3.2. Варіанти індивідуальних завдань

Множинна регресія й кореляція

По 20 підприємствам регіону вивчається залежність вироблення продукції на одного працівника (тис. руб.) від запровадження в дію нових основних фондів(% від вартості фондів на кінець року) і від питомої ваги робітників високої кваліфікації в загальній чисельності робітників(%) (дивися таблицю свого варіанта).

Потрібно:

1. Побудувати лінійну модель множинної регресії. Записати стандартизоване рівняння множинної регресії. На основі стандартизованих коефіцієнтів регресії й середніх коефіцієнтів еластичності ранжировати фактори по ступені їхнього впливу на результат.

2. Знайти коефіцієнти парної, частинної й множинної кореляції. Проаналізувати їх.

3. Знайти скоректований коефіцієнт множинної детермінації. Порівняти його з нескоректованим (загальним) коефіцієнтом детермінації.

4. За допомогою -критерію Фішера оцінити статистичну надійність рівняння регресії й коефіцієнта детермінації.

5. За допомогою часток -критеріїв Фішера оцінити доцільність включення в рівняння множинної регресії факторапісляй факторапісля.

6. Скласти рівняння лінійної парної регресії, залишивши лише один значущий фактор.

Варіант 1

Номер підприємства				Номер підприємства
1	6	3,6	9	11	9	6,3	21
2	6	3,6	12	12	11	6,4	22
3	6	3,9	14	13	11	7	24
4	7	4,1	17	14	12	7,5	25
5	7	3,9	18	15	12	7,9	28
6	7	4,5	19	16	13	8,2	30
7	8	5,3	19	17	13	8	30
8	8	5,3	19	18	13	8,6	31
9	9	5,6	20	19	14	9,5	33
10	10	6,8	21	20	14	9	36

Варіант 2

Номер підприємства				Номер підприємства
1	6	3,5	10	11	10	6,3	21
2	6	3,6	12	12	11	6,4	22
3	7	3,9	15	13	11	7	23
4	7	4,1	17	14	12	7,5	25
5	7	4,2	18	15	12	7,9	28
6	8	4,5	19	16	13	8,2	30
7	8	5,3	19	17	13	8,4	31
8	9	5,3	20	18	14	8,6	31
9	9	5,6	20	19	14	9,5	35
10	10	6	21	20	15	10	36

Варіант 3

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7	3,7	9	11	11	6,3	22
2	7	3,7	11	12	11	6,4	22
3	7	3,9	11	13	11	7,2	23
4	7	4,1	15	14	12	7,5	25
5	8	4,2	17	15	12	7,9	27
6	8	4,9	19	16	13	8,1	30
7	8	5,3	19	17	13	8,4	31
8	9	5,1	20	18	13	8,6	32
9	10	5,6	20	19	14	9,5	35
10	10	6,1	21	20	15	9,5	36

Варіант 4

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7	3,5	9	11	10	6,3	22
2	7	3,6	10	12	10	6,5	22
3	7	3,9	12	13	11	7,2	24
4	7	4,1	17	14	12	7,5	25
5	8	4,2	18	15	12	7,9	27
6	8	4,5	19	16	13	8,2	30
7	9	5,3	19	17	13	8,4	31
8	9	5,5	20	18	14	8,6	33
9	10	5,6	21	19	14	9,5	35
10	10	6,1	21	20	15	9,6	36

Варіант 5

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7	3,6	9	11	10	6,3	21
2	7	3,6	11	12	11	6,9	23
3	7	3,7	12	13	11	7,2	24
4	8	4,1	16	14	12	7,8	25
5	8	4,3	19	15	13	8,1	27
6	8	4,5	19	16	13	8,2	29
7	9	5,4	20	17	13	8,4	31
8	9	5,5	20	18	14	8,8	33
9	10	5,8	21	19	14	9,5	35
10	10	6,1	21	20	14	9,7	34

Варіант 6

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7	3,5	9	11	10	6,3	21
2	7	3,6	10	12	10	6,8	22
3	7	3,8	14	13	11	7,2	24
4	7	4,2	15	14	12	7,9	25
5	8	4,3	18	15	12	8,1	26
6	8	4,7	19	16	13	8,3	29
7	9	5,4	19	17	13	8,4	31
8	9	5,6	20	18	13	8,8	32
9	10	5,9	20	19	14	9,6	35
10	10	6,1	21	20	14	9,7	36

Варіант 7

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7	3,8	11	11	10	6,8	21
2	7	3,8	12	12	11	7,4	23
3	7	3,9	16	13	11	7,8	24
4	7	4,1	17	14	12	7,5	26
5	7	4,6	18	15	12	7,9	28
6	8	4,5	18	16	12	8,1	30
7	8	5,3	19	17	13	8,4	31
8	9	5,5	20	18	13	8,7	32
9	9	6,1	20	19	13	9,5	33
10	10	6,8	21	20	14	9,7	35

Варіант 8

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7	3,8	9	11	11	7,1	22
2	7	4,1	14	12	11	7,5	23
3	7	4,3	16	13	12	7,8	25
4	7	4,1	17	14	12	7,6	27
5	8	4,6	17	15	12	7,9	29
6	8	4,7	18	16	13	8,1	30
7	9	5,3	20	17	13	8,5	32
8	9	5,5	20	18	14	8,7	32
9	11	6,9	21	19	14	9,6	33
10	10	6,8	21	20	15	9,8	36

Варіант 9

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7	3,9	12	11	11	7,1	22
2	7	4,2	13	12	12	7,5	25
3	7	4,3	15	13	13	7,8	26
4	7	4,4	17	14	12	7,9	27
5	8	4,6	18	15	13	8,1	30
6	8	4,8	19	16	13	8,4	31
7	9	5,3	19	17	13	8,6	32
8	9	5,7	20	18	14	8,8	32
9	10	6,9	21	19	14	9,6	34
10	10	6,8	21	20	14	9,9	36

Варіант 10

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7	3,6	12	11	10	7,2	23
2	7	4,1	14	12	11	7,6	25
3	7	4,3	16	13	12	7,8	26
4	7	4,4	17	14	11	7,9	28
5	7	4,5	18	15	12	8,2	30
6	8	4,8	19	16	12	8,4	31
7	8	5,3	20	17	12	8,6	32
8	8	5,6	20	18	13	8,8	32
9	9	6,7	21	19	13	9,2	33
10	10	6,9	22	20	14	9,6	34

Системи економетричних рівнянь

Дано системи економетричних рівнянь.

Потрібно

1. Застосувавши необхідну й достатню умову ідентифікації, визначити, чи можливо ідентифікувати кожне з рівнянь моделі.

2. Визначити метод оцінки параметрів моделі.

3. Запишіть у загальному виді наведену форму моделі.

Варіант 11

Модель протекціонізму Сальватора (спрощена версія):

де – частка імпорту у ВВП;– загальне число прохань про звільнення від мит;– число вдоволених прохань про звільнення від мит;– фіктивна змінна, рівна 1 для того років, у які курс долара на міжнародних валютних ринках був штучно завищений, і 0 – для всього іншого років;– реальний ВВП;– реальний обсяг чистого експорту;– поточний період;– попередній період.

Варіант 12

Макроекономічна модель (спрощена версія моделі Клейна):

де – споживання;– інвестиції;– дохід;– податки;– запас капіталу;– поточний період;– попередній період.

Варіант 13

Макроекономічна модель економіки США (одна з версій):

де – споживання;– ВВП;– інвестиції;– процентна ставка;– грошова маса;– державні витрати;– поточний період;– попередній період.

Варіант 14

Модель Кейнса (одна з версій):

де – споживання;– ВВП;– валові інвестиції;– державні витрати;– поточний період;– попередній період.

Варіант 15

Модель грошового й товарного ринків:

де – процентні ставки;– реальний ВВП;– грошова маса;– внутрішні інвестиції;– реальні державні витрати.

Варіант 16

Модифікована модель Кейнса:

де – споживання;– дохід;– інвестиції;– державні витрати;– поточний період;– попередній період.

Варіант 17

Макроекономічна модель:

де – витрати на споживання;– чистий національний продукт;– чистий національний доход;– інвестиції;– непрямі податки;– державні витрати;– поточний період;– попередній період.

Варіант 18

Гіпотетична модель економіки:

де – сукупне споживання в період;– сукупний дохід у період;– інвестиції в період;– податки в період;– державні доходи в період.

Варіант 19

Модель грошового ринку:

де – процентні ставки;– ВВП;– грошова маса;– внутрішні інвестиції.

Варіант 20

Кон'юнктурна модель має вигляд:

де – витрати на споживання;– ВВП;– інвестиції;– процентна ставка;– грошова маса;– державні витрати;– поточний період;– попередній період.

4. Система оцінювання

Підсумкова оцінка з дисципліни виставляється як сумарна за контрольну роботу, усне опитування.

Таким чином студент може отримати максимально 100 балів.

50 балів – контрольна робота, 50 балів – усне опитування. Студенти, які не отримали за контрольну роботу мінімальної кількості балів (30 балів), повинні виконати інший варіант контрольної роботи, який надається викладачем, або виправити помилки попереднього та отримати відповідну кількість балів.

ДОДАТОК

ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКІВ

ТИПОВОЇ ЗАДАЧІ

Множинна регресія й кореляція

Приклад 1. По підприємствах регіону вивчається залежність вироблення продукції на один працівника(тис. руб.) від запровадження в дію нових основних фондів(від вартості фондів на кінець року) і від питомої ваги робітників високої кваліфікації в загальній чисельності робітників().

Номер підприємства				Номер підприємства
1	7,0	3,9	10,0	11	9,0	6,0	21,0
2	7,0	3,9	14,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	16,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	3,8	17,0	15	12,0	8,0	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	5,3	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	20,0	20	14,0	9,0	36,0

Потрібно:

1. Побудувати лінійну модель множинної регресії. Записати стандартизоване рівняння множинної регресії. На основі стандартизованих коефіцієнтів регресії й середніх коефіцієнтів еластичності ранжировать фактори по ступені їхнього впливу на результат.

2. Знайти коефіцієнти парної, приватної й множинної кореляції. Проаналізувати їх.

3. Знайти скоректований коефіцієнт множинної детермінації. Зрівняти його з нескоректованим (загальним) коефіцієнтом детермінації.

4. За допомогою -критерію Фішера оцінити статистичну надійність рівняння регресії й коефіцієнта детермінації.

5. За допомогою часток -критеріїв Фішера оцінити доцільність включення в рівняння множинної регресії факторапісляй факторапісля.

6. Скласти рівняння лінійної парної регресії, залишивши лише один значущий фактор.

Рішення

Для зручності проведення розрахунків помістимо результати проміжних розрахунків у таблицю:

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7,0	3,9	10,0	27,3	70,0	39,0	15,21	100,0	49,0
2	7,0	3,9	14,0	27,3	98,0	54,6	15,21	196,0	49,0
3	7,0	3,7	15,0	25,9	105,0	55,5	13,69	225,0	49,0
4	7,0	4,0	16,0	28,0	112,0	64,0	16,0	256,0	49,0
5	7,0	3,8	17,0	26,6	119,0	64,6	14,44	289,0	49,0
6	7,0	4,8	19,0	33,6	133,0	91,2	23,04	361,0	49,0
7	8,0	5,4	19,0	43,2	152,0	102,6	29,16	361,0	64,0
8	8,0	4,4	20,0	35,2	160,0	88,0	19,36	400,0	64,0
9	8,0	5,3	20,0	42,4	160,0	106,0	28,09	400,0	64,0
10	10,0	6,8	20,0	68,0	200,0	136,0	46,24	400,0	100,0
11	9,0	6,0	21,0	54,0	189,0	126,0	36,0	441,0	81,0
12	11,0	6,4	22,0	70,4	242,0	140,8	40,96	484,0	121,0
13	9,0	6,8	22,0	61,2	198,0	149,6	46,24	484,0	81,0
14	11,0	7,2	25,0	79,2	275,0	180,0	51,84	625,0	121,0
15	12,0	8,0	28,0	96,0	336,0	224,0	64,0	784,0	144,0
16	12,0	8,2	29,0	98,4	348,0	237,8	67,24	841,0	144,0
17	12,0	8,1	30,0	97,2	360,0	243,0	65,61	900,0	144,0
18	12,0	8,5	31,0	102,0	372,0	263,5	72,25	961,0	144,0
19	14,0	9,6	32,0	134,4	448,0	307,2	92,16	1024,0	196,0
20	14,0	9,0	36,0	126,0	504,0	324,0	81,0	1296,0	196,0
Сума	192	123,8	446	1276,3	4581	2997,4	837,74	10828,0	1958,0
Порівн. знач.	9,6	6,19	22,3	63,815	229,05	149,87	41,887	541,4	97,9

Знайдемо середні квадратичні відхилення ознак:

;

;

.

1. Обчислення параметрів лінійного рівняння множинної регресії.

Для знаходження параметрів лінійного рівняння множинної регресії

необхідно вирішити наступну систему лінійних рівнянь щодо невідомих параметрів ,,:

або скористатися готовими формулами:

;;

.

Розрахуємо спочатку парні коефіцієнти кореляції:

;

;

.

Знаходимо

;

;

.

Таким чином, одержали наступне рівняння множинної регресії:

.

Розрахунок коефіцієнтів й. Стандартизоване рівняння регресіїперебувають по формулах:

;

.

Тобто рівняння буде мати такий вигляд:

.

Тому що стандартизовані коефіцієнти регресії можна порівнювати між собою, то можна сказати, що запровадження в дію нових основних фондів впливає на вироблення продукції, чим питома вага робітників високої кваліфікації.

Порівнювати вплив факторів на результат можна також за допомогою середніх коефіцієнтів еластичності:

.

Обчислюємо:

;.

Т.е. збільшення тільки основних фондів (від свого середнього значення) або тільки питомої ваги робітників високої кваліфікації на 1% збільшує в середньому вироблення продукції на 0,61% або 0,20% відповідно. Таким чином, підтверджується більший вплив на результат фактора, чим фактора.

2. Коефіцієнти парної кореляції ми вже знайшли:

;;.

Вони вказують на досить сильний зв'язок кожного фактора з результатом, а також високу межфакторну залежність (фактори іявно колінеарні, тому що). При такий сильної міжфакторної залежності рекомендується один з факторів виключити з розгляду.

Частні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між результатом і відповідним фактором при елимінірованні (усуненні впливу) інших факторів, включених у рівняння регресії.

При двох факторах частні коефіцієнти кореляції розраховуються в такий спосіб:

;

Якщо зрівняти коефіцієнти парної й приватної кореляції, то можна побачити, що через високий міжфакторної залежності коефіцієнти парної кореляції дають завищені оцінки тісноти зв'язку. Саме із цієї причини рекомендується при наявності сильної колінеарністі (взаємозв'язку) факторів виключати з дослідження той фактор, у якого тіснота парної залежності менше, ніж тіснота межфакторного зв'язку.

Коефіцієнт множинної кореляції визначити через матрицю парних коефіцієнтів кореляції:

,

де

- визначник матриці парних коефіцієнтів кореляції;

- визначник матриці межфакторної кореляції.

;

.

Коефіцієнт множинної кореляції

.

Аналогічний результат одержимо при використанні інших формул:

;

;

.

Коефіцієнт множинної кореляції вказує на досить сильний зв'язок усього набору факторів з результатом.

2. Нескоректований коефіцієнт множинної детермінації оцінює частку варіації результату за рахунок представлених у рівнянні факторів у загальній варіації результату. Тут ця частка становитьі вказує на досить високий ступінь обумовленості варіації результату варіацією факторів, іншими словами – на досить тісний зв'язок факторів з результатом.

Скоректований коефіцієнт множинної детермінації

визначає тісноту зв'язку з урахуванням ступенів волі загальної й залишкової дисперсій. Він дає таку оцінку тісноти зв'язку, що не залежить від числа факторів і тому може рівнятися по різних моделях з різним числом факторів. Обидва коефіцієнти вказують на досить високу (більше ) детермінованість результатув моделі факторамий.

2. Оцінку надійності рівняння регресії в цілому й показника тісноти зв'язку дає-критерій Фішера:

.

У нашім випадку фактичне значення -критерію Фішера:

.

Одержали, що (при), тобто ймовірність випадково одержати таке значення-критерію не перевищує припустимий рівень значимості. Отже, отримане значення не випадкове, воно сформувалося під впливом істотних факторів, тобто підтверджується статистична значимість усього рівняння й показника тісноти зв'язку.

2. За допомогою часток -критеріїв Фішера оцінимо доцільність включення в рівняння множинної регресії факторапісляй факторапісляза допомогою формул:

;

.

Знайдемо й.

;

.

Маємо

;

.

Одержали, що . Отже, включення в модель факторапісля того, як у модель включений факторстатистично недоцільно: приріст факторної дисперсії за рахунок додаткової ознакивиявляється незначним, несуттєвим; факторавключати в рівняння після факторане треба.

Якщо поміняти первісний порядок включення факторів у модель і розглянути варіант включення після, то результат розрахунку частки-критерію длябуде іншим., тобто ймовірність його випадкового формування менше прийнятого стандарту. Отже, значення частки-критерію для додатково включеного факторане випадково, є статистично значимим, надійним, достовірним: приріст факторної дисперсії за рахунок додаткового факторає істотним. Факторповинен бути присутнім у рівнянні, у тому числі у варіанті, коли він додатково включається після фактора.

2. Загальний висновок полягає в тому, що множинна модель із факторами йзмістить неінформативного фактора. Якщо виключити фактор, то можна обмежитися рівнянням парної регресії:

,.

Системи эконометричних рівнянь

Розглянемо приклад 2. Вивчається модель виду

де –витрати на споживання в період ,–сукупний дохід у період ,–інвестиції в період ,–процентна ставка в період ,–грошова маса в період ,–державні витрати в період ,–витрати на споживання в період ,інвестиції в період .Перше рівняння - функція споживання, друге рівняння - функція інвестицій, третє рівняння - функція грошового ринку, четверте рівняння - тотожність доходу.

Модель являє собою систему одночасних рівнянь. Перевіримо кожне її рівняння на ідентифікацію.

Модель включає чотири ендогенні змінні й чотири визначені змінні (дві екзогенні змінні – і й дві лагові змінні – і ).

Перевіримо необхідну умову ідентифікації для кожного з рівнянь моделі.

Перше рівняння: .Це рівняння містить дві ендогенні змінні й і одну визначену змінну .Таким чином, , а,тобто виконується умова .Рівняння сверхідентифіцируємо.

Друге рівняння: .Воно включає дві ендогенні змінні й і одну екзогенну змінну .Виконується умова .

Третє рівняння: .Воно включає дві ендогенні змінні й і одну екзогенну змінну .Виконується умова .Рівняння сверхідентифіцируємо.

Четверте рівняння: .Воно являє собою тотожність, параметри якого відомі. Необхідності в ідентифікації немає.

Перевіримо для кожного рівняння достатня умова ідентифікації. Для цього складемо матрицю коефіцієнтів при змінні моделі.

I рівняння	–1	0	0			0	0	0
II рівняння	0	–1		0	0		0	0
III рівняння	0	0	–1		0	0		0
Тотожність	1	1	0	–1	0	0	0	1

Відповідно до достатньої умови ідентифікації ранг матриці коефіцієнтів при змінних, що не входять у досліджуване рівняння, повинен бути дорівнює числу ендогенних змінні моделі без одного.

Перше рівняння. Матриця коефіцієнтів при змінних, що не входять у рівняння, має вигляд

II рівняння	–1			0	0
III рівняння	0	–1	0		0
Тотожність	1	0	0	0	1

Ранг даної матриці дорівнює трьом, тому що визначник квадратної подматриці не дорівнює нулю:

.

Достатня умова ідентифікації для даного рівняння виконується.

Друге рівняння. Матриця коефіцієнтів при змінних, що не входять у рівняння, має вигляд

I рівняння	–1			0	0
III рівняння	0		0		0
Тотожність	1	–1	0	0	1

Ранг даної матриці дорівнює трьом, тому що визначник квадратної подматриці не дорівнює нулю:

.

Достатня умова ідентифікації для даного рівняння виконується.

Третє рівняння. Матриця коефіцієнтів при змінних, що не входять у рівняння, має вигляд

I рівняння	–1	0		0	0
II рівняння	0	–1	0		0
Тотожність	1	1	0	0	1

Ранг даної матриці дорівнює трьом, тому що визначник квадратної подматриці не дорівнює нулю:

.

Достатня умова ідентифікації для даного рівняння виконується.

Таким чином, всі рівняння моделі сверхідентифіцируєми. Наведена форма моделі в загальному виді буде виглядати в такий спосіб:

44