4.4 Степенные ряды

Определение. Ряд, членами которого являются функции от х, называетсяфункциональным. (4.4.1)

Например:

Придавая хопределенное значение, мы получим числовой ряд, который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение. Если полученный числовой ряд сходящийся, то точка называетсяточкой сходимостиряда (4.4.1), если же ряд расходящийся –точкой расходимостифункционального ряда.

Определение. Совокупность числовых значений аргумента хпри котором функциональный ряд сходится, называетсяобластью сходимости ряда.

Это может быть вся числовая прямая, интервал, отрезок, точка.

Среди функциональных рядов в математике и её приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х,так называемыйстепенной ряд:

, где (4.4.2)

коэффициент ряда

Ряд (4.4.2) расположен по степеням х.

Ряд (4.4.3)

так же является степенным рядом, расположенным по степеням где- некоторое число.

Ряд (4.4.3) легко приводится к ряду (4.4.2) заменой . Поэтому при изучении степенных рядов можно ограничиться рядами вида (2).

Сходимость степенных рядов

Теорема (Абеля). Рассмотрим степенной ряд

(4.4.4)

Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значенияхх,удовлетворяющих неравенству. Если степенной рядрасходится в точкеx₀, то он расходится при всех значенияхx, для которых.

Из теоремы Абеля следует:

1. если - есть точка сходимости ряда, то интервал- сплошь состоит из точек сходимости данного ряда.

2. Для каждого степенного ряда существует определенное число такое, что ряд (4) абсолютно сходится при всех значенияхх,когдаи ряд (4.4.4) расходится для тех значенийх,когда. ЧислоRназываютрадиусом сходимости степенного ряда.

3. область сходимости степенного ряда есть промежуток - его называютинтервал сходимости.

Интервал сходимости симметричен относительно начала координат. На концах интервала, т.е. при x=R и x=-R сходимость проверяется в каждом случае отдельно.

Когда ряд сходится лишь в одной точке , то радиус сходимостиR=0и ряд является расходящимся, Если же ряд сходится при всех значениях(т.е. во всех точках числовой оси), то считаем что.

Для отыскания радиуса сходимости (числа R)поступают следующим образом:

Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

(4.4.5)

И применим к нему признак Даламбера:

, где .

Допустим, что этот предел существует, тогда по признаку Даламбера ряд (4.4.5) сходится, если и расходится, если, т.е. ряд сходится, еслиили

- интервал сходимости.

Таким образом, для ряда (4.4.4) радиус абсолютной сходимости можно найти по формуле

(4.4.6)

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши можно установить, что

(4.4.7)

Замечание: 1) интервал сходимости степенного ряда (4.4.3) находят из неравенства: , интервал имеет вид

2. если степенной ряд содержит не все степени х,т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости находят непосредственно, применяя признак Даламбера или Коши. Формулы (4.4.6) и (4.4.7) не используют.

Пример1. Найти область сходимости ряда .

Используем признак Даламбера:

для любого х, т.е. область сходимости (

Используя формулу (4.4.6)

.

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Заданный ряд неполный. Используем признак Даламбера:

Ряд сходится, если . Интервал сходимости.

Исследуем сходимость на концах интервала.

, получаем ряд , ряд сходится по признаку Лейбница.

, получаем ряд , ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. интервал сходимости отрезок.

Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x)степенного ряда (4.4.2) является непрерывной функцией в интервале сходимости(-R;R);

2. Степенные ряды и имеющие радиусы сходимости, соответственнои, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисели;

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

(4.4.8)

при выполняется равенство

(4.4.9)

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. При этом для ряда (4.4.8) при выполняется равенство

(4.4.10)

Ряды (4.4.9) и (4.4.10) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Перечисленные свойства остаются справедливыми и для степенных рядов вида (4.4.3).