4.3. Что надо уметь:

4.3.1. Использовать правило правого буравчика для нахождения направления вектора магнитной индукции в поле прямолинейного проводника с током.

4.3.2. Использовать правило левой руки для определения направления силы Ампера и силы Лоренца.

4.4. Примеры решения задач

Типичные задачи по данному разделу охватывают:

4.4.1. расчет магнитного поля в вакууме по заданной конфигурации токов.

4.4.2. действие магнитного поля на проводники с током.

4.4.3. действие магнитного и электрического полей на заряженную частицу.

Для того, чтобы можно было не учитывать магнитные свойства самих проводников, по которым идет ток, следует рассматривать линейные токи, т.е. токи, текущие по проводникам, поперечные размеры которых пренебрежимо малы. В качестве основной силовой характеристики поля применяется индукция поля. (В вакууме напряженность поля).

Закон Био-Савара-Лапласа, а следовательно, и формулы, выведенные с его помощью, справедливы только для линейных токов. При работе с данным разделом предполагается, что студенты знают выражения для индукции (напряженности) простейших полей: поля прямого тока, бесконечно длинного и конечной длины, поля на оси витка и т.д. Если какая-либо из этих формул неизвестна, то ее вывод следует произвести при решении задачи.

Задачи (4.4.1) следует решать, пользуясь следующей схемой:

1. сделать схематический рисунок с указанием направлений токов и углов между токами и направленным от заданной точки радиусом-вектором;

2. определить направление вектора магнитной индукции (напряженности) в данной точке, созданного каждым током;

3. найти геометрическую сумму векторов индукции (сделать чертеж);

4. пользуясь законом Био-Савара-Лапласа или его следствиями, найти модули индукций;

5. решить векторное уравнение полей в проекциях.

При решении задач (4.4.2) следует учитывать, что в некоторых случаях на проводник с током действует не только сила Ампера, но и другие силы (тяжести, трения и т.п.), тогда необходимо использовать основное уравнение механики с учетом силы Ампера.

Задачи (4.4.3.) удобно решать по следующей схеме:

1. сделать рисунок, указать на нем линии индукции магнитного поля и линии напряженности электрического поля, подставить вектор начальной скорости частицы и отметить знак ее заряда;

2. если скорость частицы направлена под угол к линии индукции магнитного поля, ее следует спроецировать на две оси, одна из которых должна быть направлена перпендикулярно вектору , вторая – параллельно ему;

3. изобразить силы, действующие на заряженные частицы. Обычно во всех задачах, где нет специальных оговорок, действие силы тяжести не учитывают.

При нахождении направления силы Лоренца следует обратить особое внимание на знак заряда частицы, очень удобно направление силы Лоренца определять по направлению тока, пользуясь только правилом левой руки. Если происходит движение положительно заряженных частиц, направление тока совпадает с направлением их скорости; если движутся отрицательные частицы: ток идет в сторону, противоположную их движению.

4. силы, действующие на заряженную частицу, следует спроецировать на оси, направленные вдоль линий индукции магнитного поля и перпендикулярно им. Затем необходимо составить основное уравнение динамики материальной точки для проекции на каждую ось;

5. записав уравнения динамики, нужно подставить в них выражение сил, используя формулы силы Лоренца, электростатики, кинематики.

Задача 4.4.1 (а)

На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно проводников с токами. Расстояние между проводниками АВ = 10 см, токи I₁= 20 А и I₂= 30 А. Найти напряженностимагнитного поля, вызываемого токами I₁и I₂в точках М₁и М₂. Расстояние М₁А = 2 см, АМ₂= 4 см.

Анализ и решение:

Воспользуемся планом решения задач (4.4.1.).

Сделаем схематический рисунок:

Магнитное поле создается током I₂направленным за чертеж, перпендикулярно ему и током I₁, направленным “к нам” перпендикулярно чертежу.

Рассмотрим поле в точке М₁. Используя правило буравичка (“ввинчиваем” буравчик по направлению тока I₁), определим, что векторнаправлен вниз, а вектор, созданный током I₂направлен вверх в плоскости чертежа.

Геометрическая сумма векторов .

Модули векторов иопределим, исходя из формулы поля, созданного бесконечно длинным проводником.

.

Уравнение в проекциях на ось, направленную вертикально вниз:

.

Подставим числовые значения: и вынесем общий множитель.

.

Рассмотрим поле в точке М₂ . Рукоятка правого буравчика, ввинчиваемого “за чертеж” по направлению тока I₂описывает силовую линию, направленную по часовой стрелке, ток I₁создает поле, направленное против часовой стрелки.

Ответ: результирующий вектор направлен вниз, его модуль. Результирующий векторнаправлен вверх, его модуль.

Задача 4.4.1 (б) Ток в 20 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см.

Анализ и решение:

Сделаем схематический чертеж, указав направление тока и углы. В точке А векторы инаправлены одинаково “за чертеж” и перпендикулярны плоскости рисунка.

.

Абсолютное значение индукции магнитного поля в любой точке поля, создаваемого каждым из проводников, может быть найдено по формуле поля прямого тока, созданного конечными проводниками.

.

Так как векторы инаправлены одинаково, то модуль результирующего вектора.

Из рисунка видно, что для точки А:

.

.

.

Задача 4.4.1 (в)Найти напряженность Н магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии = 5 см от него. По проводнику течет ток I = 20 А. Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 60⁰.

Анализ и решение:

При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция,

Задача 4.4.2 (а) Какова индукция магнитного поля, в котором на проводник с током действует сила 50 мН, если поле и проводник взаимно перпендикулярны, а длина активной части проводника 5 см и сила тока в нем 25 А?

Анализ и решение:

В магнитном поле на проводнике с током действует сила Ампера , так как, то.

Поэтому .

Задача 4.4.2 (б) По горизонтально расположенному проводнику длиной 20 см и массой 4 г течет ток силой 10 А. Найти индукцию (модуль и направление) магнитного поля, в которое нужно поместить проводник, чтобы сила тяжести уравновесилась силой Ампера.

Анализ и решение:

Магнитное поле нужно расположить ток, чтобы сила Ампера была направлена вверх, так как иначе сила тяжести, направленная вертикально вниз, не уравновесится.

В этом случае угол будет равен 90⁰, а.

, так как, то.

.

Задача 4.4.3 (а) В направлении, перпендикулярном линиям индукции, влетает в магнитное поле электрон со скоростью 10 Мм/с. Найти индукцию поля, если электрон описал в поле окружность радиусом 1 см.

Анализ и решение:

Электрон заряжен отрицательно, поэтому, найдем направление F_Лсогласно правилу левой руки. Расположим ее так, чтобы силовые линии, (направленные к нам перпендикулярно чертежу), входили в ладонь, четыре пальца направим против скорости электрона, отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца. Между направлением скорости и силы угол 90⁰, поэтому электрон будет двигаться по окружности, радиус которой дан в условии задачи. Равномерно по окружности тело двигается с ускорением, поэтому по второму закону Ньютона.

Действием на электрон силы тяжести пренебрегаем, так как она намного меньше силы Лоренца.

Так как

Масса и заряд электрона – табличные величины.

Проверим единицы:

.

Задача 4.4.3 (б) В однородное магнитное поле с индукцией В = 10 мТл перпендикулярно линиям индукции влетает электрон с кинетической энергией К = 30 кэВ. Каков радиус кривизны траектории движения электрона в поле?

Анализ и решение:

Так как единственный силой, создающей центростремительное ускорение, является ускорение, является сила Лоренца.

то .

Выразим скорость через данную кинетическую энергию .

.

Задача 4.4.3 (в) Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 4 мТл. Найти период обращения электрона.

Анализ и решение:

Та как нужно найти период обращения, а электрон движется по окружности под действием силы Лоренца , то по формуле линейной скоростиопределим.

По II закону Ньютона ;.

Подставив выражение скорости в формулу периода, получим:

.

Проверим единицы: .

Задача 4.4.3 (г) Протон влетает в однородное космическое магнитное поле с индукцией 10^-20Тл со скоростьюпод углом 30⁰к линиям индукции. Определить радиус винтовой траектории протона и шаг винта.

Анализ и решение:

1) на рисунке показано разложение вектора скорости протона на две составляющие:- перпендикулярную линиям индукции и- параллельную линиям индукции. При движении протона со скоростьювозникает сила Лоренца, под действием которой протон совершает вращение по окружности радиусом R.

Из чертежа . Сила Лоренца.

По II закону Ньютона ;

,

Откуда, (Так как ), то

2) вдоль линий индукции поле на протон никакие силы не действуют, следовательно, в этом направлении он движется прямолинейно со скоростью . В результате наложения прямолинейного движения на движение по окружности протон описывает винтовую траекторию. Шаг этой линии – расстояние, на которое смещается частица вдоль поля за 1 оборот.

где Т – период обращения протона по кругу радиусом R

;

Поэтому

.

.

Задача 4.4.3 (д) Однородное электрическое поле и магнитное поле расположены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического поля 1 кВ/м, а индукция магнитного поля 1 мТл. Какими должны быть направление и модуль скорости электрона, чтобы траектория движения его оказалась прямолинейной?

Анализ и решение:

Поскольку электрон движется прямолинейно и равномерно, электрическая и магнитная силы взаимно уравновешены.

Запишем уравнение равновесия электрона в проекциях на ось ОХ.

Но так как , а кулоновская электрическая сила

,

Проверим единицы:

.