1.3.Что надо уметь:

1.3.1.Отличать среднюю скорость на данном участке пути от мгновенной скорости.

1.3.2.Записывать уравнение координаты по известным начальной координате, скорости и ускорению.

1.3.3.Решать задачи координатным методом.

1.3.4.Рассчитывать скорости и ускорения при поступательном и вращательном движении тел методом дифференцирования.

1.4.Примеры решения задач.

К наиболее типичным задачам по кинематике принадлежат:

1.4.1 Задачи на определение средней скорости.

1.4.2. Задачи о поступательном движении или о вращении твер­дого тела вокруг оси, в которых заданы их уравнения движения.

1.4.3.Задачи, в которых требуется определить максимальное или минимальное значение одной из кинематических величин.

1.4.5. Задачи на движение тел в гравитационном поле Земли.

При решении задач (1.4.1.) нужно уметь ориентироваться в си­туации, когда даны части пути, пройденного телом или время про­хождения каждой части пути. Если даны части пути, то в скалярной формуле средней скорости (гдеS — весь путь, t - все время движения, включая время остановок) нужно выразить время t через данные части пути и скорости, а если даны доли времени, то необ­ходимо общий путь S выразить через скорости и доли времени

Решение задач (1.4.2.) основано на использовании формул пере­меним, скорости, ускорения, где неизвестные находятся путем дифференцирования.

Задачи (1.4.3.) требуют применения методов математического анализа к исследованию функции на экстремум. В них нужно полу­чить алгебраическое выражение искомой величины в произвольный момент времени, записав ее через данные характеристики движения. Что6ы найти максимум или минимум этой величины или условие, при котором она будет экстремальной, нужно продифференцировать полученное выражение и приравнять производную к нулю. В результате мы получим уравнение, из которого можно найти значение параметра, определяющего минимальное или максимальное значе­ние искомой величины. Будет ли функция иметь максимум или минимум, можно иногда определить из физических соображений, а в общем случае - по второй производной.

Если вторая производная окажется больше нуля, функция имеет минимум, если меньше - максимум. Подставляя найденное значение 11 исходную формулу, мы получим экстремальное значение искомой величины. Этот прием особенно часто применяется при решении задач на кинематику колебательного движения, изучение которого предусмотрено в третьем семестре.

К задачам (1.4.5.) относятся задачи на свободное падение тел, движение тел, подброшенных вверх, брошенных горизонтально и мод углом к горизонту и др.

Эти задачи удобно решать координатным методом по следующе­му плану:

1.Выбрать тело отсчета, систему координат (ось X направить по направлению начальной скорости).

2. Записать уравнение координаты в общем виде для каждого тела:

2. Найти начальные условия и подставить их в уравнение коор­динаты.

, .

3. Записать уравнение координаты для данного движения (с уче­том начальных условий).

4.Найти искомое неизвестное, используя, если нужно, уравнение

проекции скорости (,)

, или=const.

Движение тел, брошенных горизонтально или под углом к гори­зонту, можно представить как результат двух одновременных неза­висимых прямолинейных движений: одного вдоль поверхности Зем­ли, второго - в направлении перпендикулярном поверхности Земли. Иными словами, сложное прямолинейное движение можно разло­жить на два простых, которые происходят в одно и то же время. По­этому решение таких задач необходимо начинать с разложения век­тора начальной скорости по двум взаимно перпендикулярным осям ОХ и OY, применив алгоритм решения к проекциям величин по осям ОХ и OY.

Задача 1.4.1 (а) Первую половину своего пути автомобиль дви­гался со скоростью = 72к.м/ч, а вторую половину пути - со

скоростью км/ч. Какова средняя скорость движения авто­мобиля?

Дано: ;;км/ч; 3 6 км/ч.

?

Анализ и решение:

Путь пройденный телом, состоит из двух равных частей поS каждая. Потому время, в течение которого автомобиль прошел первую половину пути, равно

, вторую - .

Подставив эти значения в формулу скалярной величины средней скорости, получим:

Произведем вычисления, переведя в систему СИ

м/с; 10м/с.

м/с.

Задача 1.4.1(6) Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую часть пути он проехал со скоростью = 18км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью = 22км/Iч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью =5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.

Дано: = 18км/ч; = 22км/Iч; =5 км/ч; ;.

-?

Анализ и решение:

где S – весь путь , t – все время. Первую треть пути велосипедист проехал за время . ОставшиесяS он первую половину времени ехал со скоростью , а вторую половину со скоростью, поэтому средняя скорость на этом пути.

Подставив это значение в общую формулу, получим:

.

Выразим величины скоростей в СИ и произведем вычисления

5 м/с;6,1м/с; 1,6м/с.

м/с.

Задача 1.4.2(а) Зависимость пройденного пути S от времени да­ется уравнением: S= At — Bt² + Ct³, где A=2 м/с, В=3 м/с ², С=4 м/с³.

Найти: а) зависимость скорости и ускорения от времени,

б) скорость и ускорение за t=2 с от начала движения.

Построить график зависи­мости скорости и ускорения от времени для интервала 0 t <3 счерез 0,5 с.

Дано: А=2 м/с.;В=3м/с; С=4м/с.

; (t) - ?; - ?;- ?

Анализ и решение:

Так как путь задан уравнением ,скорость определим,

продиффенцировав по времени Соответственно ускорение.

Подставив значение постоянных величин получим скорость и ускорение:

и .Следовательно, через 2 с от на­чала движения

м/с.

Построим графики зависимостей v(t) и a(t):

Задача 1.4.2(6) Колесо радиусом R=0,l м вращается так, что за­висимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравне­нием , где В=2рад/с, С=1 рад/. Для точек, лежащихна ободе колеса, найти через время t=2 с после начала движения: а) угловую скорость , б) линейную скорость v, в) угловое ускоре­ние , д) тангенциальное и нормальное ускорение.

Дано: R=0,1 м; B=2 рад/с; C=1 рад/;t=2 c.

?, V-?, -?,-?,-?

Анализ и решение:

Угловую скорость найдем дифференцированием.

; Линейная скорость связана с угловой: .

Угловое ускорение – первая производная от угловой скорости. .

Тангенциальное и нормальное ускорения можно найти по формулам:

, . Подставим в формулы числовые значения величин и рассчитаем.

Получим: 14рад/с, v=1.4м/с =12рад/, =1,2м/с, =19,6 м/

Задача 1.4.2(в) Тело вращается вокруг неподвижной оси по зако­ну , где А=10рад, В=20 рад/с, С= -2 рад/. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R= 0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.

Дано: A=10 рад; В=20 рад/с, С=-2рад/

а-?

Анализ и решение:

Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального и нор­мального ускорений.

.

Так как векторы ивзаимно перпендикулярны, то модуль ускорения.

Но , поэтому

Угловую скорость найдем, взяв производную угла поворота по времени:

. В момент времени t=4 с угловая скорость:

= 20 + 2(-2) 4 =4 (рад/с). Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

(рад/с) . Подставляя значения ив формулу ускорения, получим:=l,65(м/).

Задача 1.4.3(а) Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравнением S=. Найти

экстремальное значение скорости тела. Построить график зависимости скорости от вре­мени за первые 5 с движения, если а=0,25м/, b=9 м/.

Дано: а=0,25м/, b=9 м/.

-?

Анализ и решение:

Найдем зависимость скорости от времени, определив производную и подставив числовые значения а и b. . Для нахождения экстремума возьмем производную от скорости по времени и приравняем ее нулю:- 18 = 0;

. Нас интересует положительный корень: t=2,45 с;

поэтому = -29,3м /с.

a	t
0	0
1	-17
2	-28
2,45	-29,3
3	-27
4	8
5 5	35

Задача 1.4.4(а) С аэростата, находящегося на высоте 300 м, упал камень. Через сколько времени камень достигнет Земли, если: 1) аэростат поднимается со скоростью 5 м/с, 2) аэростат опускается со скоростью 5 м/с, 3) аэростат неподвижен. Сопро­тивлением воздуха пренебречь.

Дано: h=300 м, v=5 м/с

- ? - ?- ?

Анализ и решение:

В данной задаче рассматривается свобод­ное падение тела. Воспользуемся приведен­ным выше планом решения.

1. Выберем в качестве тела отсчета аэростат в начальный момент времени. Так как движе­ние происходит в одном направлении,

2. Запишем уравнение координаты данного равноускоренного движения (свободного па­дения) для камня:

3. Найдем начальные условия для ответа на первый вопрос зада­чи:= 0,

= -5м/с, а = g.

0Проекция начальной скорости камня по модулю равна скорости аэростата и имеет знак «-», так как скорость направлена против осиOY.

4. Подставим начальные условия в уравнение координаты:

.

y

1. Конечная координата известна (y = ЗОО м), поэтому

Решая это уравнение, находим искомое неизвестное

Подставив числовые значения, получим:

с

Отбрасывая отрицательный корень, получим 8,3 с .

Ответы на второй и третий вопросы задачи предлагаются студентам для самостоятельной работы. Приведем эти решения:

2. ,=0 .=5м/с,

, ,7,3с.

3. =0,=0,a=g, ,,7,8с.

Задача 1.4.4(6) Тело брошено вертикально вверх с начальной ско­ростью =4м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянииh от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: =4м/с, a=, .

h-?

Анализ и решение:

Y Выберем ось OY снизу вверх по

направлению движения первого тела.

h Уравнение координаты в общем виде .

Для первого тела начальные условия согласно

выбранному направлению оси = 0,=4м/с, a= -g.

0 Следовательно уравнение координаты первого тела

(1)

Для второго тела уравнение координаты будут отличаться только значением времени:

Определим время t, исходя из того, что скорость в наи­высшей точке v=0

, v=0, a=-g поэтому ,

Но время движения второго тела как раз на эту величину меньше времени движения первого тела:

, поэтому (2)

При встрече тел их координата будет одной и той же, . Приравняв (1) и (2), получим:

Определим время встречи тел t:

,

Поскольку расстояние от начального пункта, на котором встретятся тела,

, то

м.

Задача 1.4.4(в) С башни высотой h=25 м горизонтально брошен камень со скоростью = 15м/с. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии х от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью он упадет на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения?

Дано: = 15м/с, h=25 м.

t-?, x-?, v-?, -?

Анализ и решение:

Y

A

0 X

v

Вдоль оси OY камень двигался равноускоренно: .

Начальные условия: =h, 0,a=-g. Поэтому . Но конечная координатаy=0 и . Время движения тела:с.

По оси ОХ тело движется равномерно. Поэтому расстояние, на котором оно упадет на землю .

Но 0,33,9м.

Чтобы определить скорость, с какой тело упадет на землю, нужно найти скорость в точке А по вертикали , поэтому

26,7 м/с.

Угол , который составит траектория камня с горизонтом, определится так:

sin= 0,827, откуда = 55°48'.