- •Высшая математика конспект лекций
- •1 Курс, 1 семестр
- •Содержание
- •Тема 1 «Элементы линейной алгебры» 7
- •Тема 2 «Элементы векторной алгебры» 22
- •Тема 3 «Элементы аналитической геометрии» 30
- •Тема 4 «Введение в анализ» 51
- •Тема 5 «Элементы дифференциального исчисления функции одной переменной» 66
- •Введение
- •Тематический план
- •§ 2. Определители 3-го порядка
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения
- •§ 1. Определители высших порядков.
- •Система двух уравнений с двумя неизвестными
- •Система 3-х уравнений первой степени с 3-мя неизвестными
- •Понятие о матрицах
- •Сложение матриц и умножение их на число
- •Транспонирование матриц
- •Перемножение матриц
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Решение систем 3-х уравнений с 3-мя неизвестными с помощью формул Крамера
- •Исследование систем линейных уравнений
- •§ 1. Общие понятия. Систему уравнений вида
- •§ 2. Система 2-х уравнений с 2-мя неизвестными
- •§ 3. Система 3-х уравнений с 3-мя неизвестными
- •Вопросы для самоконтроля
- •Тема 2 «Элементы векторной алгебры» Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Определение координат вектора в данном базисе
- •Системы координат и скалярное произведение векторов Декартова система координат
- •Полярная система координат
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторно-скалярное (смешанное) произведение
- •§ 1. Вычисление объема параллелепипеда
- •§3.Направляющие косинусы
- •Вопросы для самоконтроля
- •Тема 3 «Элементы аналитической геометрии»
- •П 4. Переход от полярных координат к декартовым и обратно
- •Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости п 1. Проекция отрезка на оси координат
- •П 2 .Расстояние между двумя точками на координатной плоскости
- •П 3. Деление отрезка в данном отношении
- •Линии и их уравнения п 1. Понятие уравнения линии
- •П 2. Примеры заданий линий при помощи уравнений
- •П 3. Получение линии как геометрического места точек
- •П 4. Параметрические уравнения линий
- •П 5. Алгебраические линии
- •Прямая на плоскости п 1. Угловой коэффициент
- •П 3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку м1 (х1; у1)
- •П 8. Уравнение прямой в отрезках
- •П 9. Нормальное уравнение прямой
- •П. 10. Расстояние от точки до прямой
- •П. 11. Уравнение прямой в полярных координатах
- •П. 3 Эллипс и его каноническое уравнение
- •П.4 Эксцентриситет и директрисы эллипса
- •Гипербола и ее каноническое уравнение
- •П 6. Асимптоты гиперболы
- •П 7. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •П. 8 Парабола и ее уравнение
- •П. 9 Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •Преобразование координат п. 1 Преобразование координат при параллельном сдвиге осей
- •П 3. Преобразование декартовых координат при изменении начала и поворота осей
- •П. 4 Преобразование общего уравнения второй степени не содержащего произведения переменных
- •П 5. Преобразование общего уравнения второго порядка
- •Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение прямой
- •Понятие об уравнении плоскости.
- •Уравнения поверхностей
- •Вопросы для самоконтроля
- •Тема 4 «Введение в анализ» Переменные и постоянные величины. Понятие функции.
- •Основные характеристики функций.
- •Основные элементарные функции и их графики.
- •Числовая последовательность.
- •Предел функции.
- •Бесконечно малые величины.
- •Бесконечно большие функции.
- •Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
- •Основные теоремы о пределах.
- •Типы неопределенностей и способы их раскрытия.
- •Первый замечательный предел.
- •Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них.
- •Непрерывность функций.
- •Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •Вопросы для самоконтроля
- •Тема 5 «Элементы дифференциального исчисления функции одной переменной» Определение производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Производные основных элементарных функций.
- •Производная сложной и обратной функции.
- •Дифференцирование неявно заданной функции.
- •Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Производные высших порядков.
- •Производные высших порядков неявно заданной функции.
- •Производные высших порядков от функций заданных параметрически.
- •Дифференциал функции.
- •Правила вычисления дифференциала.
- •Приложения производной.
- •Исследование функций при помощи производной.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самоконтроля
- •Литература
Определение координат вектора в данном базисе
Пусть мы имеем два вектора и вектор . Если , то .
Если же в пространстве имеем n векторов, то разложение любого вектора можно записать в виде системы «n» линейных уравнений с «n» переменными.
(4)
Компоненты вектора образуют столбец при переменной xi в данной системе.
Если определитель этой системы отличен от нуля , то система имеет единственное решение и векторы образуют базис пространства.
А вектор разлагается по этому базису в виде .
Например. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Составляем определитель из векторов
Т.к. , то векторы линейно независимы и образуют базис в пространстве . Находим координаты вектора в этом пространстве. Составляем систему 3-х уравнений
Таким образом, получаем
.
Системы координат и скалярное произведение векторов Декартова система координат
Фиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.
называют радиус-вектор точки М. Если в пространстве кроме точки О выбран базис, то точке М можно сопоставить упорядоченную тройку чисел – компоненты ее радиус-вектора. Декартовой системой координат называют совокупность точки и базиса.
Точка О называется началом координат, а прямые проходящие через нее в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая – осью абсцисс, а вторая – осью ординат, третья осью – аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.
Компоненты радиуса вектора точки М по отношению к началу координат, называются координатами точки М. Соответственно первая координата – абсциссой, вторая - ординатой, третья – аппликатой.
Координаты точки пишут в скобках М (1; 2; -1). Если на плоскости, то М (1; 2).
Рассмотрим две точки А и В, относительно декартовой системы координат , и . Очевидно, что . Вектор имеет следующие компоненты .
Рассмотрим пространственную систему координат с взаимно перпендикулярными осями x, y , z.
Ее называют прямоугольной. Если поворот от к и (глядя c поло-
жительного направления z) происходит вправо, то такая система координат
называется правой, а если влево, то ее называют левой. В дальнейшем мы
будем использовать в основном правую систему координат. Единичные векторы по направлению осейx, y, z называются соответственно . В дальнейшем для
удобства стрелки будем ставить только на ортах . Базис с такими ортами называется ортонормированным. Декартовой прямоугольной системой координат называют систему координат с ортонормированным базисом координаты точки со знаком + или – относительно декартовой прямоугольной системы по абсолютной
величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей.
Полярная система координат
Пусть задана точка О, называемая полюсом и исходящая из него ось ОР, которая называется полярной осью. Длину вектора называют полярным радиусом, а угол .φ – полярным углом. Последний определен с точностью до 2πk. Обозначаются полярные координаты M (r, φ).
Например . Если r = 0, то точка М совпадает с полюсом.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение равно нулю, если один из векторов равен нулю либо (т.е. сомножители ортогональны). Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют соотношениям Для любого .
Если единичные орты, то - координаты вектора
Например:
.
Длина вектора будет
Например, вычислить , если .
.
При этом угол между векторами будет φ будет
.
Например
Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением двух векторов и есть вектор , определяемый следующим образом
Модуль вектора равен площади параллелограмма.
Вектор перпендикулярен к векторам и .
Направление вектора такое, чтобы с его конца видеть поворот от к против часовой стрелки.
Если один из векторов или угол φ будет равным нулю, то и векторное произведение также равно нулю.
Свойства векторного произведения
а) , т.е. векторное произведение не обладает переместительным (коммутативным) законом
б) , т.е. соблюдается сочетательный (ассоциативный) закон.
в) соблюдается распределительный (дистрибутивный) закон.
Найдем теперь произведения координатных ортов
.
Теперь найдем , если они выражены через проекции
Это можно представить в виде . Например, найти , если