Екстраполяційний метод Адамса

При вирішенні диференційного рівняння методом Рунге-Кутта необхідно проводити багато обчислень для визначання кожного у_і. В тому випадку, коли права частина рівняння має складний аналітичний вираз, вирішення цього рівняння може бути обмежене обчислювальними можливостями ЕОМ, особливо попередніх поколінь. Досить часто на практиці можливе застосування метода Адамса, який не потребує багаторазових підрахунків правої частини рівняння.

Нехай дано диференційне рівняння

(1)

з початковою умовою

. (2)

Потрібно знайти чисельне рішення цього рівняння на відрізку [a, b].

Розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин точками , деh=(b-a)/n i знайдемо наближені значення рішення диференційного рівняння (1) в точках. Прийдемо до відрізку () і необхідності знаходженняу_і+1. Для цього проінтегруємо диференційне рівняння (1) на данному відрізку . Отримаємо

y_і+1=y_і+,

або

(3)

Для знаходження похідної скористаємося другою інтерполяційною формулою Ньютона (обмежимося при цьому різницями третього порядка)

(4)

де q=, або

(4`)

Підставляючи вираз для з формули (4`) в співвідношення (3) та враховуючи, що dx=hdq, маємо

(5)

Позначатимемо в подальшому , (і=0, 1, 2, ..., n).

Тоді для будь-якої різниці маємо ^mp_i=^m() і

(6)

За формулою y_і+1=y_і+y_і отримуємо рішення рівняння в і+1 точці сітки, на яку розбивається відрізок [a, b]. Формула (6) має назву екстраполяційної формули Адамса.

Для початку процесу інтегрування нам потрібні чотири початкових значення y₀, y₁, y₂, y₃ – так званий початковий відрізок, який може бути знайдено, виходячи з початкової умови (2) з використанням одного з відомих методів. За звичай початвовий відрізок рішення знаходиться з застосування метода Рунге-Кутта.

Знаючи y₀, y₁, y₂, y₃, ми можемо визначити

(7)

В подальшому процес обчислень можна організувати наступним чином. Будемо накопичувати відповідні значення в табл. 1, стовпці якої є необхідні складові для даного алгоритму обчислень

Таблиця 1

i	xi	yi	yi	=f(xi, yi)		pi	^2pi	^3pi
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)
0	x0	y0		f(x0, y0)	p0	p0	^2p0	^3p0
1	x1	y1		f(x1, y1)	p1	p1	^2p1
2	x2	y2		f(x2, y2)	p2	p2
3	x3	y3	y3	f(x3, y3)	p3
4	x4	y4
5	x5
6	x6

Метод Адамса полягає в продовжені діагональної таблиці різниць за допомогою формули (6). Використовуючи числа p₃, p₂, ²p₁, ³p₀, які розташовуються в даній таблиці по діагоналі, згідно з формулою (6), поклавши в ній n=3, отримуємо

.

Отримане значення у₃ заноситься в таблицю і знаходиться у₄= у₃+у₃. Після цього, використовуючи х₄ та розраховане значення у₄, обчислюється f(x₄, y₄), p₄, p₃, ²p₂, ³p₁, тобто отримується нова діагональ в табл. 1. За цими даними знаходять

; у₅= у₄+у₄.

Таким чином і в подальшому продовжується процес обчислень з заповненням на кожному кроці відповідної її діагоналі, для чого обчислюється права частина рівняння (1) на кожному етапі тільки один раз.