- •Міністерство освіти і науки україни одеський національний політехнічний університет методичні вказівки
- •Невизначений інтеграл і методи його обчислення
- •Первісна і невизначений інтеграл
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •Таблиця основних невизначених інтегралів (тоні)
- •3. Найпростіші правила інтегрування
- •4. Інтегрування раціональних функцій
- •Розкладання правильних раціональних функцій на найпростіші
- •Інтеграли, які містять квадратний трьохчлен
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •Інтегрування тригонометричних функцій
- •Різні приклади
Міністерство освіти і науки україни одеський національний політехнічний університет методичні вказівки
ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ
ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»
Невизначений інтеграл і методи його обчислення
Одеса ОНПУ 2009
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Затверджено
на засіданні кафедри ІММЗІС
протокол № 3 від 20 жовтня 2009 р.
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»
для студентів спеціальностей 6.040302 — Інформатика, 6.040301 — Прикладна математика
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ І МЕТОДИ ЙОГО ОБЧИСЛЕННЯ
Одеса ОНПУ 2009
Методичні вказівки до практичних занять за курсом «Математичний аналіз» для студентів спеціальностей 6.040302 — Інформатика, 6.040301 — Прикладна математика. Невизначений інтеграл і методи його обчислення / Укл. А.А. Кобозєва. — Одеса: ОНПУ, 2009. — 85 с.
Укладач: А.А. Кобозєва,
д.т.н.,доцент
Первісна і невизначений інтеграл
У багатьох питаннях науки й техніки виникає необхідність відновлювати функцію по її відомій похідній.
Будемо говорити, що функція в інтервалі називається первісною функцією для функції , якщо
. (1.1)
Нехай — первісна для , тоді будь-яка , де , також буде первісною для . Дійсно,
.
Таким чином, якщо функція має первісну, то вона має безліч первісних, до того ж всі ці первісні відрізняються лише на сталу.
Основна теорема інтегрального числення. Нехай функція визначена і неперервна на . Тоді має первісну на цьому інтервалі.
Скрізь далі довільну сталу будемо позначати .
Множина усіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом для і позначається :
,
де — одна з первісних функції , .
Властивості невизначеного інтеграла
Нехай функції , , визначені на , а , , — їх відповідні первісні на . Через будемо позначати диференціали відповідних функцій. Тоді
;
;
, де ;
.
Таблиця основних невизначених інтегралів (тоні)
; 2. ;
, де ; 4. ;
; 6. ;
; 8. ;
9.; 10.;
; 12., ;
; 14., ;
;
, — довгий логарифм;
;
—високий логарифм.
При обчисленні невизначеного інтеграла легко перевіряється правильність отриманого результата за допомогою формули (1.1): похідна від знайденої первісної повинна співпадати з поданою функцією .
Перевіремо, наприклад, правильність формули 18 в ТОНІ. Для цього знайдемо похідну від правої частини і порівняємо її з підінтегральною функцією :
.
При користуванні ТОНІ треба бути уважними при використанні формул 12, 14, 16, 18, де присутній параметр . Наприклад, інтеграл має вигляд 12 в ТОНІ, а стала 3 розглядається як , тому , а
.