Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида:

где m = const, m ≠ 0; 1. (33)

Заметим, что при m = 0 уравнение (33) является линейным неоднородным дифференциальным при m = 1 оно представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение (Убедитесь в этом самостоятельно).

Уравнение Бернулли (33) после деления обоих его частей у^m (в предположении, что у^m ≠ 0) преобразуется в уравнение: , которое при помощи замены (откуда и ) сводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению: .

Или: .

Последнее уравнение может быть решено одним из приведенных выше способов.

Заметим, что уравнение Бернулли можно предварительно не преобразовывать к линейному дифференциальному уравнению, а сразу применять либо метод вариации произвольной постоянной Лагранжа, либо метод Бернулли.

Пример 6.

Найти (любым способом) общее решение дифференциального уравнения:

(34)

Решение: Разделив обе части уравнения (34) на функцию ху (предполагая, что х у ≠ 0), получаем: (35)

Последнее уравнение имеет вид (33) (m = -1), а значит является уравнением Бернулли. Решим его методом Лагранжа, изложенным в предыдущем параграфе.

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

;

откуда: ;

;

;

, C₀ = const; C₀ ≠ 0

;

откуда: , где С = ±С₀.

Решение заданного уравнения Бернулли будем искать в виде:

, (36)

где С(х) – неизвестная дифференцируемая функция от х.

Для нахождения функции С(х), подставим (36) в уравнение (35):

;

;

;

;

;

,

;

.

Подставив, полученное выше, выражение для С(х) в соотношение (36), находим общее решение заданного уравнения:

Убедиться самостоятельно, что в процессе перехода от уравнения (34) к уравнению (35) при делении на функцию ху, не были потеряны никакие решения.

Ответ: .

Геометрические задачи.

Возникновение во 2-ой половине 17 века теории дифференциальных уравнений связано прежде всего с актуальными на то время так называемыми «обратными задачами на касательные» (поиск кривых по известным свойствам их касательных). Это и были первые задачи, которые сводились к решению дифференциальных уравнений.