31. Внецентрическое сжатие коротких стержней. Нормальные напряжения. Условия прочности.

Нормальные напряжения в поперечном сечении от действия силы Р смещенной относительно центра тяжести в точку А с координатами Х_P и Y_P (рис. 7.2, а.б) , определяются по формуле:

Р - равнодействующая внешних или внутренних сил;

F - площадь поперечного сечения;

Х_P, Y_P - координаты точки приложения силы Р.

х, у - текущие координаты точки, в которой определяется напряжение ;

i_x, i_y - главные радиусы инерции поперечного сечения.

Рис. 7.2

Квадраты главных радиусов инерции определяются по формулам:

моменты инерции поперечного сечения. Уравнение нулевой линии.

Так как Р # 0, то из этого выражения следует

Нулевая линия - прямая (Рис. 7.2, а). Точки пересечения нулевой линии с осями координат определяются выражениями:

Центром давления называют точку пересечения равнодействующей внешних или внутренних сил с плоскостью поперечного сечения.

(На рис. 7.2, а центр давления - точка А.)

При проектировании сооружений и различного рода опор из бетона, кирпичной кладки, чугуна и других материалов, плохо работающих на растяжение, основное требование - отсутствие растягивающих напряжений. Решение задачи опирается на свойство ядра сечения.

Ядром сечения называют часть плоскости поперечного сечения, расположенную в окрестности центра тяжести удовлетворяющую условию: если центр давления располагается внутри или на границе ядра сечения, то в любой точке поперечного сечения с текущими координатами (х, у) возникают напряжения одного знака.

Чтобы в поперечном сечении возникали напряжения одного знака, нулевая линия должна располагаться либо вне поперечного сечения, либо быть касательной к поперечному сечению, что используется при определении границ ядра сечения.

Условия прочности при внецентренном растяжении-сжатии:

, .

32.Внецентренное сжатие коротких стержней. Определение положения нейтральной линии. Понятие о ядре сечения.

Нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) – это прямая, не проходящая через центр тяжести сечения. Строить эту прямую удобно с помощью отрезков a0 и b0, отсекаемых на осях координат (рис. 5.2.3.)

Формулы для расчета этих отрезков имеют вид:

 (5.2.3) 

В этих формулах величины ey и ez , как уже отмечалось, являются координатами точки приложения силы F, т.е. берутся со своими знаками.

Область вокруг центра тяжести, внутри которой приложение силы вызывает во всех точках сечения напряжения одного знака, называется ядром сечения. Для определения ядра сечения необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура и вычислить координаты точек приложения силы ey и ez, используя формулы (5.2.3).

33.Расчет сжатых стержней на устойчивость . Определение критической силы. Формула л.Эйлера.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ ПО ФОРМУЛЕ ЭЙЛЕРА

Для шарнирно закрепленного, центрально-сжатого стержня постоянного сечения (рис.8.2). I Формула Эйлера имеет вид:

где Е - модуль продольной упругости материала стержня;

J_min - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.

Для стержней с другими видами закрепления формулу Эйлера записывают в виде:

где - приведенная длина стержня;

- коэффициент приведения длины.

Выражение "приведенная длина" означает, что в формуле Эйлера с помощью коэффициента все случаи закрепления концов стержня можно привести к основному, шарнирному закреплению.

Коэффициент приведения длины иногда можно оценить по числу полуволн n, по которым выпучится стержень, теряя устойчивость, а именно, можно принять

На рис. 8.2 показаны наиболее часто встречающиеся на практике случаи закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента 

Рис. 8.2

Формула Эйлера применима только о пределах выполнения закона Гука, когда критическое напряжение не превышает предел пропорциональности материала стержня, так как эта формула была введена с помощью зависимости

в свое время полученной на основании закона Гука.

Применимость формулы Эйлера можно определить, оценив гибкость стержня и сравнив эту гибкость с ее предельным значением. Гибкость стержня равна

где

- минимальный радиус инерции (геометрическая характеристика сечения);

- минимальный момент инерции площади сечения стержня.

Значение предельной гибкости получается из условия

Предельная гибкость равна

Так, для малоуглеродистой стали, если принять Е = 2x10⁵ МПа,

Для повышения несущей способности конструкций в них стремятся использовать стержни возможно меньшей гибкости. Так что расчет реальных конструкций с гибкостью практически маловероятен. Будем считать

верхней границей значений гибкости реальных стержней.

Следовательно, формула Эйлера для определения критического значения сжимающей силы в виде

применима в случае, если гибкость стержня находится в пределах

(кривая СД на рис. 8.3)

Рис. 8.3

Для малоуглеродистой стали этот диапазон равен