Статистично-ймовірнісні методи планування експерименту та аналізу одержаних результатів. Складання математичних моделей експериментально-статистичними методами.

План

1. Застосування критеріїв згоди в НДР та побудові математичних моделей.

2. Дисперсійний аналіз

3. Кореляційно-дисперсійний аналіз

При дослідженні виробничого процесу, а саме при розробці нових і аналізі діючих процесів виникають задачі, які можна віднести до трьох типів.

Перший тип задач – це задачі порівняння. Для їх розв’язання вимірюють задані Х і розраховують Х_сер.

Наприклад, показники якості можуть бути виміряні три рази двома методами. Х_сер Одного метода відрізняється від Х_сер другого методу. Ця різниця пояснюється випадковою помилкою, або методи не є рівнозначні хоча і спрямовані на визначення цього показника.

Другий тип задач – це задачі порівняння двох або більше дисперсій S².

Такі задачі використовують при встановленні вірогідності впливу або не впливовості на параметр, що контролюється.

Третій тип задач – це задачі дослідження емпіричних розподілів.

Емпіричний розподіл – це розташування даних експерименту по мірі зростання з визначенням частоти попадання цих значень в кармани. Більшість значень досліджень експерименту попадають до нормального розподілу.

Нормальний розподіл має симетричне розташування, він має лінійні властивості і може бути описаний лінійною залежністю.

Розподіл, який не підлягає нормальному розташуванню значень експерименту описується більш складними залежностями, які можуть бути приведеними до нормального виду, наприклад, 1/х; lgx; √х.

Задачі третього типу використовують для порівняння роботи двох процесів або технологій.

Вирішення таких типів задач здійснюється з використанням критеріїв згоди. При цьому висувається гіпотеза про відсутність відмінностей між об’єктами порівняння. А ті відмінності, що спостерігаються є випадковими. Таку гіпотезу називають нуль гіпотезою (Но). Протилежна гіпотеза, тобто про те, що відмінності не випадкові – альтернативна гіпотеза (На). Перевірка нуль гіпотези здійснюється на основі даних спостережень або вимірювань.

Прийняти або відсунути нуль гіпотезу дозволяє критерій згоди. Потужність критеріїв збільшується при збільшенні кількості експериментальних даних. Якщо значення критерію згоди розраховується за формулою, його називають розрахунковим (див. Лекцію №2), в разі відшукання його значення за спеціальними таблицями – табличним або критичним. Критерій згоди ґрунтується на порівнянні розрахункового і критичного значень. Якщо розрахункове значення критерію згоди більше за критичне, нуль гіпотеза відхиляється, тобто відмінність об’єктів порівняння не є випадковою, а є результатом зовнішнього впливу.

Які бувають критерії згоди:

t_кр – заснований на розподілі Стьюдента;

F_кр -- заснований на розподілі Фішера;

x² – критерій Пірсона, що побудований на х² розподілі;

Критерій Колмагорова-Смірнова, заснований на λ-розподілі.

Для вирішення задач 1-го типу застосовується критерій Стьюдента. Для вирішення задач 2-го типу застосовується критерій Фішера. Критерій Фішера використовує відношення оцінок дисперсії однієї генеральної сукупності до іншої. Генеральна сукупність – це значення досліджуваного параметра, яке існує незалежно від того вимірюється воно нами або ні. Вибіркою цієї сукупності є значення параметру, яке ми вимірюємо.

Якщо Fроз>Fтабл, то параметр (Х) впливає на кінцевий результат (У).

Також за критерієм Фішера можна визначити адекватність математичної моделі реальному процесу.

2. Дисперсійний аналіз був запропонований Фішером у 1925р. він ґрунтується на розкладанні дисперсії (міра розсіювання значень від середнього) на складові. Порівнюючи складові дисперсії між собою можна визначити наскільки змінюються У від зміни Х.

Дисперсія розкладається на такі складові:

• S²₀ загальна дисперсія,

• S²_А дисперсія між групами,

• S²_R дисперсія всередині групи.

Приклад:

З 1-єї партії ячменю було отримано 4 партії солоду з різним виходом.

1 партія – 78,2 %

2 партія – 79,4 %

3 партія – 75,3 %

4 партія – 80,0 %.

За допомогою критерію Стьюдента t_cт визначено, що коливання виходу солоду не є випадковими, а є результатом зовнішнього впливу. Треба встановити які параметри технологічного процесу впливають на вихід солоду і які є невпливовими.

Для рішення цієї задачі використовують однофакторний дисперсійний аналіз.

На вихід солоду впливає велика кількість параметрів з яких одні є дуже впливовими, а інші менш впливовими. Виберемо три параметри і проаналізуємо їх вплив.

1. температура Х₁;

2. вологість ячменю Х₂;

3. вміст діоксиду вуглецю в шарі зерна Х₃.

Позначимо вихід солоду – У;

а Х₁, Х_2, Х_3...... Х_n—впливові параметри;

n – кількість параметрів.

Кожен параметр був виміряний m разів, тобто

Х₂¹

Х₂²

Х₁ Х₂³

Х₂⁴

Х₂⁵

За дисперсійним аналізом загальна або повна дисперсія розраховується за формулою:

S₂ = Q₀/(n*m-1), де Q₀ – загальна або повна сума квадратів, яка розраховується за формулою:

де j – номер вимірювання;

i – номер параметру;

Хс – середне значення всіх Х.

Загальна дисперсія розкладається на дві складові відповідно між групами і всередині групи:

S²a = Q_a/(m-1), характеризує міру розсіювання значень температури від середнього (нормативного) під час пророщування.

Q_a – сума квадратів між групами.

S²r = Q_r/(n-1)

де Q_r –сума квадратів всередині групи.

Виконання дисперсійного аналізу після розкладання дисперсії на складові здійснюється за критерієм Фішера, який розраховується за формулою:

Табличний F-критерій розраховується з урахуванням ступенів вільності:

f_a = m-1

f_r = m_*n-1

Ступінь вільності – це рівень мінливості параметру, що контролюється в залежності від кількості експериментальних даних.

Програма EXCEL розраховує F_кр (табл.) за функцією FРАСПОБР зі значеннями ступенів вільності f_a і f_r.

Якщо F_роз> F_кр, то температура пророщення вважається впливовим фактором на вихід солоду. Таким чином перевіряються і інші параметри (вологість ячменю, вміст діоксиду вуглецю в шарі солоду).

Виконання однофакторного дисперсійного аналізу здійснюється у програмі EXCEL з використанням „пакету аналізу” – „ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ”, який знаходиться у меню „СЕРВІС”.

3. Кореляційно-регресивний аналіз. Поняття регресії ввів вчений Гамільтон.

Є таке поняття коефіцієнт кореляції R_yx. Він показує зв’язок між двома параметрами.

Коефіцієнт кореляції розраховується за формулою:

Значення коефіцієнта кореляції може змінюватися в діапазоні 1…+1, якщо

R_yx>0, то зі зростанням Х зростає і У;

R_yx<0, то навпаки зі зростанням Х падає значення У.

Якщо R_yx=0, то Х і У взагалі не зв’язані між собою.

Питання для самопідготовки

1. Які типи задач існують при моделюванні технологічних процесів?

2. При вирішенні яких задач моделювання використовують критерії згоди?

3. Які бувають критерії згоди?

4. Для вирішення яких задач моделювання застосовують критерії Стьюдента і Фішера?

5. Як розрахувати критерій Фішера (табличний і розрахунковий0 в середовищі ЕХСЕL?

6. Дайте характеристику «генеральній сукупності».

7. За яким критерієм можна визначити адекватність моделі реальному процесу?

8. На чому ґрунтується дисперсійний аналіз?

9. За якими формулами можна розрахувати повну дисперсію, дисперсію між групами і в середині груп?

10. Як здійснити виконання однофакторного дисперсійного аналізу в середовищі ЕХСЕL?

11. Дати характеристику регресії і коефіцієнту кореляції.

12. Як розрахувати коефіцієнт кореляції?

13. В якому діапазоні може змінюватися коефіцієнт кореляції?