- •1.1.1. Поняття множини
- •1.1.2. Елементи множини
- •1.1.3. Рівність множин
- •1.1.4. Задання та запис множин
- •1.1.5. Підмножини. Універсальна множина.
- •1.1.6. Операції над множинами та їхні властивості
- •Доведемо обернене включення:.
- •1.1.7. Потужність множин
- •Література
- •1.2.2. Декартовий (прямий) добуток множин
- •1.2.3. Бінарні відношення
- •1.2.4. Переріз відношення. Фактор-множина
- •1.2.5. Способи задання відношень
- •Література
- •Тема 1.3. Властивості відношень
- •1.3.1. Теоретико-множинні операції над відношеннями
- •1.3.2. Композиція відношень
- •1.3.3. Обернені відношення
- •1.3.4. Рефлексивні, симетричні і транзитивні відношення
- •1.3.5. Відношення еквівалентності
- •1.3.6. Відношення порядку
- •1.3.7. Відображення і функції
- •Література
- •Розділ 2. Теорія графів
- •Тема 2.1. Основні елементи теорії графів
- •2.1.1. Поняття графа
- •2.1.2. Ізоморфізм графів. Підграф. Суграф. Частковий граф
- •2.1.3. Числові характеристики графа
- •2.1.4. Маршрути незамкнені (ланцюги, шляхи) і замкнені (цикли, контури). Повнота. Зв’язність. Сильна зв’язність
- •2.1.5. Способи задання графа
- •Література
- •Тема 2.2. Операції над графами
- •2.2.1. Поняття графа
- •Тема 2.3. Дерева і цикли у графах
- •2.3.1. Компоненти зв’язності
- •Розглянемо незв’язний неорієнтований граф .
- •Отже, наведений на прикладі граф має три компоненти зв’язності.
- •2.3.2. Ранг та цикломатичне число графа
- •Якщо граф – вироджений, тобто має лише вершини, а ребра – відсутні, то і. За теоремою 2.3.2 додавання нового ребра збільшує або, або. Отже, числатаможуть лише зростати.
- •2.3.3. Дерева і ліси
- •Література
- •Тема 2.4. Розфарбування графа
- •2.4.1. Задача про чотири фарби. Правильне розфарбування графа
- •2.5.2. Визначення хроматичного числа. Хроматичний поліном
- •Література
- •Розділ 3. Загальна алгебра
- •Тема 3.1. Групи
- •3.1.1. Поняття алгебраїчної операції
- •3.1.2. Означення і приклади груп
- •Література
- •Тема 3.3. Поля
- •3.3.1. Означення поля. Приклади полів
- •3.3.2. Властивості полів
- •Література
- •Розділ 4.
- •Тема 4.1 булева алгебра
- •4.1.1 Визначення булевої функції
- •4.1.2. Формули логіки булевих функцій
- •4.1.3. Рівносильні перетворення формул
- •Основні правил булевих формул.
- •Правило рівносильних перетворень
- •4.1.4. Двоїстість. Принцип двоїстості.
- •4.1.5. Булева алгебра (алгебра логіки). Повні системи булевих функцій
- •Література
- •Тема 4.2. Нормальні форми
- •4.2.2 Розкладання булевої функції по змінним
- •Література
- •Тема 4.3. Мінімізація формул булевих функцій у класі диз'юнктивних нормальних форм
- •4.3.1. Застосування алгебри булевих функцій до релейно-контактних схем
- •Контрольні питання до теми 4
- •Література
- •Розділ 5.Комбінаторний аналіз
- •Тема 5.1. Основні поняття комбінаторного аналізу
- •5.1.1. Основні правила комбінаторики
- •Розв’язання
- •5.1.2. Розміщення. Розміщення з повтореннями
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •5.1.3. Перестановки. Перестановки з повтореннями
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •5.1.4. Комбінації. Комбінації з повтореннями
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •5.1.6. Біном Ньютона. Трикутник Паскаля. Властивості біноміальних коефіцієнтів
- •Література
- •Розділ 6.Теорія інформації та кодування
- •Тема 6.1. Теоретичні положення
- •1.2. Приклади розв’язання задач
- •6.3. Задачі
- •Література
- •7. Ефективне кодування
- •7.1. Теоретичні положення
- •7.2. Приклади розв’язання задач
- •Задача 7.2.2
- •Задача 7.2.5
- •1010000011001010011001001011110.
- •0001011011011101100110101100001011011.
- •7.3. Задачі
- •Література
Розв’язання
Згідно з правилом добутку з пункту до пункту через пункт веде доріг, а через пункт – доріг. Тому за правилом суми кількість доріг з пункту до пункту дорівнює .
5.1.2. Розміщення. Розміщення з повтореннями
Нагадаємо означення впорядкованої множини.
Означення 5.1.1. Множину називають впорядкованою, коли в ній встановлено відношення порядку “менше”, що має такі властивості:
: або , або ;
.
Означення 5.1.2. Нехай , тобто множина складається з елементів, . Розміщенням без повторень з елементів по називають довільну впорядковану підмножину множини , всі елементи якої різні.
Кількість різних розміщень з елементів по без повторень позначають:
.
Два розміщення вважають різними не лише тоді, коли вони відрізняються один від одного хоча б одним елементом, але й тоді, коли вони складаються з однакових елементів, але відрізняються порядком їх розміщення.
Теорема 5.1.1. Кількість -розміщень без повторень з елементів визначається так:
.
Доведення
Перший елемент впорядкованої пари -елементної множини можна вибрати способами, другий – способами. Впорядковану пару за правилом добутку вибирають способами, впорядкована трійка – способами. Продовжуючи цей процес далі, отримаємо:
.
Теорему доведено.
Теорема 5.1.2. Кількість різних розміщень без повторень з елементів по дорівнює добутку послідовних чисел, більшим з яких є :
.
Приклад. Нехай студенту необхідно скласти чотири екзамени протягом десяти днів. Скількома способами можна це зробити?
Розв’язання
.
Означення 4.1.3. Нехай , а kN. Розміщенням з повтореннями з п елементів по k називають довідний впорядкований k-елементний набір виду , де – елементи множини М, не обов’язково різні.
Кількість різних розміщень з повтореннями позначують .
Теорема 5.1.3. Кількість різних розміщень з повтореннями з елементів по , де і – довільні натуральні числа дорівнює:
.
Приклад. Скількома способами можна записати шестизначний телефонний номер, якщо не зважати на зміст розміщення цифр (тобто номер 000000 вважати можливим)?
Розв’язання
Оскільки всіх цифр є 10 і у номері вони можуть повторюватися, то
.
5.1.3. Перестановки. Перестановки з повтореннями
Означення 5.1.4. Розміщення з елементів по називають перестановкою з елементів.
Кількість різних перестановок без повторень позначають .
Теорема 5.1.4. різних перестановок без повторень дорівнює добутку всіх натуральних чисел з 1 до :
.
Доведення випливає з того, що .
Приклад. Одного разу 10 друзів зайшли до ресторану. Хазяїн запропонував їм приходити до нього щодня і кожного разу сідати за один і той самий стіл по-іншому. Доки всі способи розміщення будуть вичерпані, їх годуватимуть у ресторані безкоштовно. Коли настане цей день?
Розв’язання
.
Означення 4.1.5. Нехай . Перестановкою з повтореннями з п елементів називають будь-яке впорядковання п-множини, серед елементів якої є однакові. Якщо серед елементів множини М є елементів першого типу,
елементів другого типу,
...
елементів k-го типу ,
то кількість всіх перестановок такої множини з повтореннями позначують .
Теорема 5.1.5. Має місце формула:
.
Приклад. Скільки перестановок можна зробити з літер слова “Міссісіпі”?