itmo295

93

																		−	1					−	1
																		− e	6ζ				2 − e			6ζ
			π					π					π		1		1
i	2				= − i					+i	3	= −
																					1			1
			3			1		3					3		3				−				−
																		1− e			6ζ		+ e	3ζ

i1 23 π = i3 (0) i1 (π)= i3 π3

Теперь, зная начальные условия, в соответствии с решениями уравнений (2.54), а также с учетом того, что i2 = −(i1 +i3 ) , можно вычислить

токи i1 ,i2 ,i3 для любого момента времени (любого сетевого угла

ϑ = ωt = 2πft ).

Определим теперь средний ток фазы за полупериод T2 (ϑ = π ).

		2	T 6	T 3	T 2
i1	=		∫i1dt +	∫i1dt +	∫i1dt
		T		T 6	T 3
			0

В соответствии с равенством (2.53) для токов i1 в пределах

интервалов π3 ≤ϑ1 ≤ 23 π , 23 π ≤ϑ1 ≤ π или то же самое для T6 ≤ t ≤ T3 и T3 ≤ t ≤ T2 имеем

T

i1 = 2 ∫6 (i1 −i2 +i3 )dt ,

T 0

но −i2 = i1 +i3 , поэтому

		T
	4	6
i =	T	∫0		+i		)dt
			(i		3
1		1

Сложим оба дифференциальных уравнения относительно токов i1 и

i3 :

Te	d(i1 +i3 )	+ (i +i	3	) =	2
	dt	1		3

Интегрируя почленно, получаем

			T																i1 (π 3 )+i3 (π 3 )
4		0						4		2		T													4									T				T
			∫		(i	+i	) =						−Te(i		+i			)					=						− 4ς				i				+i				−i (0)	−i	(0)
	T				1	3		T		3 6				1		3							9										1	6			3	6			1	3
		0
																			i	(0)		+i (0)
																			1		3
Подставив значение граничных токов и (2.58), (2.59), получим
																								−	1
													i1	=	4		−		3ς			1−e			3ζ																(2.60)
																1
															9								1							1
																						−							−
																					1−e		6ζ + e							3ζ

94

Действующий ток фазы вычисляется как

T

(i

)

=

2

2 i2 dt

(2.61)

1

e

1

T ∫0

T 2

T 6

T

3

T 2

∫i12 dt =

∫i12 dt + ∫i12 dt + ∫i12 dt ,

0

0

T 6

T 3

или, учитывая равенства (2.53),

T 6

T 2

(2.62)

∫i12 dt =

∫(i12

+i22 +i32 )dt

0

0

Умножая дифференциальные уравнения для токов

i1 ,i3

соответственно

на i1 и i3 , а также учитывая, что

i1 +i3 = −i2 , придем к

системе дифференциальных уравнений относительно квадратов токов:

1

Te

di2

+i12

=

1

i1

,

1

2

dt

3

1

Te

di32

+i32 =

1

i3 ,

2

dt

3

1

Te

di2

+i2

= −

2

i

2

2

dt

3

2

2

Интегрируя почленно, получаем

T6

∫i12 dt

0

T6

∫i22 dt

0

	1 T 6						Te					2	T									2
=				i dt		−				i								−i					(0)
	3		∫ 1				2				1			6							1
			0
								T		6	2								1 T		6						Te
								∫i3 dt =												∫i3dt						−
																		3									2
								0												0
			2 T 6						Te					2		T								2
= −					i	dt −						i									−i				(0)
			3 ∫0
					2					2				2				6						2

	2	T			2		(2.61)
	i3				−i3	(0)
			6

T 6	T 6
Учитывая, что − ∫i2 dt = ∫(i1 +i3 )dt ,		а	последний интеграл уже был
0	0
найден при определении среднего тока		i1	, можем найти действительное

значение тока (i1 )e после сложения всех трех выражений (2.61). При

сложении принимаем во внимание равенства ( 2.57 ) и тогда обнаружим, что

i2	T		−i2	(0)	+i2	T		−i2	(0)	+i2	T		−i2	(0) = 0
1	6		1		3	6		3		2	6		2

В результате на основании (2.61) и (2.62) приходим к выражению действующего тока фазы

−

1

(i1 )

=

2

1 −3ς

1 −e

3ζ

1

(2.62)

e

3

−

1

−

1

−e

6ζ

+ e

3ζ

95

Найдем среднее значение тока, потребляемого от источника питания. В соответствии с рис. 2.26 б) для первого интервала id = −i2 = i2 , поэтому

средний ток источника будет равен:

6

T 6

6

T

6

T

∫0

T

∫0

i

d

=

−i

dt =

(i

+i

3

)dt

2

1

T 6

Интервал ∫(i1 +i3 )dt был найден нами при вычислении среднего тока

0

фазы. Учитывая этот предыдущий результат и усредняя его за интервал T6 ,

придем к выражению

−

1

id

=

2

−3ς

1−e

3ζ

(2.63)

1

3

1

1

−

−

1−e

6ζ + e

3ζ

Определим теперь средний ток диода VD и средний ток транзистора V . На рис. 2.27 б) угол γ называется углом коммутации. Это сетевой угол, на котором ток переключаемой фазы (в данном случае это фаза 1) спадает до нуля. Соответственно время коммутации tk определяется из

соотношения γ = 2πftk .

На рис. 2.27 б) ток I1 в интервале 0 ≤ϑ ≤ γ проходит через обратный диод VD1, а в интервале γ ≤ϑ ≤π через транзистор V1 (рис. 2.26 а)

Время tk и угол коммутации γ можно определить из первого решения (2.54) для ток i1 , положив i1 = 0 : В этом случае время коммутации

tk и угол коммутации γ

определяются в виде

−

1

tk

= Te ln

2 − e

6ζ

−

1

−

1

1 − e

6ζ + e

3ζ

1

−

γ = 2πς ln

2 −e

6ζ

(2.64)

−

1

−

1

T

1 −e

6ζ

+ e

3ζ

Средний за полупериод

ток через обратный диод будет равен

2

(имеем в виду абсолютное значение, поскольку i1 < 0 )

i

= −

2 tk

i dt

VD

T

∫0

1

Интегрируя почленно первое уравнение (2.54), получим

t

1

1

∫k

idt =

tk

−Te (i1 (tk ) −i1 (0))=

tk +Tei1 (0)

3

0

3

Подставив сюда i1 (0) из (2.58) и tk

из (2.64), будем иметь

96

−

1

−

1

iVD

2

1−e

3ζ

2

−e

6ζ

(2.65)

=

ς

−ln

3

−

1

−

1

−

1

−

1

+ e

6ζ

3ζ

6ζ

3ζ

1−e

+ e

1−e

Определим теперь средний ток транзистора

iV .

iV = T2

T 6

T 3

T 2

∫i1dt + ∫i1dt +

∫i1dt

tk

T 6

T 3

Проделав необходимые вычисления, можно показать, что средний ток транзистора

iV = i1 − iVD

(2.66)

где i1	– средний ток фазы по (2.60),
iVD	– средний ток диода по (2.65)

Аналогичным методом могут быть найдены действующие токи через диод и транзистор. Значения этих выражений мы не приводим. Заметим, что максимальное значение тока через диод и транзистор в соответствии с рис. 2.27 б) будут

(iVD )max = i1 (0) , (ix )= i3 (0) ,

где i1 (0) и i3 (0) из формул (2.58).

Коэффициент мощности рассматриваемого инвертора определяется

как

χ = PS

P =Ud Id =Ud Iδ id – активная мощность, поступающая в нагрузку

S = 3(Uф )e (Iф )e – полная мощность нагрузки

Действующие значения фазного напряжения и тока будут

(Uф )e =Ud (U1 )e ; (Iф )e = Iδ (i1 )e

Эффективное значение фазного напряжения ступенчатой формы (рис. 2.27 а) равно

(U

)

= 2 U

d

ф e

3

Подставив

(U ) ,(I

)= I

(i )

в формулу χ , имеем χ =

2

id

.

2

ф e ф

δ

1 e

(i1 )e

Воспользовавшись формулами (2.62) и (2.63) окончательно получим

−

1

χ =

1 −3ς

1 − e

3ζ

1

(2.67)

−

1

−

1 − e

6ζ + e

3ζ

97

2.2.6 Трехфазный инвертор со 120°-й коммутацией

При 120°-й коммутации каждый транзистор инвертора, изображенного на рис. 2.28 а) находится во включенном состоянии на

	протяжении	2	π	сетевого узла (	1		периода). Диаграмма включения
		3			3

соответствующих транзисторов представлена на рис. 2.28 б). Как и в предыдущем случае, переключения в схеме осуществляется через каждые

π3 радиан ( 16 периода). И таким образом, в течении периода 2π сетевого

угла или T временного периода инвертора эквивалентные схемы включения фаз нагрузки имеют 6 вариантов включения, из которых на рис. 2.28 в) изображены только 3 (остальные 3 являются зеркальным отображением первых). Эти три состояния соответствуют половине

периода инвертора π T2 .

98

Рис. 2.28

Особенность данного способа коммутации нагрузки состоит в том, что на каждом межкоммутационном интервале ϑk = π3 имеются два

участка: коммутационный ( 0 ≤ϑ ≤ γ ) и внекоммутационный (γ ≤ϑ ≤ π3 ).

2.2.6 a) Исследование установившегося режима колебаний

Рассмотрим первый межкоммутационный период, когда отключается транзистор V 3 и фаза 3 и включается транзистор V1, и подключается фаза 1. Транзистор V 2′ продолжает оставаться включенным. Ток отключенной фазы 3 i3 замыкается по контуру: «фаза 3 – фаза 2 –

транзистор V 2′ – диод VD3′ – фаза 3» и спадает до нулевого значения. Эквивалентная схема этого участка, называемого коммутационным показана на левом рисунке для межкоммутационного периода 1рис. 2.28 в). Коммутационный участок соответствует сетевому углу ϑ и времени t , отвечающим соотношениям вида 0 ≤ϑ ≤ γ ( 0 ≤ t ≤ tk ). После спада тока i3 до

нуля фаза 3 оказывается обесточенной, и к источнику питания U d подключены последовательно соединенные фазы нагрузки 1 и 2. Этот

участок в пределах γ ≤ϑ ≤ π3 (tk ≤ t ≤ T6 ) называется внекоммутациооным.

Рассмотрим, как распределяется падение напряжений на фазах от источника U d . Необходимые разъяснения по этому поводу были сделаны в

параграфе 2.2.5 а) при исследовании инвертора 180°-й коммутации.

99

В нашем случае, переходя от интеграла к интегралу (рис. 2.28 в), имеем:

для 1-го интервала

	при 0 ≤ϑ ≤ γ				U1				=	2	U d	; U 2					=U3 = −						1	U d
																							3
		γ ≤ϑ ≤ π							3				1
	при					U1			= −U 2			=			U d
				3								2
				для 2-го интервала:													1
	при		π	≤ϑ ≤ π	+ γ : U1 =U 2 =													U d ;U3					= −		2	U d
		3															3								3
				3
	при		π	+γ ≤ϑ	≤		2	π : U1				= −U3 =								1		U d					(2.68)
		3																	2
					3
	Для 3-го интервала:
	при		2	π ≤ϑ ≤	2	π +γ : U						2 =		2		U d ;U1 =U3									= −		1	U d
		3			3																						3
												3
	при		2	π +γ ≤ϑ ≤ π : U 2 = −U3													=		1		U d
		3																	2

и т.д.

На основании сказанного на рис. 2.29 а) показана диаграмма напряжений на фазах 1, 2 , 3 за период 2π сетевого угла.

Фазные напряжения U1 ,U 2 ,U3 имеют гораздо более сложную форму по сравнению со случаем 180°-й коммутации (рис 2.27 а). Это объясняется наличием коммутационных провалов и всплесков фазных напряжений длительностью γ (рис. 2.29 а). Указанная сложность видна и из выражения для первой гармоники фазного напряжения для двух видов коммутации. Например, первая гармоника фазного напряжения для 180°-й коммутации (рис 2.27 а) имеет выражение

U180 (1) = π2 U d ,

а первая гармоника фазного напряжения для 120°-й коммутации (рис 2.29 а) будет равна [5]:

U120	(1) = U d	8 −5cosγ − 3 sin γ	(2.69)
	π

Величина угла коммутации γ заранее неизвестна, и она, как мы увидим в дальнейшем зависит от коммутируемого тока I и электромагнитной

постоянной фазы нагрузки Te = RL . В силу этого применение

гармонического анализа для исследования схемы инвертора со 180°-й коммутацией значительно проще чем для схемы со 120°-й коммутацией. К достоинствам схемы 180°-й коммутации можно отнести также бόльшую величину амплитуды первой гармоники питающего напряжения, а также более низкое значение амплитуд высших гармоник.

100

рис. 2.29 а)

рис. 2.29 б)

Тем не менее нельзя сказать, что применение 180°-й коммутации предпочтительнее 120°-й. Дело в том, что в первом случае при одновременном включении и отключении транзисторов в одном ключе инвертора, например, на рис 2.26 а) – транзисторов V1 и V1' возможны кратковременные сквозные короткие замыкания источника Ud , что может

привести к выходу транзисторов из строя. Для исключения такого аварийного режима потребуются специальные меры (дополнительные последовательные индуктивности, задержка в переключении и т.д.). Кроме того, в цепях некоторых электрических машин (например, вентильных двигателей) схемы 180°-й коммутации показали худшие энергетические показатели по КПД и нагреву. В силу этого там нашли применение, как правило, системы 120°-й коммутации. В каждом конкретном случае применимость той или иной схемы должна быть проанализирована отдельно.

101

2.2.6. б) Определение параметров периодического режима.

Также как мы поступали при анализе инвертора со 180°-й коммутацией, исследуем процессы внутри одного из межкоммутационных периодов,

равных π3 сетевого угла или Т6 по времени периода Т . Возьмем, в

частности, первый интервал рис. 2.28 б) и в), на котором выделим два участка: коммутационный и внекоммутационный. Руководствуясь эквивалентными схемами рис. 2.28 в) и линейными диаграммами фазных напряжений рис 2.29 а), можем записать уравнение равновесия напряжений на фазах 1,2 и 3

0 ≤ϑ ≤ γ (0 ≤ t ≤ tк ) , γ = ω tк

Te	di1		+i1		=	2		,
	dt
					3
Te	di2		+i2		= −			1	,	(2.70)
	dt							3
T	di3		+i		= −			1
	dt							3
e				3

Уравнения записаны для безразмерных токов и напряжений, также как и

(2.54)

Для внекоммутационного участка γ ≤ϑ ≤π3 (tк ≤ t ≤ T6 )

Te didt1 +i1 = 12 , i3 = 0, i1 = −i2

Решение уравнений для 0 ≤ϑ ≤ γ (0 ≤ t ≤ tк ) будет:

−

t

2

−

t

) ,

T

T

i1

= i1 (0)e

e

+

(1

−e

e

3

−

t

1

−

t

) ,

i2

= i2 (0)e

T

−

(1 −e

T

e

e

3

−

t

1

−

t

i3

= i3 (0)e

T

−

(1 −e

T

)

e

e

3

здесь известно, что i1 (0) = 0

Для γ ≤ϑ ≤

π

(tк

≤ t ≤

T

) :

3

6

−

t −tk

1

−

t−tk

T

T

i1 = i1 (tk )e e

+

(1 −e e ) ,

2

i2 = −i1	i3 = 0 , t = tk найдем время коммутации
Из (2.72), полагая
коммутацииγ = 2π f	tk =	2π	tk
		T

(2.71)

(2.72)

(2.73)

tk и угол

102
tk = Te ln(1 +3i3 (0)) ,	(2.74)
γ = 2πζ ln(1 +3i3 (0))

Теперь определим токи i3 (0) , i1 (tк ) . Этого достаточно для определения

токов i1 ,i2 ,i3 в любой момент времени,					поскольку в силу периодичности
(см. рис. 2.29 б)
i3 (0) = −i2 (0)
i1 (	Т	) = i3 (0) , или i1	(	π ) = i3 (0)	(2.75)
6				3

i2 (tк ) = −i1 (tк ) , или i2 (γ) = −i1 (γ)

Подставим в (2.73) t = T6 и учтем согласно (2.75), что i1 (Т6 ) = i3 (0) ,

Подставим также в (2.72) t = tk и примем во внимание, используя (2.75),что i2 (tк ) = −i1 (tк ) = i1 (γ)

Таким

образом,

получаем систему уравнений

относительно токов

i3 (0),

i1 (γ)

T

−tk

T

−tk

−

6

1

−

6

) ,

T

T

i3 (0) = i1 (tk )e

e +

(1

− e

e

2

−

tk

1

−

tk

) ,

(2.75)

T

T

−i1 (tk ) = −i3 (0)e

e −

3

(1

−e

e

2

−

tk

i (t

)

=

T

)

k

(1−e

e

1

3

Вычитая из третьего уравнения второе, получим

2i1 (tk ) = i3 (0)e−

tk

+ (1 −e−

tk

(2.75*)

Te

Te

)

T −tk

Теперь умножим первое уравнение на 2, а уравнение (2.75*) на e− 6Te и сложим их.

В результате находим

− 1

i3 (0) = imax = 1 −e 6ζ (2.76)

− 1

2 −e 6ζ

imax - амплитудное значение тока фазы.

Далее умножим второе уравнение (2.75) на 2 и сложим с третьим. В итоге получим:

−tk

i1 (tk ) = 2i3 (0)e Te ,

−	tk		−	tk		1
	T			T
Подставим сюда e	e	из (2.74): e		e	=
						(1 +3i3 (0))

Отсюда следует, что