядженими площинами, якщо вони паралельні і нескінченно великі. Однорідне поле зображують паралельними лініями напруженості, що мають однакову густину.

Якщо поле створено системою N нерухомих зарядів, то результуюча сила, яка діє на пробний заряд зі сторони системи зарядів, дорівнює векторній сумі сил, з якими окремі заряди діють на пробний.

Напруженість поля системи точкових зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, які створював би кожний із зарядів системи зокрема:

158

Електромагнетизм

			N	R
R	R		∑ Fi				R		R
	F		i=1				F1		FN
E =		=			=			+ ...+		,
	qnp
			qnp				qnp		qnp
	R		R	R				R
	E	= E1 + E2				+ ...+ EN .
Це твердження називають	принципом						незалежності дії електричних полів, або

принципом суперпозиції полів.

Виходячи із закону Кулона, напруженість поля точкового заряду у вакуумі на відстані r від заряду:

	R	1		q	R
	E =				r12 .
		4πε0 r 3
	Звідси видно, що поле точкового заряду –			центрально симетричне.
	Принцип суперпозиції дає можливість			обчислювати напруженість поля будь-якої

системи зарядів. Подумки поділяючи, наприклад, заряджене тіло скінченних розмірів на точкові заряди, знаходимо складові напруженості в певній точці, створені окремими елементами зарядженого тіла. Потім, згідно з принципом суперпозицій, визначаємо результуючу напруженість.

Нерухомі електричні заряди розміщуються в просторі або дискретно в окремих точках, або неперервно – вздовж якоїсь лінії, на поверхні якого-небудь тіла або в якомусь об’ємі. Якщо заряд неперервно розподілений вздовж лінії, то можна ввести лінійну густину

електричних зарядів

τ = lim		q =			dq			,
l →0		l			dl
де q - заряд ділянки лінії завдовжки l
Неперервний розподіл заряду по якійсь поверхні характеризується поверхневою
густиною зарядів
σ = lim		q	=				dq		,
S →0		S					dS
де q - заряд ділянки поверхні, площа якої становить										S .
Якщо заряд q неперервно розподілений у певному об’ємі V , то введемо об’ємну
густину зарядів
ρ = lim		q		=			dq			.
							dV
V →0		V
Електричним диполем називається система										з двох однакових за величинами і

протилежних за знаком електричних зарядів + q і − q , відстань l між якими мала порівняно з відстанню до точок поля, які розглядаються (рис. 99).

	+ q	l	− q	Плечем диполя називається вектор l , напрямлений вздовж осі
	+		_	диполя від негативного заряду до позитивного; він числово дорівнює
	p
		Рис. 99		відстані між ними. Добуток позитивного заряду диполя q на плече l

називається електричним моментом диполя:

159

Електромагнетизм

R =

p ql .

Вектор p за напрямком збігається з плечем диполя l .

§49. Робота при переміщенні заряду в електростатичному полі. Потенціал електричного поля. Напруженість як градієнт потенціалу

Обчислимо роботу сил електростатичного поля при переміщенні точкового заряду в

	d		однорідному полі, яке створене			двома скінченими паралельними
+	s1		− зарядженими площинами, розміри яких значно більші, ніж відстань d
1			4 між ними. Нехай позитивний заряд q переміщається силою поля F=qE
			з точок 1, 2 і 3 в точку 4 (рис. 100).
	s2
			Робота сил поля
	α
				A14 = Fs1 = qEd .
2
			Якщо заряд переміщається з точки 2 в точку 4, то робота
3
	s3		A	= Fs		cosα = qEd .
					2
			24
	Рис 100		Підрахуємо тепер роботу переміщення заряду q із точки 3 в

точку 4. Розіб’ємо криву s3 на n ділянок, кожну з яких можна з великою точністю взяти за пряму. Тоді

n	n
A34 = ∑ Fsi cosαi = F ∑ di = Fd = qEd .
i=1	i=1

Отже, робота при переміщенні заряду у трьох випадках однакова, хоча траєкторії руху заряду різні.

Розглянемо тепер електричне поле, яке створюється нерухомим точковим зарядом q у вакуумі (рис. 101).

		F							2
		dr			dl
		q′ +
	1
	R	R					R
	r1	r					r2
		+
		q			Рис. 101
Нехай в електростатичному полі заряду q вздовж довільної траєкторії переміщується
точковий заряд q′	R
	під дією сили F з точки 1,			що перебуває на відстані r1 від джерела поля в
точку 2 на відстані r2 від нього.							R			R
		Робота		сили			F		на елементарному переміщенні	dl
дорівнює:
	dA = Fdl cosα =				1		qq′	dl cosα =
			4πε0 r 2
		160

Електромагнетизм

=	1	qq′	dr	.
	4πε0
			r 2
Робота при переміщенні заряду q′	з точки 1 в точку 2 дорівнює:

A =

r2

dA =

qq′

r2 dr

=

1

qq′

−

qq′

.

∫

4πε

∫ r 2

4πε

r

r

12

0

0

r

r

1

2

1

1

Ця робота не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим

(1) і кінцевим (2) положенням заряду. Отже, електростатичне поле точкового заряду є

потенціальним, а електростатичні сили –

консервативними.

Оскільки робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення

потенціальної енергії, то

A =

1

qq′

−

1

qq′

= W −W .

12

4πε0 r1

1

2

4πε0 r2

Отже, потенціальна енергія заряду q′ в полі заряду q у вакуумі дорівнює:

W =

1

qq′

+ C .

4πε0

r

Домовимось вважати потенціальну енергію заряду q′ на нескінченно великій відстані від заряду q рівною нулю. При r → ∞ W=0 і C=0. Тому потенціальна енергія заряду q′ , що перебуває на відстані r від точкового заряду q, дорівнює

W =

qq′

.

4πε0 r

Якщо заряди

q′

та

q

однойменні,

то

потенціальна

енергія їхньої взаємодії

(відштовхування) додатна

і

зростає при

зближенні

цих зарядів (рис. 102). У випадку

q > 0,q′ > 0

взаємного притягання різнойменних зарядів потенціальна енергія

W

їхньої взаємодії від’ємна і зменшується при наближенні одного із

q < 0,q′ < 0

зарядів до іншого.

r

Потенціальна енергія W заряду q′ , що

перебуває в полі

q > 0,q′ < 0

точкових

зарядів q , q

2

, …

q

n

,

дорівнює

сумі

його потенціальних

q < 0,q′ > 0

1

енергій W у полях, що створюються кожним зарядом зокрема:

Рис. 102

n

n

qi

W = ∑Wi = q′∑

,

4πε

r

i=1

i=1

0 i

де ri - відстань від заряду qi

до заряду q′ .

Величина ϕ =

W

є

однакова для

всіх

зарядів

в даній

точці

поля і називається

q′

потенціалом поля.

Потенціалом ϕ будь-якої точки електростатичного поля називають фізичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду,

поміщеного в цю точку.

161

Рис. 103

Електромагнетизм

Одиниця потенціалу – вольт. 1B - це потенціал такої точки поля, в якій заряд величиною 1 Кл володіє потенціальною енергією в 1 Дж.

Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом q у вакуумі, дорівнює:

ϕ = q .

4πε0 r

Роботу, яку виконують електростатичні сили при переміщенні заряду q′ від точки 1 до точки 2 електростатичного поля, можна записати так:

A = W1 −W2 = q′(ϕ1 − ϕ2 ),

де ϕ1 та ϕ2 - потенціали електростатичного поля в точках 1 та 2.

Якщо з точки з потенціалом ϕ1 заряд q′ віддаляється в нескінченність (ϕ2 = 0), то робота сили поля буде дорівнювати A∞ = q′ϕ1 . Звідси

ϕ = A∞ .

1 q′

Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил електростатичного поля)

при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:

q +	r	M		r2	_
	1				q
1	r3		r4			2
+
		_ q4
q3

	1		n	q
ϕ = ∑ϕi =			∑	i	.
	4πε			r
i		0 i =1		i

Наприклад, потенціал поля в точці М (рис. 103), яке створене

зарядами q1 , q2 , q3 , q4 дорівнює
ϕ =	1		q		+	q	2	+	q	3	+	q	4
				1										.
	4πε			r		r			r			r
		0
				1		2			3			4

Електричне поле можна описати або за допомогою векторної

R

величини E , або за допомогою скалярної величини φ. Очевидно, що між цими величинами повинен існувати зв’язок.

Нехай в електростатичному полі знаходиться заряд q. Робота при переміщенні цього заряду вздовж осі ОХ між двома нескінченно близькими точками дорівнює:

dA = Fdx = qEx dx .

З іншого боку, елементарна робота при переміщенні заряду q в електростатичному полі виражається через потенціали цього поля:

dA = q(ϕ1 − ϕ2 ) = −q(ϕ2 − ϕ1 ) = −qdϕ .

Тоді, прирівнявши елементарні роботи, отримуємо:

Exdx = −dϕ , Ex = −	∂ϕ .
	∂x

Знак „ – ” означає, що під дією сил електричного поля додатній заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.

162

Електромагнетизм

Аналогічні міркування можна поширити і на напрямки переміщень вздовж осей OY і

ОZ:

E y = −		∂ϕ ; Ez			= − ∂ϕ .
		∂y			∂z
Отже, ми знайшли Ex E y та Ez	–	компоненти вектора напруженості E:
R		R	R	+ Ez k .
E = Exi			+ E y j
Це рівняння можна переписати так:				j − ∂ϕ k .
E = −	∂ϕ i − ∂ϕ
R		R		R	R
	∂x		∂y		∂z

У векторному аналізі градієнтом скалярної величини φ називається така векторна величина, для якої справедливий запис:

gradϕ =	∂ϕ iR +	∂ϕ Rj +	∂ϕ kR .
	∂x	∂y	∂z

Отже,

R

E = −gradϕ .

R

Знак „ – ” вказує на те, що вектор E напруженості поля напрямлений в бік найшвидшого зменшення потенціалу. Напруженість в якій-небудь точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з оберненим знаком.

R

Знаючи потенціал φ в кожній точці поля, за формулою E = −gradϕ можемо обчислити напруженість в кожній точці поля.

Можна розв’язати і обернену задачу, тобто знаючи напруженість поля в кожній точці поля, можна знайти різницю потенціалів між двома довільними точками.

Робота при переміщені заряду з точки 1 в 2 дорівнює:

2	R R	2	R R
A12 = ∫ (F ,dl )= ∫ qEdl ,
1		1

але, з іншого боку,

A12 = q(ϕ1 − ϕ2 ).

Звідси

2	R R
ϕ1 − ϕ2 = ∫ (E ,dl ).
1
Інтеграл можна брати вздовж довільної	лінії, яка з’єднує точки 1 та 2, оскільки

електростатичне поле є консервативне.

При обході по замкненому контуру заряд потрапляє в кінцеву точку поля, яка збігається з початковою і ϕ2 = ϕ1 , отже

		R
		∫ (E ,dl )= 0 .
		L
ϕ	2	Цей інтеграл називають циркуляцією вектора напруженості вздовж
L		замкненого контуру (рис. 104).
		163

ϕ1 Рис. 104

Електромагнетизм

Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж замкненого контуру дорівнює нулю.

Векторне поле E називається потенціальним, якщо циркуляція вектора E вздовж довільного замкненого контуру дорівнює нулю.

Геометричне місце точок з однаковим потенціалом називається еквіпотенціальною

поверхнею.

Для еквіпотенціальних поверхонь:

ϕ(x, y, z) = const .

При переміщенні по еквіпотенціальній поверхні на відрізок отже, і робота

		2	R	R
A12 = q(ϕ1 − ϕ2 ) = ∫ q(E ,dl )=
		1
2	R		R

= q∫ Edl cos(E ˆ, dl )= 0 .

1

dl потенціал не змінюється, а,

R

E

	Звідси	n
		Рис. 106
		Edl cos(Eˆ, dl )= 0 .

Оскільки

E=/ 0 ; dl =/ 0 , то cos(Eˆ, dl )= 0 .

Врезультаті кут між E та dl дорівнює π .

2

R

Вектор E напруженості електричного поля в кожній точці напрямлений перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні.

Еквіпотенціальні поверхні точкового заряду – це сферичні оболонки навколо нього

(рис. 105) (ϕ1 > ϕ2 > ϕ3 > ϕ4 ) .

	R
	E	R
		+ E
R		R
E
	+	E
R		ϕ4
E		ϕ3
ϕ1		ϕ2
	Рис. 105

§50. Потік вектора напруженості. Теорема Остроградського-Ґаусса

Основне завдання електростатики полягає в тому, щоб за заданим розподілом у просторі і величиною електричних зарядів знайти величину і напрямок вектора напруженості

R

E в кожній точці поля. Використання принципу суперпозиції для обчислення електричних полів пов’язано із значними математичними труднощами. Значно простіший метод

розрахунку	полів	ґрунтується	на	використанні	теореми
			164

Електромагнетизм

Остроградського-Ґаусcа.

Нехай в однорідному електричному полі (E = const ) проведена довільна площина dS.

Одиничний вектор n нормалі до площини складає з вектором E кут α (рис. 106). Потоком вектора напруженості будемо називати величину

	dФE = EdS cosα			або dФE = EndS = (E ,dS ),
де En –					R
	проекція вектора E на напрямок вектора нормалі, а вектор dS = dSn .
Повний потік вектора напруженості через довільну поверхню S буде
		ФE = ∫ EndS = ∫ E cosα dS .
			S	S
Знак потоку залежить від вибору напрямку нормалі. Для замкнених поверхонь
нормаль, яка виходить назовні, приймається за додатну. Тоді там, де вектор E напрямлений
назовні,	En та ФE додатні,	а коли	E входить в середину поверхні, En та ФE від’ємні
(рис. 107).
			R	dФ>0	n
		dS	E		R
		α		dS
	n				E
		dФ<0
				Рис. 107
Для замкнених поверхонь
				R
		ФE = ∫ EndS = ∫ (E ,dS ).
			S	S

Нехай навколо точкового заряду + q який знаходиться у вакуумі, описано довільну замкнену поверхню S (рис. 108).

		R
		E	dS dSn
		α
	n	En	dω
			r q	+	S

Рис. 108

Лінії напруженості виходять з цієї поверхні. Виділимо довільну елементарну

	площадку dS, нормаль n до якої складає кут α		з вектором E . Спроектуємо елемент dS
	поверхні S на поверхню радіуса r з центром в місці знаходження заряду q.Тоді
	dSn = dS cosα .
	Елементарний потік
	dФE = E cosα dS =		q	dSn =
		4πε0 r 2

165