Fizika okieana - Doronin

					2		t		θ − T0	1/ 2
h	h			+			∫	Λ			(5.27)
						2
(t ) =		0	1						L ′ρ I	dt .
					h	0	0

При неизменных теплофизических характеристиках интеграл от разности температур часто называют суммоградусами дней мороза.

Из полученной формулы видно, что при неизменной температуре с течением времени скорость роста толщины льда замедляется, т.е. рост тонкого льда происходит быстрее, чем толстого. Это обусловлено тем, что при этих условиях вертикальный градиент температуры, от которого зависит отток тепла от нижней поверхности льда, с ростом h уменьшается. Поэтому в природных условиях в регионе с однородным климатом существует тенденция к выравниванию толщины льда.

В природных условиях поток тепла от воды ко льду обычно существует, Из выражения (5.26) видно, что он уменьшает значение интеграла тем существеннее, чем больше толщина льда. Под воздействием этого потока тепла даже может наступить таяние льда с его нижней поверхности, несмотря на отрицательную температуру воздуха. Предельная толщина льда h к , при которой приток тепла из

моря равен оттоку тепла вверх, находится из уравнения (5.25), если в нем левую часть принять равной нулю. Тогда

h к = Λ(θ − Т0 ) / ФМ .

(5.28)

Эта формула используется при оценках возможной толщины многолетнего льда.

Решение уравнения (5.26) обычно проводится методом последовательных приближений, при котором в подынтегральное выражение входит толщина льда, вычисленная на предыдущем шаге итерации. Гораздо реже используется разложение уравнения (5.25) в степенной ряд.

Принятое в уравнении (5.25) условие постоянства вертикального градиента температуры по толщине льда равносильно условию отсутствия источников и стоков тепла в толще льда. Следовательно, отток тепла от нижней поверхности льда равен оттоку тепла от его верхней поверхности. При этих условиях уравнение (5.24) может быть переписано в виде

L ′ρ		∂h	= −(B + Φ		+ Φ		+ Φ		) ,	(5.29)
	I			a		И		M
		∂t

где B - радиационный баланс поверхности льда,

Фа - турбулентный теплообмен между льдом и воздухом, ФИ - затраты тепла на испарение со льда.

Из этого уравнения получается более простая формула для определения толщины льда , чем выражение (5.26):

172

19

		t	B + Φ a + Φ И	+ Φ M
	h(t ) = h 0	− ∫			dt .	(5.30)
			L ′ρ I
		0

Здесь поток тепла считается положительным, если он направлен ко льду.

Выражение (5.30) в практических расчетах используется реже уравнения (5.26) из-за того, что турбулентные потоки тепла как в воздухе, так и в воде, а также затраты тепла на испарение со льда определяются с малой точностью.

Вертикальный градиент температуры во льду не бывает постоянным при колебаниях температуры воздуха, а увеличивается при ее понижении и уменьшается - при повышении. Однако из-за того, что в уравнение (5.26) входит интеграл от Т0 , суммирование положительных и отрицательных отклонений от плавного изменения температуры воздуха в некоторой степени уменьшает среднее за период интегрирования изменение градиента температуры. Поэтому выражение (5.26) довольно хорошо описывает зависимость роста толщины льда от температуры даже при толщине льда, доходящей до метра. В случае многолетних льдов, толщиной в несколько метров, условие постоянства вертикального градиента температуры по толщине оказывается грубым, Поэтому для повышения точности при расчете толщины льда следует пользоваться уравнением (5.23), в котором градиент температуры определяется из уравнения

теплопроводности.
Очень сильное влияние на рост толщины льда	оказывает

находящийся на нем снег. Для того, чтобы это продемонстрировать, можно считать, что вертикальные профили температуры снега и льда по толщине в каждой среде не меняются, это означает, что вертикальный поток тепла в них не меняется по толщине, т.е.

Λ	θ − Т0			= λ		Т0		− Тс	,		(5.31)
					с
		h						h с
где h с , λ с - толщина и теплопроводность снега соответственно,
Тс - температура поверхности снега.
Из приведенной формулы следует
Т	0	=	Тс	+ Λθh с				/ λ сh		.	(5.32)
		1		+ Λh с			/	λ сh
Замена Т0 в выражениях		(5.26) или					(5.27)				этой формулой вводит в

них характеристики снега и позволяет учесть его влияние на рост

толщины льда. Например, формула (5.27) при учете снега							принимает
вид
h(t ) = h			2	t	Λ(θ − Tc )dt	1/ 2
		1 +		∫		.	(5.33)
	0		h20		L ′ρ I (1 + Λh c / λ c h)
				0
							173

20

Здесь знаменатель подынтегрального выражения больше, чем в формуле (5.27), поэтому толщина заснеженного льда оказывается меньше, чем бесснежного, это уменьшение зависит от толщины слоя снега и его теплопроводности

Снег влияет и на предельную толщину льда. Формула для ее оценки получается из уравнения (5.25) после подстановки в него выражения (5.32) и приравнивания нулю левой части:

Λ(θ − Тс )
h к = ФМ (1 + Λh с / λ сh) .	(5.34)

Вычисленная по этой формуле предельная толщина льда оказывается меньше, чем по формуле (5.28). Это вызвано тем, что температура поверхности льда под снегом выше , чем оголенного.

Формула (5.34) при отсутствии снега на льду переходит в формулу ( 5.28), т.е. она более общая.

Во все формулы для расчета толщины льда входит поток тепла от воды. Его роль весьма существенна. Если он оказывается равным потоку тепла через лед, то прирост толщины последнего прекращается.

Поток тепла к нижней поверхности льда ФМ зависит от скорости роста льда, т.к. при этом происходит осолонение подледного слоя воды, повышающее ее плотность и способствующее развитию свободной конвекции под льдом. При заглублении слоя конвекции h в него вовлекается подстилающая вода обычно более высокой температуры. Кроме того, при повышении солености подледного слоя воды понижается температура ее замерзания. Даже при отсутствии горизонтальной адвекции тепла в воде возникает вертикальный поток тепла, обусловленный изменением температуры замерзания и вовлечением в конвекцию нового слоя воды

		∂θ		∂h
Φ M	= Сρ h		+ T		.	(5.35)
		∂t
				∂t

Иногда в этом выражении учитывается слагаемое, характеризующее турбулентный поток тепла к слою конвективного перемешивания. Однако из-за трудности оценки коэффициента турбулентной теплопроводности он определяется очень грубо и при заглублении конвекции этот поток тепла в большинстве случаев не учитывается.

В выражении (5.35) появились две новые характеристики: θ и h. Для их определения надо знать соленость подледного слоя воды. Она зависит от массы соли, которая поступает в воду при образовании морского льда и от вовлечения в конвекцию новых порций воды

∂S

Sρ I − sρ

∂h

S

∂h

=

+

,

(5.36)

∂t

ρh

∂t

h

∂t

где (Sρ

− sρ)

∂h

= Φ

- приток соли в воду.

I

∂t

S

174

21

После определения солености подледной воды, температура замерзания легко вычисляется по формуле Крюммеля (1.59). Изменение толщины слоя конвективного перемешивания обсуждалось в главе 4 и для ее вычисления приведена формула (4.74).

Различие в плотностной стратификации замерзающих океанов и морей и обусловленных этим потоков тепла в период роста льда является одной из причин пространственной неоднородности его толщины. На тех акваториях океана, где конвективное перемешивание распространяется до больших глубин, лед вообще может не образовываться. Характерным примером может служить большая часть Гренландского моря, акватории Охотского и Берингова морей в пределах материкового склона, где конвекция проникает до глубины в несколько сотен метров и создает большой поток тепла, препятствующий охлаждению поверхностного слоя моря до температуры замерзания.

Если лед толстый, то линейный профиль его температуры не всегда имеет место, особенно при быстрых изменениях температуры воздуха. Поэтому градиент температуры льда в уравнении (5.23) не пропорционален разности температур нижней и верхней поверхностей льда, а находится из уравнения теплопроводности, которое для льда оказывается сложным из-за фазовых переходов и изменения его толщины

			∂T		∂		∂T		0 ≤ z ≤ h(t )
C	ρ			=		Λ				(5.37)
		I ∂t
I					∂z		∂z

Морской ледяной покров в какой-то степени можно рассматривать как тонкую пластину, одна из поверхностей которой находится при очень слабо меняющейся температуре и температура льда по вертикали меняется гораздо сильнее, чем по горизонтали. Этим объясняется то, что в преобладающем числе случаев исследуются закономерности вертикального распределения температуры. В холодный период года она меняется от температуры замерзания на границе льда с водой до более низкой температуры на поверхности ледяного покрова В схематическом виде зимний вертикальный профиль температуры льда представлен на рис.5.7

Решение уравнения (5.37) сопряжено с большими трудностями не только из-за необходимости учета теплоты фазовых переходов, но и из-за изменения толщины льда. Поэтому оно решается численно. В ряде случаев, особенно при проведении анализа зависимости температуры от ее изменений на поверхности льда, от скорости роста толщины льда, от фазовых преобразований в его толще, а также при решении ряда других вопросов, целесообразно иметь дело с аналитическим, хотя и приближенным решением уравнения теплопроводности. В простейшем виде оно получается из уравнения (5.37) методом последовательных приближений при известных

175

22

Рис. 5.7 Среднемесячная температура морского многолетнего льда.

значениях температуры на верхней Т0 и нижней θ поверхностях льда. Сначала ищется решение этого уравнения без его левой части. Полученное выражение подставляется в левую часть уравнения и снова проводится его решение при тех же краевых условиях и т.д. Ограничившись вторым приближением, можно получить выражение для определения температуры льда в виде

Т(t ,z) = T0 −

z

(T0 − θ) +

h

∂T0

z

z

z

2

s′

h

T0

+ θ

z

T0

z

z

−

T0

+ θ

z

T0

+

h

3

−

− 2 +

−

ln

1 −

+

1 −

ln

∂t

6к

h

h2

T

− θ

2

T

− θ

h

θ

h

h

T

− θ

h

θ

(

)

0

0

0

z

2

s

′hT

z

T

2T

z

T

z

z

∂h T − θ

0

− 1 z +

0

2 1

−

ln

0

−

0

−

ln

0

1 −

+

∂t

h2

− θ

θ

T − θ

6к

T

h

h

θ

h

h

0

0

(5.38)

где к = Λ / CI ρ I - температуропроводность льда,

s′ = Lsρ I , δ = −0,0182 г/К - экспериментальный параметр.

Λδ

Из этого выражения видно, что линейным вертикальный профиль температуры льда бывает только в том случае, когда нет изменений во времени толщины льда и температуры его поверхности. Однако при малых значениях величины h .и изменениях Т0 в несколько градусов за сутки вклад третьего и четвертого слагаемых оказывается небольшим, поэтому вертикальное распределение температуры близко

176

23

клинейному.

Влияние теплоты фазовых переходов в толще льда на его

температуру, а следовательно и на рост толщины, характеризуется членами, содержащими множитель s′ . Видно, что они не равны нулю только при меняющихся температуре поверхности и толщине льда, так как при неизменной температуре фазовые преобразования во льду не происходят, Изменение температуры льда за счет тепла фазовых переходов невелико и обычно составляет доли градуса. Лишь при больших изменениях температуры поверхности льда порядка 100 за сутки при солености льда порядка 10%0 эти изменения могут достигать 10С.

Чаще всего температура поверхности льда не бывает известна и вместо нее используется температура воздуха Та. Такая замена требует оценки различий между ними. Соотношение между этими температурами легко определяется, если в простейшем случае при линейном вертикальном профиле температуры во льду и снеге на нем градиент температуры выразить через составляющие теплового баланса

T0 − θ

= B + Φ

+ Φ

= B + C

ρ

c

V

Та − T

+

LИ

(q − q

)

,

a

И

a

0

(h / Λ) + (hc / λ c )

a

T

0

Ca

(5.39)

где Са , ρа - удельная теплоемкость и плотность воздуха, сТ -коэффициент теплоотдачи,

V - скорость ветра,

LИ - удельная теплота испарения со льда,

q , q0 - удельная влажность воздуха на высоте наблюдений и на уровне снежно-ледяной поверхности.

На рис 5.8 приведено соотношение температуры снежно-ледяной поверхности (по оси ординат) в зависимости от температуры воздуха ( по оси абсцисс) при различной толщине льда ( в см. на концах линий) . Значения Т0 вычислены по формуле при средних величинах исходных параметров, характерных для арктических морей в зимний период года. Полагалось, что на льду толщиной до 5 см. снег отсутствует, далее для льда толщиной до 20см. имеет место соотношение h с / h = 0,05, а для более толстого льда h с / h = 0,1

при λ с / Λ =0,1. Из рисунка видно, что температура снежно-ледяной

поверхности близка к температуре воздуха при толстом льде и низких Та или при тонком льде и относительно высоких Та.

Определение изменений толщины льда в весенне-летний период года является одной из основных проблем в практике ледовых прогнозов. Толщина стаявшего слоя льда и сроки вскрытия акваторий, зависящие от толщины льда, определяют начало навигации. Поэтому возможность расчета таяния льда имеет большое практическое значение.

177

24

Рис.5.8. Соотношение температур снежноледяной поверхности и воздуха при различной толщине льда.

При этом всегда предварительно определяется дата начала таяния, т.к. она представляет собой начальный момент, с которого поступающее ко льду тепло расходуется на его таяние.

Вследствие того, что положительный радиационный баланс повышает температуру снежно-ледяной поверхности выше температуры воздуха, таяние льда или снега на льду начинается еще при отрицательной температуре воздуха. Поэтому в эмпирических формулах дата начала устойчивого таяния льда часто связывается с датой наступления некоторой отрицательной температуры воздуха. Для тех или иных климатических условий ее можно определить по формуле (5.39) , приняв Т0=00С. Если снега на льду нет и соленость льда не нулевая, то температура его плавления зависит от солености

льда Θ(s) . В этом случае за дату начала таяния принимается момент времени , когда Т0 = Θ . При этом полагается t = 0.

Выражение, на основании которого рассчитывается стаивание льда или снега на нем, определяется из уравнения теплового баланса снежно-ледяной поверхности (5.39), в которое добавляется слагаемое,

характеризующее	затраты			тепла		на		таяние	льда
	LИ				∂T		h
B + Ca ρa cTV Ta − Θ +		(q − q0 )		+ Λ		= Lρ I	∂	.	(5.40)
	Ca				∂z		∂t

В этом уравнении последний член левой части выражает поток тепла, расходуемый на прогрев льда.

Если лед покрыт снегом, то в правую часть последнего уравнения вместо плотности и толщины льда должны входить плотность и толщина снега. Отток тепла от снежно-ледяной поверхности вниз из-за «запаса холода» в толще льда и из-за того, что в период таяния

178

25

температура нижней поверхности льда ниже, чем верхней, приводит к тому, что на таяние льда расходуется не все поступившее к нему тепло. Поэтому при учете этого оттока тепла стаявший слой льда оказывается несколько меньше, чем без его учета. У многолетнего льда толщиной 3-4 метра отток тепла от поверхности вниз уменьшает его стаивание на 6-8 см за месяц. Но уже при толщине льда в 2 м этот отток тепла уменьшает стаивание только на 1-2 см за месяц. Из-за того, что точность определения поступающего ко льду тепла не очень высокая, при расчете стаивания льда расходом тепла на его прогрев и оттоком вниз обычно пренебрегают. Это существенно упрощает вычисление стаивания льда, поскольку в выражении (5.40) опускается последний член его левой части и полагается Θ=0. Решением такого упрощенного уравнения теплового баланса будет

t

ρ

1

LИ

h =

∫

B + Ca

ρa cTV Ta

+

(q − q0 ) dt −h c

c

.

(5.41)

Lρ

C

ρ

I

0

a

I

Последний член этого выражения характеризует как бы увеличение толщины льда за счет находившегося на нем снега, поскольку на его таяние расходуется часть поступившего тепла.

Сильная зависимость таяния снега и льда от радиационного баланса в ряде случаев используется для ускорения их таяния за счет увеличения B в результате искусственного уменьшения альбедо снежно-ледяной поверхности.

Очень большое влияние на таяние льдов в море оказывают участки чистой воды между льдинами. Из-за малой отражательной способности вода аккумулирует больше лучистой энергии, чем лед. Это приводит к повышению ее температуры и расходовании части поглощенного тепла на таяние льдин. На такой характер перераспределения тепла впервые обратил внимание Н.Н. Зубов при анализе более быстрого таяния разреженного льда . Действительно, при сплоченности льда Ν и теплообмене с атмосферой Φ на водную

поверхность за время dt поступит поток тепла, равный Ф(1 − N )dt . Н.Н. Зубов принял, что поступившее тепло расходуется па плавление льда площадью dN и толщиной h . Следовательно,

Ф(1 − N )dt + Lρ I hdN = 0 .							(5.42)
Интегрирование этого уравнения приводит к формуле
		1	t Φ
N = 1 − (1 −			∫			,	(5.43)
	N 0 )exp				dt
	Lρ I		0	h

где Ν0 - сплоченность льдов в долях единицы перед началом таяния. Предположение о расходовании всего тепла, поглощенного водой, на таяние льда более или менее соответствует действительности лишь при значительной сплоченности льда. С увеличением пространства открытой воды растет доля тепла, идущая на повышение ее

179

26

(2.20).

температуры и на прогрев более глубоких слоев моря. Поэтому уменьшение сплоченности льда в результате таяния будет происходить несколько медленнее , чем это следует из формулы

(5.43).

5.5.Механические свойства морского льда

Знание механических свойств льда, под которыми понимают его способность сопротивляться воздействию внешних механических сил, имеет первостепенное значение при решении таких задач, как защита от льда портовых сооружений, нефтяных вышек на шельфе, при расчете прочностных свойств судов ледового класса, сооружении ледовых переправ и аэродромов и т. д. Тем не менее из-за сложности строения льда и особенностей его поведения под нагрузкой многие механические характеристики морского льда не могут еще вычисляться аналитически, а определяются только из экспериментов. При этом приходится иметь в виду, что морской лед поликристалличен. В нем всегда имеются пустоты, и поэтому даже при выборе для анализа образцов льда из одной льдины неизбежны различия в результатах эксперимента. Кроме того, в отличие от большинства твердых тел, лед в естественных условиях находится при температуре, не очень далекой от температуры плавления. Это обстоятельство также оказывает влияние на поведение льда под нагрузкой.

Действующую на лед силу принято выражать через напряжение σ , равное силе, приходящейся на единицу площади. Как и в жидкости, напряжения по разным осям координат разные и выражаются тензором типа Под действием этого напряжения лед деформируется либо упруго, либо пластически. Под деформацией ε чаще всего понимается относительное изменение какой-то геометрической характеристики образца льда. Если происходит растяжение или сжатие льда, то оценивается относительное изменение его длины по направлениям приложенного напряжения. Если под нагрузкой меняется форма образца льда, то она оценивается деформацией сдвига, которая характеризуется углом ϕ ,

отсчитываемым от первоначального. Выделяется еще деформация изгиба, при которой часть образца льда испытывает растяжение, а часть - сжатие.

Под упругой деформацией понимается такая ее стадия, при которой после прекращения действия напряжения форма тела возвращается в первоначальное состояние. В этой стадии между напряжением и деформацией существует линейная связь

σ xx = Eε xx ,

(5.44)

180

27

σ ху = G ε xy ,

(5.45)

где E - модуль продольной упругости, G - модуль сдвига,

σ хх , σ ху - нормальное и касательное напряжения соответственно.

Деформация льда под нагрузкой происходит во всех направлениях и полностью описывается тензором деформаций, который аналогичен по форме тензору напряжений. Но в практических расчетах чаще определяются 2-3 вида деформации. Это упомянутые выше продольные деформации и сдвиг, а также поперечная деформация. Непосредственно оценивается не она, а коэффициент Пуассона, под которым понимается отношение поперечной деформации к продольной. В среднем его значение находится в пределах 0,3 - 0,4.

У морского льда стадия упругой деформации существует в том случае, когда напряжения небольшие, порядка 10 − 1 МПа, а скорость

приложения высокая - порядка 10 −2 МПа/с, т.е. эта стадия характеризуется относительно небольшими напряжениями и деформациями. В ее пределах модули напряжения и сдвига не остаются постоянными. Они зависят от кристаллической структуры льда, его пористости, солености и температуры. Даже при растяжении монокристалла модуль растяжения ( модуль Юнга ) Ер ≈ 5-8 ГПа, а

по некоторым данным у поликристаллического льда он достигает 11 ГПа [1,2]. Повышение температуры, рост пористости и солености льда уменьшают модуль Юнга. Поэтому зимой он у многолетнего арктического льда достигает 8-8.4 ГПа, а летом уменьшается до 7 ГПа

сдиапазоном изменений, особенно летом, до 2ГПа.

Всоответствии с распределением пор и солености Ер в верхних и

нижних слоях льда на 2-3 ГПа меньше, чем приведенные выше значения. Естественно, что и у тонкого льда модуль Юнга меньше, чем у толстого, уменьшаясь до 2-4 ГПа. К сожалению, пока нет достаточно надежных формул, позволяющих рассчитывать Ер ,

поэтому на практике обычно используются их типовые значения, полученные по данным измерений для характерных видов льда с учетом сезона. Такова же зависимость других модулей упругости льда от его твердой основы и включений, но модуль сдвига Еϕ в 2,5 - 3

раза меньше Ер , а модуль сжатия мало отличается от Ер .

Если напряжения и скорость их приложения превышают указанные выше значения, то лед деформируется пластически. Механизм такой деформации объясняется взаимным смещением кристаллов, особенно интенсивно происходящим вдоль прослоек рассола, изменением размеров и формы кристаллов, внутрикристаллическими

181

деформациями, связанными с перемещением дефектов кристаллической решетки льда и смещением атомов кристалла.

28