Таблиця 2.1

	1	0,8	0,7	0,6
	0,8	1	0,8	0,5
	0,7	0,8	1	0,2
	0,6	0,5	0,2	1

Очевидно, що фактори йдублюють один одного. В аналіз доцільно включити фактор, а не, хоча кореляціяз результатомслабкіше, ніж кореляція факторуз, але зате значно слабкіше міжфакторна кореляція. Тому в цьому випадку в рівняння множинної регресії включаються фактори,.

За величиною парних коефіцієнтів кореляції виявляється лише явна колінеарність факторів. Найбільші труднощі у використанні апарата множинної регресії виникають при наявності мультиколініарністі факторів, коли більш ніж два фактори зв'язані між собою лінійною залежністю, тобто має місце сукупний вплив факторів один на одного. Наявність мультіколінеарності факторів може означати, що деякі фактори будуть завжди діяти в унісон. У результаті варіація у вихідних даних перестає бути повністю незалежною й не можна оцінити вплив кожного фактора окремо.

Для оцінки мультіколінеарності факторів може використовуватися визначник матриці парних коефіцієнтів кореляції між факторами.

Якби фактори не корелювали між собою, то матриця парних коефіцієнтів кореляції між факторами була б одиничною матрицею, оскільки всі недіагональні елементи були б дорівнюють нулю. Так, для рівняння, що включає три пояснюючих змінних

матриця коефіцієнтів кореляції між факторами мала б визначник, дорівнює одиниці:

.

Якщо ж, навпаки, між факторами існує повна лінійна залежність і всі коефіцієнти кореляції дорівнюють одиниці, то визначник такої матриці дорівнює нулю:

.

Чим ближче до нуля визначник матриці міжфакторной кореляції, тим сильніше мультіколінеарність факторів і ненадійніше результати множинної регресії. І, навпаки, чим ближче до одиниці визначник матриці міжфакторній кореляції, тим менше мультіколінеарність факторів.

Одним зі шляхів обліку внутрішньої кореляції факторів є перехід до сполучених рівнянь регресії, тобто до рівнянь, які відбивають не тільки вплив факторів, але і їхня взаємодія. Так, якщо , те можлива побудова наступного сполученого рівняння:

.

Розглянуте рівняння включає взаємодія першого порядку (взаємодія двох факторів). Можливе включення в модель і взаємодій більше високого порядку, якщо буде доведена їхня статистична значимість по -критерії Фішера, але, як правило, взаємодії третього й більше високих порядків виявляються статистично незначущими.

Через чітку інтерпретацію параметрів найбільше широко використовується лінійна функція. У лінійній множинній регресії параметри приназиваються коефіцієнтами «чистої» регресії. Вони характеризують середню зміну результату зі зміною відповідного фактору на одиницю при незміненому значенні інших факторів, закріплених на середньому рівні.

Розглянемо лінійну модель множинної регресії

.

Класичний підхід до оцінювання параметрів лінійної моделі множинної регресії заснований на методі найменших квадратів (МНК). МНК дозволяє одержати такі оцінки параметрів, при яких сума квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки від розрахунковихмінімальна:

.

Як відомо з курсу математичного аналізу, для того щоб знайти екстремум функції декількох змінних, треба обчислити частки похідні першого порядку по кожному з параметрів і дорівняти їх до нуля.

Отже. Маємо функцію аргументу:

.

Знаходимо частки похідні першого порядку:

Після елементарних перетворень приходимо до системи лінійних нормальних рівнянь для знаходження параметрів лінійного рівняння множинної регресії (2.1):

Для двофакторної моделі ця система буде мати вигляд:

Метод найменших квадратів застосуємо й до рівняння множинної регресії в стандартизованому масштабі:

де – стандартизовані змінні:,, для яких середнє значення дорівнює нулю:, а середнє квадратичне відхилення дорівнює одиниці:;– стандартизовані коефіцієнти регресії.

Стандартизовані коефіцієнти регресії показують, на скільки одиниць зміниться в середньому результат, якщо відповідний фактор зміниться на одну одиницю при незмінному середньому рівні інших факторів. У силу того, що всі змінні задано як центровані й нормовані, стандартизовані коефіцієнти регресіїможна порівнювати між собою. Порівнюючи їх один з одним, можна ранжировать фактори по силі їхнього впливу на результат. У цьому основне достоїнство стандартизованих коефіцієнтів регресії на відміну від коефіцієнтів «чистої» регресії, які непорівнянні між собою.

Застосовуючи МНК до рівняння множинної регресії в стандартизованому масштабі, одержимо систему нормальних рівнянь виду

де й– коефіцієнти парної й міжфакторной кореляції.

Коефіцієнти «чистої» регресії зв'язані зі стандартизованими коефіцієнтами регресіїв такий спосіб:

.

Тому можна переходити від рівняння регресії в стандартизованому масштабі (2.4) до рівняння регресії в натуральному масштабі змінних (2.1), при цьому параметр визначається як.

Розглянутий зміст стандартизованих коефіцієнтів регресії дозволяє їх використовувати при відсіванні факторів – з моделі виключаються фактори з найменшим значенням .

На основі лінійного рівняння множинної регресії

можуть бути знайдені приватні рівняння регресії:

т.е. рівняння регресії, які зв'язують результативна ознака з відповідним фактором при закріпленні інших факторів на середньому рівні. У розгорнутому виді систему (2.8) можна переписати у вигляді:

При підстановці в ці рівняння середніх значень відповідних факторів вони приймають вид парних рівнянь лінійної регресії, тобто маємо

де

На відміну від парної регресії приватні рівняння регресії характеризують ізольований вплив фактору на результат, тому що інші фактори закріплені на незмінному рівні. Ефекти впливу інших факторів приєднані в них до вільного члена рівняння множинної регресії. Це дозволяє на основі приватних рівнянь регресії визначати приватні коефіцієнти еластичності:

,

де – коефіцієнт регресії для факторув рівнянні множинної регресії,– частка рівняння регресії.

Поряд із приватними коефіцієнтами еластичності можуть бути знайдені середні по сукупності показники еластичності:

,

які показують на скільки відсотків у середньому зміниться результат, при зміні відповідного фактору на 1%. Середні показники еластичності можна порівнювати один з одним і відповідно ранжировать фактори по силі їхнього впливу на результат.

Системи економетричних рівнянь

При використанні окремих рівнянь регресії, наприклад для економічних розрахунків, у більшості випадків передбачається, що аргументи (фактори) можна змінювати незалежно друг від друга. Однак це припущення є дуже грубим: практично зміну один змінної, як правило, не може відбуватися при абсолютній незмінності інших. Її зміна спричинить зміни у всій системі взаємозалежних ознак. Отже, окремо взяте рівняння множинної регресії не може характеризувати щирі впливи окремих ознак на варіацію результуючої змінної. Саме тому в останні десятиліття в економічних дослідженнях важливе місце зайняла проблема опису структури зв'язків між змінними системою так званих одночасних рівнянь, називаних також структними рівняннями.

Система рівнянь в економетричних дослідженнях може бути побудована по-різному.

Можлива система незалежних рівнянь, коли кожна залежна змінна розглядається як функція того самого набору факторів:

Набір факторів у кожному рівнянні може варіювати. Кожне рівняння системи незалежних рівнянь може розглядатися самостійно. Для знаходження його параметрів використовується метод найменших квадратів. По суті, кожне рівняння цієї системи є рівнянням регресії. Тому що фактичні значення залежної змінної відрізняються від теоретичних на величину випадкової помилки, то в кожному рівнянні присутнє величина випадкової помилки.

Якщо залежна змінна одного рівняння виступає у вигляді факторув іншому рівнянні, то дослідник може будувати модель у виглядісистеми рекурсивних рівнянь:

У даній системі залежна змінна включає в кожне наступне рівняння як фактори всі залежні змінні попередніх рівнянь поряд з набором властиво факторів. Кожне рівняння цієї системи може розглядатися самостійно, і його параметри визначаються методом найменших квадратів (МНК).

Найбільше поширення в економетричних дослідженнях одержала система взаємозалежних рівнянь. У ній ті самі залежні змінні в одних рівняннях входять у ліву частину, а в інших рівняннях - у праву частину системи:

Система взаємозалежних рівнянь одержала назву системи спільних, одночасних рівнянь. Тим самим підкреслюється, що в системі ті самі змінні одночасно розглядаються як залежні в одних рівняннях і як незалежні в інші. В економетриці ця система рівнянь називається також структурною формою моделі. На відміну від попередніх систем кожне рівняння системи одночасних рівнянь не може розглядатися самостійно, і для знаходження його параметрів традиційний МНК не застосуємо. Із цією метою використовуються спеціальні прийоми оцінювання.

Структурна форма моделі в правій частині містить при ендогенних змінні коефіцієнти й екзогенні змінних – коефіцієнти, які називаютьсяструктурними коефіцієнтами моделі. Всі змінні в моделі виражені у відхиленнях від середнього рівня, тобто під мається на увазі, а під– відповідно. Тому вільний член у кожному рівнянні системи (3.3) відсутній.

Використання МНК для оцінювання структурних коефіцієнтів моделі дає, як прийнято вважати в теорії, зміщені й неспроможні оцінки. Тому звичайно для визначення структурних коефіцієнтів моделі структурна форма моделі перетвориться в наведену форму моделі.

Наведена форма моделі являє собою систему лінійних функцій ендогенних змінних від екзогенних:

де – коефіцієнти наведеної форми моделі,– залишкова величина для наведеної форми.

За своїм виглядом наведена форма моделі нічим не відрізняється від системи незалежних рівнянь, параметри якої оцінюються традиційним МНК. Застосовуючи МНК, можна оцінити , а потім оцінити значення ендогенних змінних через екзогенні.

Коефіцієнти наведеної форми моделі являють собою нелінійні функції коефіцієнтів структурної форми моделі. Розглянемо це положення на прикладі найпростішої структурної моделі, виразивши коефіцієнти наведеної форми моделі через коефіцієнти структурної моделі.

Для структурної моделі вигляду

наведена форма моделі має вигляд

З першого рівняння (3.5) можна виразити в такий спосіб (заради спрощення опускаємо випадкову величину):

.

Підставляючи в друге рівняння (3.5), маємо

,

звідки

.

Аналогічно із другим рівнянням системи (3.5), одержимо

,

тобто система (3.5) набирає вигляду

Таким чином, можна зробити висновок про те, що коефіцієнти наведеної форми моделі будуть виражатися через коефіцієнти структурної форми в такий спосіб:

Варто помітити, що наведена форма моделі хоча й дозволяє одержати значення ендогенної змінної через значення екзогенних змінних, але аналітично вона уступає структурній формі моделі, тому що в ній відсутні оцінки взаємозв'язку між ендогенними змінними.