Тема 4 «Введение в анализ» Переменные и постоянные величины. Понятие функции.

Опр. Переменной величиной называется величина, которая принимает разные численные значения.

Опр. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной. (При равномерном движении точки время и расстояние изменяются, скорость остается постоянной).

Предметом изучения математического анализа являются переменные величины, рассматриваемые в их взаимной связи и зависимости. Причем изучение это приводится отвлеченно от конкретного происхождения величин.

Все переменные величины принято обозначать буквами греческого алфавита x, y, z, t и т.д. Величины постоянные – латинскими буквами а, b, с и т.д. Чтобы задать переменную величину, надо указать область изменения переменной величины (отрезок, интервал, бесконечный промежуток).

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а следовательно и в математике, приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от другой. Например, пройденный путь рассматривается как переменная величина, изменяющаяся в зависимости от изменения времени. Здесь путь – функция времени. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств.

Опр. Если каждому значению переменной х из множества Х по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное вполне определенное значение y, то переменную y называют функцией от х. Записывают или . Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y .

На рисунке а) и б) f и q являются функциями, в) и г) не являются функциями.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается . Множество всех называется множеством значений функции и обозначается . Х – независимая переменная величина или аргумент, y – функция или зависимая переменная. Обозначают: . Буква f в символической записи указывает, что над значением х нужно произвести какие-то операции, чтобы получить значение y.

Чтобы задать функцию , необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречается три способа задания функции: аналитический, графический, табличный.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например: а) б) в) .

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию .

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции y, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задается таблице ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например. Известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.