3.3. Что надо уметь:

3.3.1 Рассчитать сопротивление сложной разветвленной цепи.

3.3.2. Рассчитать дополнительное сопротивление к вольтметру и шунт к амперметру.

3.3.3. Выяснить, содержит или не содержит участок цепи ЭДС.

3.3.4 Применять закон сохранения энергии при переходе электрической энергии в другие её виды.

3.4. Примеры решения задач

Задачи данного раздела удобно разделить на три группы:

3.4.1. Задачи на вычисление токов, напряжений или сопротивлений на каком-либо участке цепи, не содержащем ЭДС; на зависимость сопротивления проводника от температуры или параметров проводника.

В этих задачах часто указывается, из какого материала изготовлен проводник или приводится сведения о его размерах и массе. Здесь нужно помнить, что плотность тела . БуквойDобозначаем плотность потому, что удельное сопротивление обозначено буквой.

Если необходимо пользоваться представлениями электронной теории, то удельное сопротивление можно выразить через величины, характеризующие свойства и движение элементарных частиц.

Задачи о температурной зависимости сопротивлений, как правило, не представляют большой трудности и решают с помощью уравнений .

Задачи типа (3.4.1) на расчет сопротивлений токов и напряжений в простой замкнутой цепи можно решать, используя закон Ома для полной цепи, причем его удобно записывать не только в обычном виде , но и форме, которая определяет напряжение на внешнем участке цепи. В общем случае эти выражения не эквивалентны друг другу, которое справедливо, если на участке нет ЭДС. Тем не менее расчеты при использовании этой формулы значительно упрощаются. Обычно, когда составляют простую цепь, то известными являются: ЭДС и сопротивления и требуется на каком-либо участке найти ток или напряжение.

Сопротивление всех резисторов или их групп, соединенных последовательно с рассматриваемым участком с сопротивлением Rучастка, следует внести во внутреннее сопротивление источника и сосчитать его равным неr, аr+R, тогдаR₀– общее сопротивление внешней цепи без сопротивленияR_{участка}., так как участок, на котором требуется найти напряжение, оказывается подключенным к зажимам источника.

Зная напряжение на участке, можно найти силу тока в нем по закону Ома для участка цепи.

3.4.2. Задачи на расчет общего сопротивления сложных цепей.

Часть этих задач можно решить, заменяя сопротивление последовательно или параллельно соединенных проводников эквивалентным. При решении таких задач надо следить за тем, чтобы в случае последовательного соединения проводников ток не разветвлялся, а в случае параллельного соединения концы проводников соединялись непосредственно.

Если в контуре не окажется ни последовательно, ни параллельно соединенных проводников, то нужно найти точки с одинаковым потенциалом. В этих точках цепь можно соединять, разъединять без нарушения режима работы цепи. Если схема симметрична относительно оси, перпендикулярной линии, на которой точки входа и выходя, то одинаковым потенциалом обладают все точки, лежащие на пересечении этой оси с проводником.

Схему следует заменить эквивалентной, на которой четко видны последовательно и параллельно соединенные участки.

Задачи на расчет дополнительных сопротивлений к вольтметру и шпунтов к амперметру решают, используя законы последовательного и параллельного соединениях проводников.

Наиболее сложные задачи этого типа следует решать, пользуясь законами Кирхгофа.

При расчете сложных цепей по правилам Кирхгофа необходимо придерживаться следующего порядка:

1. Выбрать направление обхода контура (обычно по часовой стрелке).

2.Указать направления токов на всех участках сложной цепи обходя контур, будем считать положительными те токи, направление которых совпадают с направлением обхода, и отрицательными те, направления которых противоположны направлению обхода.

В случае, когда истинное направление тока противоположно указанному, при решении задачи значение тока получается отрицательным.

3. Сопоставить (n-1) уравнение по первому правилу Кирхгофа, гдеn– число узлов (точек, где сходятся не менее трех проводников).

4. Сопоставить уравнение по второму правилу Кирхгофа, причем ЭДС брать со знаком “+”, если они повышают потенциал по направлению обхода (переходим от минуса к плюсу внутри генератора), и со знаком “-”, если понижают.

Падения напряжений будем считать положительными, если направление токов, проходящих через соответствующее сопротивление, совпадают с направлением обхода контура, и отрицательными, если направления токов противоположны направлению обхода.

3.4.3. Задачи на расчет работы, мощность, теплового действия тока.

Эти задачи решаются или как задачи на расчет цепей по закону Ома и к ним добавляются формулы мощности, или это задачи на тепловое действие тока, решаемые по закону Джоуля-Ленца с привлечением формул количества теплоты, необходимого для нагрева, либо для изменения агрегатного состояния вещества.

Задачи на превращение электрической энергии в другие виды энергий обычно содержат упоминание о КПД. Здесь нужно учитывать, что мощность (работа, теплота) электрического тока является затраченной, а полезной является мощность (работа, теплота) пошедшая на механические или тепловые процессы. При решении таких задач следует записать формулу КПД, определить затраченную мощность (работу, теплоту) и полезную мощность, используя формулы механики или термодинамики, затем подставить эти значения в формулу КПД и найти искомое неизвестное. Задачи на передачу электроэнергии на расстояние следует решать с учетом, что любая цепь в принципе состоит из источника, проводов и потребителя, причем они соединены последовательно, а значит, ток будет один и тот же. Напряжение и мощность на проводах называются соответственно потерей напряжения и потерей мощности. Согласно закону сохранения энергии:

Следует помнить, что подводящие линии состоят из двух проводов.

Задача 3.4.1 (а) Найти скорость упорядоченного движения электронов в проводе сечением 5 мм²при силе тока 10 А, если концентрация электронов проводимости 5∙ 25⁸м^-3.

Анализ и решение:

Согласно электронной теории . Отсюда, гдеq– заряд электрона.

.

Задача 3.4.1 (б) Медный и алюминиевый проводники имеют одинаковые массы и сопротивления. Какой проводник длиннее и во сколь раз?

Анализ и решение:

Запишем формулы сопротивления для каждого проводника.

Так как , то соответственно

Подставим выражение для площади поперечного сечения в формулы сопротивления.

Та как сопротивления проводников равны, то

После сокращения равных масс алюминия и меди получим:

Алюминиевый проводник длиннее в 1,4 раза.

Задача 3.4.1 (в)Элемент в ЭДС в 1,1 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом. Найти: 1) силу тока в цепи; 2) падение потенциала во внешней цепи; 3) падение потенциала внутри элемента; 4) с каким КПД работает элемент.

Анализ и решение:

Поскольку в данной цепи только одно внешнее сопротивление, то

,

поэтому вычислим падение потенциала во внешней цепи:

.

Падение потенциала внутри элемента:

Сила тока в цепи

Коэффициент полезного действия:

.

КПД можно выразить в процентах: .

Задача 3.4.2 (а) Определить электрическое сопротивление каркаса в виде тетраэдра, включенного в цепь двумя вершинами. Сопротивление каждого из звеньевr.

Анализ и решение:

В центре тетраэдра электрического соединения проводов нет. Найдем точки, имеющие одинаковый потенциал. Ось симметрии обозначена пунктирной линией. Точки, имеющие одинаковый потенциал, обозначим буквой в. По проводнику, включенному между этими точками, ток не потечет, так как одним из условий существования тока является наличие разности потенциалов, а здесь она равна нулю.

Поэтому этот проводник можно удалить. Тогда:

Общее сопротивление первой и третьей ветви , а поскольку сопротивление средней ветви то жеr, можем считать, что параллельно подключены два одинаковых сопротивления поr.

.

Задача 3.4.2 (б) Вольтметр со шкалой, рассчитанной на 5 В, имеет внутреннее сопротивление 200 Ом. Определить величину добавочного сопротивления, которое необходимо подключить к вольтметру, чтобы измерять напряжения до 100 В.

Анализ и решение:

Для расширения предела измерения вольтметра к нему последовательно подключается дополнительное сопротивление r_д. Максимальный ток, проходящий через вольтметр, определим из условия. При подключении дополнительного сопротивленияr_д.

, гдеr_виr_д– общее сопротивление участка цепи.

Поскольку при последовательном соединении ток в цепи один и тот же:

.

Задача 3.4.2. (в) Цена деления микроампера 10 мкА, а шкала прибора состоит из 100 делений; внутреннее сопротивление 100 Ом. Как из этого прибора сделать амперметр, позволяющий измерить силу тока до 1 А?

Анализ и решение:

Для расширения предела измерения амперметра к нему подключается параллельно шунт – сопротивление R_М, через которое замыкается часть измеряемого тока. Ток, проходящий через прибор при отклонении стрелки на всю шкалу, определим как, гдеn– число деления шкалы;S_i– ток, вызывающий отклонение стрелки на одно деление. Через сопротивлениеR_Мбудет проходить ток:.

Поскольку сопротивление R_Ми внутренне сопротивление прибораrвключены параллельно, воспользуемся соотношениеми.

Та как U = const.

Задача 3.4.2 (г) ЭДС элементови, сопротивление,,(рис.). Найти токи во всех участках цепи.

Анализ и решение:

Выберем направление обхода контура по часовой стрелке. Обозначим направления токов J₁,J₂,J₃.

Схема имеет два узла (А и С). Поэтому составим только одно уравнение по Iзакону Кирхгофа для узлаC, причем токJ₃, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком “+”, а токиJ₁иJ₂– со знаком “-”, так как они выходят из узла..

Для нахождения трех неизвестных необходимо ещё 2 уравнения. Составим их, пользуясь вторым правилом Кирхгофа. Контуры выберем таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвующая в других: контуры АВСА и АСДА. В контуре АВСА ЭДС понижает потенциал по направлению обхода, поэтому берем со знаком “-”, а падение напряжения со знаком “+”, так как направление тока совпадает с направлением обхода контура.

.

В контуре АСДА:

Получим три уравнения:

Их удобнее представить с числовыми коэффициентами

Эту систему уравнений можно решить различными способами, рациональнее всего через определители. Здесь воспользуемся методом подстановок. Подставим значение J₃ из (1) в (2)

10(J₁+J₂) + 45J₁= 2,1

10J₁+ 10J₂+ 45J₁= 2,1; 55J₁ + 10J₂= 2,1

Сложим почленно (4) и (3): 55J₁ + 10J₂= 2,1;

45J₁ - 10J₂= 1,9;

55J₁+ 10J₂+ 45J₁- 10J₂= 2,1 + 1,9; 100 J₁= 4;

J₁= 0,04 (А)

Подставим значение J₁в (3): 45∙0,04 - 10J₂= 1,9

1,8 - 10 J₂= 1,9; -10 J₂= 1,9 – 1,8 = 0,1;J₂= -0,01 (А)

Знак “-” показывает, что направление тока J₂было выбрано нами неверно, оно будет противоположным.

J₃=J₁+J₂= 0,04 – 0,01 = 0,03 (А)

Задача 3.4.3 (а) Сила тока в проводнике сопротивлениемR= 20 Ом нарастает в течение временипо линейному закону отJ₀= 0 доJ= 6А. Определить теплотуQ₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, иQ₂-= за вторую секунду, а также найти отношение.

Анализ и решение:

Закон Джоуля-Ленца в виде Q=J²Rtсправедлив для постоянного тока (J=const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то. Здесь сила тока является некоторой функцией времени. В данном случае (линейный закон):J=kt, гдеk– коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока.

.

Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный интервал времени , выражение надо проинтегрировать в пределах отt₁доt₂

.

Подставим числовые значения: ;

Задачи 3.4.3 (б) Электрокипятильник со спиралью сопротивлением 160 Ом поместили в сосуд, содержащий 0,5 л воды при 200⁰С, и включили в сеть напряжением 220В. Через 20 мин спираль выключили. Какое количество воды выкипело, если КПД спирали 80%?

Анализ и решение:

, так как напряжение остается постоянным, а сила тока не дана;

так как количество теплоты, пошедшее на нагревание всей воды, а количество теплоты пошедшее на выкипание, мощность же полезная.

Наименование второй части разности очевидно.

Задача 3.4.3 (в) От генератора с ЭДС 40 В внутренним сопротивлением 0,04 Ом ток поступает по медному кабелю сечением 170 мм²к месту электросварки, удаленном от генератора на 50 м. Найти напряжение на зажимах генератора и на сварочном аппарате, если сила тока в цепи равна 200 А. какова мощность сварочной дуги?

Анализ и решение:

Падение напряжения на зажимах генератора , но.

Напряжение на проводах с учетом двухпроводной линии

.

Поэтому напряжение на сварочном аппарате:

.

Мощность сварочной дуги:

.

Задача 3.4.3 (г) Ток мощностью 200 000 кВт необходимо передать на расстояние 250 км так, чтобы потери энергии на линии передачи не превышали 10%. Какого сечения нужно взять медный провод для линии электропередачи при напряжении 400 000 В? Какова мощность потребителя?

Анализ и решение:

По закону сохранения энергии Р_ИСТ = Р_ПР + Р_ПОТРЕБ

Ток на источнике, проводах и потребителе один и тот же.

Зная мощность источника, можно определить потерю мощности в проводах:

Поэтому мощность потребителя:

Сечение проводника найдем из формулы сопротивления проводов:

.

Сопротивление проводов найдем, зная мощность в проводах P_ПР=I²R, где токIможно найти из соотношения:

.

Подставив значение Rв выражении дляS, получим:

.