itmo295

83

Действующий ток через диод VD найдем из уравнения (2.45), проинтегрировав его почленно в пределах от 0 до t1

t

t

1

t

t

1

∫1

i2 dt = ∫1

idt −

Te ∫1

di 2

dt = ∫1

idt −

Te (i2 (t1 ) −i2 (0))

2

0

0

0

dt

0

2

t

Поскольку

i2 (t1 ) = 0, i2 (0) = imax2 , ∫1

idt =Te ln(1+imax ) −Teimax ,

то подставив

0

эти величины в искомое выражение, получим

(i

)

=

2 t1

i2 dt

=

i

(i

− 2) + 2ln(1 +i )

VD

e

T ∫0

max max

max

(IVD )e = Iδ (iVD )e

(2.48)

Определим теперь средний ток через транзистор V (рис. 2.25 г)

T

Проинтегрируем почленно уравнение (2.43) в пределах от t1 до

2

T

2

T

T

∫

idt

=

−t

1

−T i

−i(t

)

2

e

2

1

t

1

Поскольку

i(t1 ) = 0 ,

T

= imax ,

то получим, умножив интеграл на

i

2

величину

2

, средний ток через транзистор

T

2t

2T

iV

−

= 1−

1

e imax .

T

T

Подставляя сюда время t1 из (2.42), окончательно получим iV =1−2ς ln(1+imax ) −2ς imax (2.49)

Из уравнения (2.45) почленным интегрированием в пределах от t1 до T2 получим действующее значение тока через транзистор:

2 T 2

2 T 2

T

T

(i

)

=

∫

i2 dt =

∫

idt −

e

i

2

−i2 (t

1

) . .

V

e

T

2

T t

T t

T

Поскольку

2

T

2

2

2 2

i

= imax ,

i

(t1 ) = 0 ,

∫idt = iV , то, используя (2.49)

2

T t

получим

1

(i

)

=

1 − 2ς ln(1 + i

max

) − 2ς i

max

−ς i2

(2.50)

V

e

max

Коэффициент мощности инвертора [1] определяется как

χ =

P

=

U I

,

S

U н Ie

где P =U I

– активная мощность нагрузки, S =U нIe

– полная мощность

нагрузки

84

Поскольку напряжение на нагрузке U н для данного инвертора равно напряжению источника U , то с учетом (2.44) и (2.46)

χ =	I = 1 − 4ς imax	(2.51)
	Ie

Формулы (2.41), (2.44), (2.46), (2.47), (2.48), (2.49), (2.50), (2.51)

позволяют произвести необходимый расчет инвертора и выбрать силовые транзисторы и диоды, способные нести заданную нагрузку по току и напряжению.

2.2.4 Пример расчета

Инвертор, изображенный на схеме рис. 2.25 а), работает от напряжения источника постоянного тока Ud =120В при частоте f = 500Гц.

Параметры нагрузки: активное сопротивление R =1,5Ом, индуктивность

2 10−3 Г .

Определить токи нагрузки и токи через полупроводниковые элементы инвертора

1. Электромагнитная постоянная и параметр ς нагрузки

Te = RL = 2 110,5−3 =1,33 10−3 c

ς = TTe = Te f =1,33 10−3 500 = 0,665

2. Базовый ток (2.43)

Iδ = URd = 1201,5 = 80А

3. Амплитуда тока нагрузки (2.41)

			−	1
imax	=	1 −e		2 0,665		= 0,359
			−	1
		1 + e		2 0,665

Imax = Iδ imax = 28,7A

4. Средний ток нагрузки (2.44)

i =1−4 0,665 0,359 = 0,045, I = 80 0,045 = 3,6A

5. Действующее значение тока нагрузки (2.46)

ie = i = 0,045 = 0,21

Ie = Iδ ie = 80 0,21 =16,97A

6. Средний ток через обратный диод (2.48)
iVD	= 2 0,665[0,359 −ln(1+0,359)]= 0,069
IVD	= 80 0,069 = 5,56A

7. Действующий ток через обратный диод (2.48)

(iVD )e = 0,359(0,359 −2) + 2ln(1+0,359) = 0,156 (IVD )e = 80 0,156 =12,49A

85

8. Средний ток через транзистор (2.49)

iV	=1−2 0,665ln(1+0,359) −2 0,665 0,359 = 0,114
IV		= 80 0,114 = 9,16A
9. Действующий ток через транзистор (2.50)
(i	)	= 1 − 2 0,665 ln(1 + 0,359) − 2 0,665 0,359 − 0,665 (0,3592 ) = 0,17
V	e
(IV	)e	= 80 0,17 =13,6A

По вычисленным токам можно выбрать необходимые транзисторы и диоды, обеспечивающие данный режим работы инвертора.

2.2.5 Трехфазный инвертор с 180°-ой коммутацией.

Схема мостового инвертора представлена на рис. 2.26 а). Инвертор содержит 6 транзисторов V1−V 3′ и 6 обратных диодов VD1−VD3′. Трехфазная нагрузка Z может быть соединена в звезду или в треугольник.

В цепях электрических машин при питании от преобразователей чаще используется соединение фаз звездой, поскольку при питании нагрузки напряжением несинусоидальной формы в замкнутом контуре треугольника возможно возникновение контурных токов, ухудшающих КПД и другие показатели машины. Далее будем рассматривать соединение трех фаз нагрузки звездой.

86

2.2.5а) Режим 180°-ой коммутации.

Вэтом режиме каждый транзистор V схемы рис. 2.26 а) открыт

течении 180° (π радиан) сетевого угла	ϑ = ωt = 2πft = π , где	f – частота
переменного напряжения на нагрузке. В	течение интервала π	ток в фазе

протекает в одном направлении, а в течение последующего интервала π – в другом. Ток в фазах нагрузки протекает непрерывно.

На линейных диаграммах рис. 2.26 б) показаны сигналы включения длительностью π радиан, подаваемые для отпирания на верхние транзисторы V1,V 2,V 3 (они условно имеют положительную полярность) и сигналы такой же длительности, подаваемые для отпирания на нижние

		′ ′ ′	(они условно имеют отрицательную полярность).
транзисторы V1 ,V 2 ,V 3
					′
Отпирающие сигналы транзисторов, коммутирующих фазу 1 (V1,V1 ), фазу
2 (V 2,V 2	′		′	2
				3 π радиан (120°).
		) и фазу 3 (V 3,V 3 ), сдвинуты между собой на

Сопоставление диаграмм рис. 2.26 б) показывает, что через каждые π3

радиан сетевого угла в системе трехфазного инвертора происходят

87

коммутации, связанные с переключением одного из верхних транзисторов на нижний или наоборот. Таким образом, полный период сетевого угла 2π разбивается на 6 интервалов, пронумерованных в нижней строке линейных диаграмм рис. 2.26 б). Для каждого интервала существует своя эквивалентная схема подсоединения фаз нагрузки к источнику питания постоянного тока U d . Эти 6 эквивалентных схем, соответствующих шести

межкоммутационным интервалам, представлены на рис. 2.26 в). На интервале 1 в точке ϑ = 0 (рис.2.26 б) произошло отключение транзистора V1′ и включение транзистора V . К (+) источника питания открытыми транзисторами V1,V 3 подключены фазы 1 и 3, а к (-) источника открытым транзистором V 2′ подключена фаза 2. Далее переходя от интервала к интервалу и руководствуясь линейными диаграммами рис. 2.26 б), показывающими, какие из транзисторов находятся в открытом состоянии, можно составить последующие 5 эквивалентных схем.

Условимся, что направления токов в фазах считаются положительными, если токи направлены к общему узлу 0, и направления считаются отрицательными, если токи направлены от узла. Таким образом закон Кирхгоффа формулируется как

I1 + I2	+ I3 = 0	(2.52)
Условимся также, что, если	начало фазы	подсоединено к (+)

источника питания, то напряжение, приложенное к ней положительно, а если начало фазы подсоединено к (-) источника, то напряжение на ней отрицательное.

На каждой из эквивалентных схем рис. 2.26 в) показано направление начального тока фазы после ее очередного подключения к тому или иному транзистору. Например, для интервала 1 на том же рисунке в начальный момент ϑ = 0 закрылся транзистор V1′ и открылся транзистор V1. В момент переключения в фазе 1 протекал ток I1 от узла 0 к началу фазы 1 (рис. 2.26

а). Значит I1 (0) < 0 , что и нашло отражение в эквивалентной схеме 1) на рис. 2.26 в), где направление i(0) соответствует отрицательному значению тока. Рассмотрим подробно процесс коммутации для первого интервала. Все включенные транзисторы обведены сплошной линией, отключенный

транзистор	– пунктирной	линией.		Отключение транзистора		V1	и
						′
включение транзистора V1 должно привести к изменению направления
тока I , в фазе 1. Но в начальный момент ϑ = 0 направление I1 (0)					показано
пунктирной	стрелкой, и	для	ЭДС	самоиндукции фазы	1	L	dI1	,
							dt
возникающей при уменьшении тока I1 , по абсолютной величине,						должен
образоваться некоторый контур,			по которому будет замыкаться ток I1				при

уменьшении его величины до нуля. Этот контур образуется за счет обратного диода VD1. Ток I1 на этапе участка коммутации ( I1 (0) ≤ I1 ≤ 0 , 0 ≤ϑ ≤ γ ) замыкается по контуру: «фаза 1 – диод VD1 – транзистор V 3 –

88

фаза 3 – фаза 1». На этапе коммутации ток от источника питания через вновь открытый транзистор V1 не подходит пока ток I1 не упадет до нуля. После этого внутри межкоммутационного участка 1 начинается так

называемый внекоммутационный интервал ϑ = π3 −γ , на котором ток I1 ,

проходит через транзистор V1 и его величина возрастает от нуля до уровня, определяемого параметрами инвертора и нагрузки Z. Если ток I1 не успеет уменьшиться от величины I1 (0) до нуля за время tk

соответствующее длительности интервала 1: ϑ = ωtk = π3 , то в системе образуется другой режим коммутации, когда в точке ϑ = π3 закроется

транзистор V 3 и откроется V 3′. В этом случае ток I3 , ток I2 и ток I1 через обратные диоды VD3′ и VD1, VD2 замыкаются через источник питания U2 по следующим контурам.

Для тока I1 :

«фаза 1 – диод VD1 – источник питания U d – диод VD3′ – фаза 3 –

фаза 1»

Для тока I2 ( (I3 = −(I1 + I2 ))):

«фаза 2 – диод VD2 – источник питания U d – диод VD3′ – фаза 3 –

фаза 2» Этот более сложный коммутационный режим далее рассматриваться

не будет, а мы ограничимся случаем, когда коммутируемый ток успевает изменить направление на участке 0 <ϑ < π3 .

Напряжение на входе инвертора U d делится между подключенными

фазами пропорционально сопротивлению отдельных участков электрической цепи. Например, на первом интервале (рис. 2.26 в) фазы 1-3 соединены параллельно, а фаза 2 подсоединена к ним последовательно.

Таким образом, сопротивление параллельного участка равно 12 Z1 , общее сопротивление цепи Z0 = 12 Z1 + Z1 = 32 Z1 . В результате абсолютное значение

напряжения,

1

приложенного

к

фазе

1

и

фазе

3

будет

U1 =U3

U

d

2

Z

1

1

U d ,

а напряжение приложенное

к

фазе

2

по

=

=

3

2 Z1

3

U d Z1

2

абсолютному

значению

равно

U

2

=

=

U

d

.

В

Действительном

3

2 Z1

3

2

соответствии

с

сформированным

ранее

правилом

U 2 = −

U a ,

а

3

U1 −U2

=U3 −U 2

=U d . Эти пояснения, а также схемы переключения 2.26 в)

89

позволяют представить линейную диаграмму напряжений, приложенных к фазам двигателя, изображенную на рис. 2.27.

Мы показали ранее, что в трехфазном мостовом инверторе все процессы имеют периодичность по сетевому углу, равную π3 или T6 , где

T – полный период волны напряжения, равный T = 1f ( f – рабочая частота

инвертора).

Можно показать также, что для определения мгновенного тока любой из 3х фаз нагрузки достаточно знать мгновенные тока фаз внутри

периода ϑk = π3 , который называется коммутационным периодом.

Действительно, пусть на рис. 2.27 б) показано изменение тока фазы 1 под действием ступенчатого напряжения U1 2.27 а), приложенного к фазе на периоде 2π сетевого угла. В целях наглядности участки кривых на межкоммутационных интервалах (участки экспонент) за 6 периодов

коммутации ( 6 ×π3 = 2π ) заменены отрезками прямых линий. На первом интервале 0 ≤ϑ ≤ π3 показано также изменение токов I2 и I3 под действием

напряжений U2 и U3 . Сопоставляя вид напряжений U1 ,U2 и U3 и

вызванных ими токов внутри первого межкоммутационного интервала с токами I1 на последующих интервалах, вплоть до ϑ = π , можно видеть, что

	ток I1 на участке				π ≤ϑ ≤	2	π между точками 1 и 2 соответствует току I2 на
						3
	участке 0 ≤ϑ ≤ π				3
				,	но с	противоположным		знаком, а ток I1 на участке
	3							0 ≤ϑ ≤ π .
		2	π ≤ϑ ≤ π соответствует току I3 на участке
	3
								3

Таким образом, для построения положительной полуволны тока одной из фаз, например, 1 на полупериоде 0 ≤ϑ ≤ π достаточным знать

токи всех трех фаз, но на межкоммутационном интервале 0 ≤ϑ ≤ π3 .

90

Рис. 2.27

Отрицательная полуволна I , при π ≤ϑ ≤ 2π по абсолютному значению в точности равна построенной положительной.

Сказанное сформулируем в виде следующих равенств

I	π			2		= −I				π
			≤ϑ ≤		π			0	≤ϑ ≤
		3		3						3
1							2

	I1	2			= I3			π		(2.53)
				π ≤ϑ ≤ π		0	≤ϑ ≤
			3					3
0 ≤ϑ ≤	π
	3

I1 + I2 + I3 = 0

91

2.2.5 б) Определение параметров периодического режима колебаний

Теперь напишем дифференциальные уравнения для токов I1 и I3 фаз

1 и 3 находящихся под напряжением 13U d (рис. 33 а) для участка

0 ≤ϑ ≤	π	,	ϑ = 2πft
	3

0 ≤ t ≤ T6 ;

Уравнения записываем в безразмерных переменных, аналогичных переменных для однофазного инвертора (2.43)

0 ≤ t ≤ T6

Te

di1

+i1

=

1

(2.54)

di3

1

3

dt

Te

+i3

=

dt

3

I

U d

L1

Здесь, как и далее

i =

; Iδ

=

;

Te

=

;

L1; R1

– индуктивность и

I

δ

R

R

1

1

активное сопротивление фазы.

Решением уравнений будет

−

t

1

−

t

i

= i

(0)e

Te +

1 − e

Te

1

1

3

−

t

1

−

t

i3

= i3 (0)e

Te

+

− e

Te

( 2.54 )

3

1

Для

конца

интервала

t =

T

,

обозначая

по-прежнему

ς =

Te

= Te f ,

получим

6

T

T

π

−6ζ

1

−6ζ

1

1−e

1

(2.55)

i1

= i1

= i1 (0)e

+

6

3

3

T

π

−6ζ

1

−6ζ

1

1−e

1

i

= i

= i

(0)e

+

3

3

6

3

3

3

Но руководствуясь рис. 2.27 а) и б) и равенствами (2.53), замечаем,

что

i1 (0) = −i3 π3

	π	(2.56)
i3 (0) = −i2	3

i1 π2 = −i2 (0)

Кроме того в соответствии с (2.53)

92

i1 (0) +i2 (0) +i3 (0) = 0

	π		π		π			(2.57)
i3	3	+i2	3	+i3	3		= 0

Таким образом, в системе уравнений (2.55) с использованием (2.56) и (2.57) можно положить

i1 π3 = −i2 (0) = i1 (0) +i3 (0)

π

π

( 2.57

)

i3

3 = −i1 (0);i3 (0) = −i2

3

Подставив эти данные в систему (2.55), имеем

−

1

1

−

1

i (0) +i (0) = i (0)e

6ζ

+

1−e

6ζ

1

3

1

3

−

1

1

−

1

−i (0) = i (0)e

6ζ

+

1−e

6ζ

1

3

3

Решив

уравнения

относительно

нескольких значений

токов

i1 (0) ,

i3 (0) и определив, согласно (2.57) i2 (0) = −(i1 (0) +i3 (0)), получим

−

1

i

(0) = −

1

1 − e

3ζ

1

1

1

3

1 − e−

−

6ζ + e

3ζ

−

1

−

1

− e

6ζ

6ζ

i2 (0) = −1

1

1 − 2e

(2.58)

1

1

3

−

−

1 − e

6ζ

+ e

3ζ

−

1

−

1

6ζ

6ζ

(0) = 1

1 −e

2 − e

i3

1

1

3

−

−

1 −e

6ζ

+ e

3ζ

Определим далее токи на другом конце интервала ϑ = π3 . Согласно (2.53) получаем

i1 π3 = −i2 (0)

															−	1					−		1
															− e	6ζ							6ζ
	π							1					1					1 − 2e
i				= −i		(0)	=
					2
																		1			1
1		3						3								−				−
															1 − e			6ζ		+ e	3ζ										1
																														−
							i3				π				= i1 (π) = −i1						(0) =				1			1 − e			3ζ				(2.59)
												3													3				1				1
																												1 − e−		+ e−
																													6ζ				3ζ