ФИЗИКА (лекции часть 1) - Колебания и волны

Министерство транспорта и святи Украины

---------------------------

Государственный комитет по вопросам святи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им. А. С. ПОПОВА

===============================================

Кафедра физики оптической связи

ФИЗИКА ЧАСТЬ 1 ЭЛЕКТРОФИЗИКА

(КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ)

Учебное пособие Для иностранных студентов и студентов заочного обучения по направлению

«Телекоммуникации»

Одесса - 2007

УДК 530.10

План УМИ 2006 р.

Учебное пособие разработано авторами:

проф. И. М. Викулин , доц. В. Э. Горбачев

Учебное пособие рассмотрено на заседании кафедры физики оптической связи и рекомендовано к печати.

Протокол № 5 от 01.12.2005 р.
Зав кафедрой _____	__ И. М. Викулин

Учебное пособие рассмотрено и утверждено ученым советом учебного института почтовой связи.

Протокол	№ 1 от 15 сентября 2006 р.
Директор ННИ	С. С. Криль

1

СОДЕРЖАНИЕ

1. КОЛЕБАНИЯ

1.1.Гармонические механические колебания и их характеристики

1.2.Электрические колебания

1.3.Уравнение колебаний

1.4.Собственные колебания

1.5.Затухающие колебания

1.6.Вынужденные колебания

1.7.Фазовые соотношения между током и напряжением на элементах контура

1.8.Резонанс напряжений

1.9.Резонанс токов

1.10.Работа и мощность переменного тока

2. ВОЛНЫ

2.1.Уравнение упругих волн

2.2.Скорость распространения упругих волн в различных веществах. Звуковые волны.

2.3.Эффект Доплера.

2.4.Электромагнитные волны вдоль проводов.

2.5.Стоячие электромагнитные волны.

2.6.Свободные электромагнитные волны.

2.7.Основы радиосвязи.

2

КОЛЕБАНИЯ

1.1. Гармонические механические колебания и их характеристики

Колебательные процессы - это процессы, при которых система периодически отклоняется от состояния равновесия в одну или другую сторону. Простейшей колебательной системой является пружинный маятник, т.е. груз, подвешенный на пружине (рис.1.1). Если приподнять

груз вверх, а	затем опустить, то он будет		колебаться		в вертикальном		направлен
относительно	положения	равновесия. Закрепив	на	грузе	карандаш	и	протягивая

горизонтальном направлении бумажную ленту, получим на ленте запись колебательного процесса, т.е. зависимость координаты груза х от времени (рис.1.1):

x=x0cos(wt+j0),

(1.1)

где х0 - амплитуда колебания (модуль максимального смешения);

j=wt+j0

- фаза колебаний;

w - циклическая частота.

Колебания, описываемые функцией синуса или косинуса, называются гармоническими.

Начальная фаза j0

определяет значение колеблющейся величиных в начальный момент

времени t=0. В рассматриваемом случае (см. рис.1.1) при t=0,

х=х0

и

j0=0, поэтому (1.1)

упрощается:

x=x0×coswt.

Однако

этот

процесс

можно

описать

и

функцией:

же

колебательный

x=x0×sin(wt+j0)

(1.2)

если принять

j0=p/2, так как

x=x0×sin(wt+p/2)=x0×coswt.

Следовательно, любое гармоническое колебание можно записывать либо в виде(1.1), либо в

виде (1.2), поскольку разница между ними только в начальной фазе.

Периодом колебания называется наименьшее время, по истечении которого все величины,

характеризующие колебания,

принимают

первоначальное

значение. При

гармоническом

колебании (см. рис.1.1) за период Т фаза меняется на 2p, следовательно

[w(t+T)+j0]-[wt+j0]=2p,

(1.3)

откуда

w=2p/Т

или

w=2pn,

где n=1/Т -

частота

колебаний –

число

колебаний совершаемых

за1 с (отличать

от

циклической частоты w - изменение фазы

за 1с). Величина n измеряется в Гц (1 Гц - одно

колебание в 1 с), а w - в рад/с.

Колебания

(1.1),

(1.2)

можно

изображать

с помощью

векторных

диаграмм

как

проекцию

рав

вращающегося с угловой

скоростьюw

вектора

длинойx0

(рис.1.2) на ось x. В каждый момент времени уголj=wt+j0

равен фазе. (Такое

представление

колебаний

особенно

удобно при сложении нескольких колебаний с одинаковой

частотой,

но

разными x0 и

j0,

тогда

вектор

Рис.1.1

результирующего колебания (а значит, его амплитуда

и

фаза) находится по правилам сложения векторов.)

Скорость

тела,

совершающего

гармонические

колебания

по

законуx=x0×sinwt,

определяется как

v=dx/dt=x0w×coswt=v0×coswt=v0×sin(wt+p/2),

(1.4)

т.е. колебания скорости тела v опережают смещение по фазе на p/2.

Ускорение тела

a=dv/dt=-x0w2×sinwt=a0×sin(wt+p),

(1.5)

3

с амплитудой a0=x0w2 находится в противофазе со смещением (рис.1.3).
	Из сказанного следует, что в крайних положениях (x0 и
	-x0) v=0 и кинетическая энергия тела равна нулю, а
	потенциальная		энергия	пружины	достигает	максимума
	(сжата	или	растянута). При		прохождении		телом
	положения равновесия (x=0) его скорость максимальна и
	кинетическая энергия достигает наибольшей величины,
	потенциальная		энергия	пружины	в этой	точке	равн
Рис.1.3	нулю, так	как она не деформирована. Таким образом, в
	колебательном процессе энергия системы (тело-пружина)

периодически превращается из кинетическойWк в потенциальную Wп. и наоборот. Очевидно,

если в системе нет потерь(трение, нагрев пружины и т..д), то Wпмакс=Wкмакс. Кинетическая энергия определяется по известной формуле(см. ниже), а потенциальная энергия пружины

рассчитывается как работа предполагаемой внешней силыFвн* по сжатию пружины- Aвн*. Сила упругости пружины Fупр=-kx, где k - коэффициент упругости. Силы Fвн* и Fyпр считаются

направленными		противоположно,					поэтому		Fвн*=-Fyпр=kx. При деформации пружины на
величину dx совершается работа dAвн*=Fвн*dx=kxdx, а на величину x:
	x				x
Aâí * = ò dAâí * = ò kxdx = kx 2 / 2 .									(1.6)
	0			0
Соответственно,
п	kx0 2					к	mv 0 2
W макс=			,	а W макс=				.	(1.7)
	2						2
Из равенства этих энергий нетрудно определить, используя (1.4), что частота колебаний
		w =				.			(1.8)
					k / m

1.2. Электрические колебания

Рассмотрим колебательный контур(рис.1.4) состоящий из катушки индуктивностиL и конденсатора C (сопротивлением проводников пока пренебрегаем). При разомкнутом ключе (К) конденсатор предварительно заряжен, тока в цепи нет, вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатораWEмакс=Cu02/2=q02/2C. Система аналогична пружинному маятнику с грузом в верхнем состоянии. После замыкания ключа(К) конденсатор разряжается, в цепи протекает ток и в катушке появляется магнитное , полет. . энергия конденсатора WE=Cu2/2 переходит в энергию магнитного поля катушки WH=Li2/2.

Рис.1.4

Через время, равное четверти периода колебаний, конденсатор разрядится полностью, и вся

4

энергия его электрического поля превратится в энергию магнитного поля катушки. Это аналогично тому, что вся энергия пружинного маятника перейдет из потенциальной кинетическую.

В следующую четверть периода энергия магнитного поля будет уменьша уменьшением тока. Это вызовет появление тока самоиндукции, который, по правилу Ленца, поддерживает ток в первоначальном направлении до тех пор, пока положительные заряды с левой пластины конденсатора не перетекут на правую пластину, произойдет обратное превращение энергии магнитного поля в энергию электрического поля. Далее конденсатор начинает разряжаться, и процесс повторяется вторую половину периода, пока конденсатор не окажется в первоначальном состоянии.

Выражения для	максимальной энергии	E	и
		электрического поля конденсатораW макс
магнитного поля катушки WHмакс запишем в виде
WEмакс=q02/2C	и WHмакс= Li02/2.	(1.9)

Из сравнения процессов колебаний в пружинном маятнике и колебательном контуре видно, что превращение энергии в них описываются аналогичными, с точки зрения математики, формулами (1.7) и (1.9). Разница лишь в том, что в первом случае изменяющейся величиной

является	смещение телах, а во			второмэлектрический заряд q. Переход от (1.7) к (1.9)
осуществляется, если произвести замены:
x®q,	v®i,	k®1/C,		m®L (1.10)
Произведя такую замену в (1.8), получим, что частота электрических колебаний
	w =		.	(1.11)
		1 / LC

1.3Уравнение колебаний

Вобщем случае на пружинный маятник, например в механических часах, действуют три

силы - сила упругости Fупр=-kx, сила сопротивления Fсопр =-rv (r - коэффициент сопротивления) и внешняя периодическая сила Fвн=F0coswt. Внешняя сила предназначена для компенсации потерь энергии в системе, происходящих из-за наличия сил сопротивления,

поскольку в этом случае часть	энергии колебания безвозвратно переходит в тепло
энергию. Результирующую силу запишем как сумму этих сил:
Fрез=Fупр+Fсопр+Fвн,	(1.12)
и используем её вид при составлении уравнения движения системы:

Fpез=ma.

Подставив в выражения для сил величины (1.4), (1.5) получим:

m	d 2 x	+ r	dx	+ kx = F coswt .	(1.13)
	dt 2		dt	0

В колебательном контуре также происходит потеря энергии на сопротивленииr составляющих контур элементов. Поэтому в контур включается

генератор переменной ЭДС e=e0coswt компенсирующий потери энергии на сопротивлении (рис.1.5).

Считая процессы в контуре квазистационарными, когда

изменения	токов	за	время	установления
равновесия	малы, по		второму	правилу	Кирхгофа

записать, что сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

ur+uC=eL+e	или	r ×i +	q	= -L	di	+ e .
			C
					dt

Подставив i=dq/dt, получим

5

L	d 2 q	+ r	dq	+	q	= e	0 coswt .	(1.14)
	dt 2
			dt		C
Уравнение (1.14)		может			быть получено и			из уравнения(1.13) заменой величин (1.10), что

подтверждает общий характер этих уравнений.

Взависимости от входящих в(1.14) величин возможны три вида колебанийсобственные, затухающие и вынужденные.

1.4.Собственные колебания

Видеальном случае сопротивление r=0. Тогда не требуется введения в контур генератора и при e=0 уравнение (1.14) упрощается:

L	d 2q	+	q	= 0 .	(1.15)
	dt 2
			C
Колебания при этих условиях называются собственными.

Решением уравнения (1.15) является гармоническое колебание q=q0cos(w0t+j0). (1.16)

Подставив (1.16) в (1.15), получим формулы для частоты и периода собственных колебаний w0 = 1 / LC и T = 2p / w0 = 2p LC , (1.17)

что совпадает с выражением(1.11), полученным из качественных рассуждений. Считая начальную фазу j0=0, получим выражения для тока и напряжения в любой момент времени:

i=dq/dt=-q0w0sinw0t=q0w0cos(w0t+p/2),

u=q/C=q0/Ccosw0t

(1.18)

Ток опережает по фазе напряжение на p /2.

1.5. Затухающие колебания

Затухающие

колебания

характерны для

любого реального колебательного контура(когда

r¹0) при отсутствии внешней ЭДС (e=0). Уравнение (1.14) для этого случая

L

d 2 q

+ r

dq

+

q

= 0 или

d 2 q

+ 2b

dq

+ w

02 q = 0 ,(1.19)

dt 2

dt 2

dt

c

dt

где b=r/2L - коэффициент затухания.

Решение уравнения задаётся функцией (см. рис.1.6): q=q0 e-b×t ×cos(wt+j0), где w = w02 - b 2 . (1.20)

Ток в цепи и напряжение на конденсаторе приj0=0 получаем по уравнению для q аналогично

(1.18):

i=q0w0 e-b×t ×cos(wt+y),	uС=	q0	e-b×t ×coswt, (1.21)
		C

где сдвиг фаз между током и напряжением y определяется из выражения

tgy=-w/b.	(1.22)
Главной особенностью затухающих колебаний по сравнению с
собственными является уменьшение	амплитуды со временем

(рис.1.6), причем, чем больше b, тем быстрее амплитуда спадает до нуля. Кроме этого, частота затухающих колебаний меньше собственной w<w0 (см.(1.20)) , а сдвиг фаз между напряжением и током больше p/2 (p/2<y<p). Если b®0, то y®p/2 и затухающие

6

колебания переходят в собственные. Период затухающих колебаний называют условным, так как амплитуда спустя времяТу=2p/w принимает не первоначальное, а меньшее значение вследствие затухающего характера колебаний.

Основной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания

d = ln	q( t )	= bT	у ,	(1.23)
	q( t + T )

представляющий собой логарифм отношения двух последовательных амплитуд. Считая, что

b=r/2L,

а Ту=2p/w »T0= 2p/w0=2p

, получимd » pr

C

.

(1.24)

LC

L

В

радиотехнике

используется

также

добротность

колебательного

w0

1

»

p

.

Q =

=

L

(1.25)

2b

r

C

d

Очевидно, Q тем больше, чем меньше затухание колебаний в контуре.

1.6. Вынужденные колебания

В данном случае действуют все элементы

контура(см. рис.1.5) и

уравнение (1.14)

перепишем в виде

d 2 q

+ 2b

dq

2

e0

coswt .

(1.26)

+ w

0 q =

dt 2

dt

L

Решением этого уравнения является также гармоническое колебание

q=q0cos(wt-y).

(1.27)

Для нахождения тока и напряжений на элементах контура необходимо определить значенияq0 и y. Вычислив производные

dq

=-q0wsin(wt-y)=q0wcos(wt-y+p/2)

(1.28)

dt

d 2 q

=q0w2cos(wt-y+p)

(1.29)

и подставив их в (1.26), получим

dt 2

где A=q0w2,

Acos(wt-y+p)+Bcos(wt-y+p/2)+Дcos(wt-y)=Fcoswt, (1.30)

B=2bq0w,

Д=q0w02,

F=e0/L.

Уравнение

(1.30)

представляет

собой

сумму

чет

косинусоидальных колебаний с амплитудамиА, В, Д, F с одинаковой

частотой, но сдвинутых относительно друг друга по фазе. Сложение

этих

колебаний проведём

с использованием

векторной диаграммы

(см. рис.1.2).

За начало отсчета возьмем колебание с амплитудойД и направим

вектор этого колебания по горизонтали (рис.1.7).

Колебание

с

амплитудойА

опережает Д

по

фазе на уголp,

т.е.

направлено в

противоположную

сторону, а

колебание В - на p/2.

Из

рисунка видно,

что

(Д-А)2+В2=F2. Подставив сюда значение амплитуд (1.30), нетрудно определить, что

q0 =

e

0 / L

,

а

tgy =

B

=

2bw

.

Д - A

w02 -w 2

(w02 - w0 )2 + 4b 2w 2

С подстановкой величин w0

и b (1.17), (1.19)

получим

7

q0=e0/wR,	tgy =			r	,
			1	-wL
		wC

где полное сопротивление последовательного колебательного контура:

R =	r	2	æ	ωL -	1 ö
			+ ç			÷
			è		ωC ø

Сила тока в цепи последовательного колебательного контура: i=dq/dt =-q0wsin(wt-y)= i0cos(wt-y

2

. (1.31)

+p/2)= i0cos(wt-j), (1.32)

ε

ωL -

1

p

1

где

i0

=

0

, и

tgj =

ωC

,

т.к. tgj =tg(y -

) = -

.

R

r

2

tgy

Очевидно, в зависимости от значений w, L, C сдвиг фаз j между током и напряжением генератора может быть как положительным, так и отрицательным.

1.7. Фазовые соотношения между током и напряжением на элементах контура

Поскольку ток во всех элементах последовательной цепи одинаков, для простоты будем

считать, что

ток изменяется по законуi=i0sinwt, и определим напряжение на элементах

контура (рис.1.5). Проще всего определить напряжение на сопротивлении r

ur= ir = i0r×sinwt =ur0 sinwt,

(1.33)

которое изменяется во времени так же, как и ток.

Напряжение на конденсаторе uС найдем, определив величину заряда:

q = òidt = i0 ò sinwtdt = -

i0

coswt

w

(постоянную

интегрирования

опускаем, так

как

нас

интересует

только

перемен

составляющая заряда). Тогда

q

i

æ

p

ö

uС =

= -

0

coswt = uC0 sinçwt -

÷ ,

(1.34)

C

2

wC

è

ø

где uC0=i0×rС - амплитуда напряжения на конденсаторе, rC=1/wC - сопротивление ёмкости переменному току.

На постоянном токе, когда w=0, сопротивление rC®¥.

Из (1.34) следует, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока наp/2. Это имеет простой физический смысл, заключающийся в том, что заряд на конденсаторе (а значит, и напряжение) изменяется вследствие первоначального изменения тока.

Напряжение на последовательно соединенных сопротивлении и индуктивности по закону

	Ома для участка цепи с ЭДСu=Lr-eси, где eси =-L			di	- ЭДС самоиндукции. При r®0, uL®-eси,
				dt
	следовательно
	uL= L	di	=wLi0coswt=uL0 sin(wt+p/2),	(1.35)
		dt

где uL0=i0×rL - амплитуда напряжения на катушке

rL=wL - сопротивление индуктивности переменному току.

На постоянном токе, когда w=0, сопротивление rL=0.

Как видно из(1.35), напряжение на индуктивности опережает ток наp/2. Физическая причина этого заключается в том, что при приложении к индуктивности внешнего напряжения в ней возникают встречные индуктивные токи, поэтому результирующий ток запаздывает

8

относительно напряжения.

Зная базовые соотношения между напряжениями на элементах контура, нетрудно построить векторную диаграмму колебаний напряжений и напряжение на концах цепи (рис.1.8).

За начало отсчета углов направлений векторов примем направление вектора

r

r

ur 0

, совпадающего с вектором тока (горизонтальная ось на рис.1.9). Вектор uC0

запаздывает по фазе на угол p/2, а вектор

r

uL0 , наоборот, опережает на угол p/2.

r

Амплитуду вектора результирующего напряжения u0 найдем как сумму векторовuL0 - uС 0 и

r

, тогда его модуль будет определяться

ur 0

2

æ

1

ö2

= i0 R , (1.36)

u0

= i0 r

+

çwL -

÷

è

wC ø

где R =

2

æ

1

ö

2

r

+

çwL -

÷

-

полное сопротивление цепи переменному току.

è

wC

ø

Сложение трех гармонических колебаний напряжений дает также гармоническое колебание

u=u0×sin(wt+j),

(1.37)

где j определяется (см. рис.1.9) из

tgj=(wL-1/wC)/r.

(1.38)

Полученные из качественного рассмотрения процессов формулы

(1.36)...(1.38)

совпадают с формулами(1.31)...(1.32),

являющимися

результатом

решения уравнения(1.26). На основании их можно

сделать вывод, что колебания тока и напряжения происходят

разностью

фаз j

(1.38),

причем

j может иметь

любой ,знак

амплитуды

тока

и

напряжения

связаны

зависимостью(1.36),

аналогичной

закону

Ома. Поэтому, формулу i0= u0/R

называют

законом

Ома

для

амплитуд

переменного. Очевиднотока ,

полученные формулы справедливы как для схемы рис.1.5, так и для

рис.1.8, если в качестве u считать ЭДС генератора.

Результирующее

колебание

на

.1рис.9 складывается

из двух

колебаний:

напряжения

с амплитудойuaк=ur0=i0r,

совпадающего по фазе с током, и

напряжения с амплитудойupе=i0(wL-1/wC), отличающегося по фазе наp/2. Напряжение uaк

называют активной составляющей напряжения,		upе -	реактивной. Соответственно и
сопротивление цепи R (1.36) состоит	из активногоr		и реактивногоRpе=wL-1/wC
сопротивления, а
tgj=Rpе/r.	(1.39)

Протекание тока через активное сопротивление приводит к выделению , теплачерез реактивное сопротивление - не приводит.

1.8. Резонанс напряжений

Рассмотрим процессы, происходящие в последовательном контуре(см. рис.1.5) при изменении частоты генератора с ЭДСe=e0×sinwt. Величина тока в контуреi=i0×sin(wt-j), i0=e0/R, tgj=Rpе/r. При низких частотахw®0, 1/wC®¥, соответственно иR®¥ (1.36), а амплитуда тока i0®0, поскольку через конденсатор постоянный ток не проходит. С ростом частоты реактивное сопротивлениеRpе=(wL-1/wC) уменьшается и на частотеw0 достигает нуля: Rpе=w0L-1/w0C=0. Из последнего уравнения получаем, что w0 = 1 / LC является частотой собственных колебаний (1.17).

9

Рис.1.13

макс=e0/r.

При этом

r

векторы uC0

полное сопротивление R=r минимально, а ток в цепи максимален: i0

Дальнейшее увеличение частоты приводит к рост реактивного сопротивления Rpе и полного R, поэтому ток уменьшается (рис.1.10). Значение тока в максимуме тем больше, чем меньше величина активного сопротивления контура r.

Сдвиг фаз j между током и напряжением на частотеw0 равен нулю вследствие равенства нулю Rpе (1.39).

Это означает, что векторной диаграмме (рис.1.9) противоположно направленные

rr

=uL0 и вектор u0 направлен по оси тока, т.е. контур

действует как чисто активное сопротивление. При отклонении w от

w0	j растет, причем
при	w®0,	Rpе®(-1/wC)®-¥,				tgj®-¥, т.е. j®-p/2,
а при w®¥		Rpе®wL®¥,				tgj®¥, т.е. j®p/2				(рис.1.11).
Амплитуды			колебаний					напряжения	на	конденсаторе
индуктивности
	uC0	= uL0	= i0w0 L=e0	1		L		= e0Q,	(1.40)
				r
						C

и

Рис.1.10

где добротность контураQ (1.25) для реальных контуров порядка100. Таким образом, на частоте w0 амплитуды напряжения на конденсаторе и индуктивности во много раз больше ЭДС генератораe0, но находятся в противофазе и в сумме равны нулю (рис.1.12).

Этот эффект называютрезонансом напряжений, а частоту w0 -

резонансной частотой.

Резонанс напряжений широко используется в радиотехнике, например, во входной части любого радиоприемника(рис.1.13). Во входной катушке L0 возбуждаются колебания множества частот от различных радиостанций. Эти колебания за счет трансформаторной связи передаются в контурL1С1. Поскольку амплитуда колебания с частотойw0 на конденсаторе вQ раз

больше, чем	амплитуда	колебаний	других	частот, это	колебание
выделяется	контуром и	подается	на усилитель. Изменяя емкость
конденсатора, можно настроить радиоприемник на нужную станцию.
1.9. Резонанс токов

Этот вид резонанса наблюдается в колебательном контуре, где L, С и генератор e=e0×cos(wt) включены параллельно (рис.1.14).

Поскольку провода индуктивности имеют	сопротивление, то r
включено последовательно сL. В отличие от	последовательного

контура, где ток через все элементы одинаков и задача сводилась построению векторной диаграммы напряжений, здесь одинаковым является напряжение в ветвях и задача заключается в векторной диаграммы токов. Зa начало отсчета примем направление вектора напряжений (горизонтальная ось на .рис1.15). Амплитуда колебаний тока черезL (1.36) и сдвиг фаз, на который ток отстаёт от напряжения (1.38), определяются как

10