readmsg

1			у	+ у		+ у		... + у	п−1	+	1	у	п
	=	2	1		2		3				2			,
у
						п −1

Розглянемо приклад.

Парк тракторів в сільських спілках району.

Дані на початок	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06	1.07	1.08	1.09	1.10	1.11	1.12	1.01
місяця
Число	622	640	643	640	664	670	682	733	753	768	800	826	888
тракторів, шт.

Визначимо середнє число тракторів за кожний квартал, перше і друге півріччя і за рік в цілому.

уІк.

	622	+640 +643 +	640		1914
=	2		2	=			= 638 шт.;
		3				3

640

+664

+670

+

668

1995

ІІк. =

2

2

=

= 665 шт.;

у

3

3

682

768

2 +733 +753 +

=

2211

= 737 шт.;

ІІІк. =

2

2

у

3

3

768

+800

+826

+

888

2454

ІVк. =

2

2

=

=188 шт.;

у

3

3

І к. +

ІІ к.

у

у

638 + 665

уІ п. =

=

= 651,5 шт;

2

2

ІІІ к. +

ІV к.

у

у

737 + 818

уІІ п. =

=

= 777,5 шт;

2

2

І п. +

ІІ п.

у

у

651,5 +777,5

у р =

=

= 714,5 шт.

2

2

Середній абсолютний приріст визначається як середня арифметична проста з ланцюгових абсолютних приростів за певні періоди і показує на скільки одиниць в середньому змінився рівень у порівнянні з попереднім.

∆у = ∑п∆лу ,

де ∆у - середній абсолютний приріст;

п - кількість приростів.

121

Середній абсолютний приріст визначається і за іншою формулою:

∆у = упп −−1у1 .

Зпопереднього нашого прикладу середньорічний абсолютний приріст валового збору картоплі складе:

			∑∆лу		3 + 4 +1 + 2 + 3		13		= 2,6 млн.т., або
	∆у =			=		=
			п		5			5

∆у = упп−−1у1 = 336−−201 = 135 = 2,6 млн.т.

Середній темп росту вираховується за формулою середньої геометричної:

Т Р = п ТРл1 ТРл2 ТРл3 ... ТРлп ,

де Т Р – середній темп росту;

ТРл , Т	Рл	, ТРл ,....,Т	Рл	– ланцюгові темпи росту;
1	2	3		п

п – число темпів.

Для обчислення середнього темпу росту використовують також іншу

формулу: Т Р = п−1 уп ,
у
1
де уп – кінцевий рівень ряду;
у1 – початковий рівень ряду;
п – кількість рівнів динамічного ряду.
Т Р = 5 1,150 1,174 1,037 1,071 1,100 = 5 1,650 =1,105,								або
Т Р	у	п	= 5	33	=	1,650 =1,105.
	= п−1			20
	у
	1
Середні темпи росту обчислюють також за формулою середньої
геометричної зваженої:	Т Р = ∑t ТРt1			ТРt2		ТРt3	... ТРtn ,
			1		2	3	п

де t - інтервал часу, на протязі якого зберігається даний темп росту; ∑t - сума відрізків часу періоду.

122

Середній темп приросту визначається як різниця між середнім темпом росту і одиницею (якщо середній темп росту у вигляді коефіцієнта), або 100 (якщо він у відсотках):

Т ПР =Т Р −1 =1,105 −1 = 0,105, або Т ПР =Т Р −100 =110,5 −100 =10,5 %

Подальший аналіз рядів динаміки соціально-економічних показників зв'язаний з більш складними узагальненнями, з визначенням основної тенденції, вивченням сезонних коливань рівнів і дослідженням зв'язку між рядами.

7.4. Виявлення тенденцій розвитку явищ

Виявлення основної тенденції (тренду) ряду, є одним з головних методів аналізу і узагальнення динамічних рядів. Зображена на графіку лінія тренду динамічного ряду покаже плавну зміну досліджуваного явища в часі, яке звільнене від короткочасних відхилень, викликаних різними причинами. В статистичній практиці виявлення основної тенденції розвитку явищ в часі проводиться методами укрупнення інтервалів, рухомої середньої і аналітичним вирівнюванням.

Одним з найпростіших способів обробки ряду з метою виявлення закономірності зміни його рівнів є укрупнення інтервалів (періодів) часу. Суть цього методу полягає в тому, що дані динамічного ряду об'єднуються в групи по періодах і розраховується середній показник на період - триріччя, п'ятиріччя і т.д.

Укрупнення інтервалів проілюструємо за даними наступного прикладу. Динаміка врожайності озимої пшениці в селянській спілці "Колос".

123

		Урожайність озимої	Сумарна	Середня врожайність,
	Роки		врожайність,
		пшениці, ц/га		ц/га (за триріччя)
			ц/га (за триріччя)
	1991	15,6
	1992	16,0	50,5	16,8
	1993	18,9
	1994	15,7
	1995	20,0	55,3	18,4
	1996	19,6
	1997	19,8
	1998	21,5	61,3	20,4
	1999	20,0
	2000	27,3
	2001	24,4	79,9	26,6
	2002	28,2
	2003	27,9
	2004	33,1	93,7	31,2
	2005	32,7

В результаті проведеного укрупнення інтервалів, взявши дані за триріччя, ми отримали нові ряди динаміки сумарної і середньорічної урожайності за три роки, які показують тенденцію її росту.

Важливим способом виявлення загальної тенденції ряду динаміки є

згладжування за допомогою рухомої середньої. Тут також вдаються до укрупнення періодів, але воно проводиться шляхом послідовних зміщень на одну дату при збереженні постійного інтервалу періоду.

Порядок розрахунку рухомої середньої покажемо за даними попереднього прикладу.

Розрахунок трирічної рухомої середньої врожайності озимої пшениці.

124

		Урожайність озимої	Сумарна	Середня
	Роки		врожайність,	врожайність,
		пшениці, ц/га
			ц/га (за триріччя)	ц/га (за триріччя)
	1991	15,6	-	–
	1992	16,0	50,5	16,8
	1993	18,9	50,6	16,9
	1994	15,7	54,6	18,2
	1995	20,0	55,3	18,4
	1996	19,6	59,4	19,8
	1997	19,8	60,9	20,3
	1998	21,5	61,3	20,4
	1999	20,0	68,8	22,9
	2000	27,3	71,7	23,9
	2001	24,4	79,9	26,6
	2002	28,2	80,5	26,8
	2003	27,9	89,2	29,7
	2004	33,1	93,7	31,2
	2005	32,7	–	–

Як видно із таблиці, згладжений ряд, який складається з рухомих середніх показує більш плавне підвищення урожайності рухомої середньої.

Найбільш ефективним способом виявлення основної тенденції є аналітичне вирівнювання.

На практиці найбільш поширеними формулами, які виражають тенденцію розвитку (тренд) явищ є: пряма, гіпербола, парабола другого порядку, показникова функція, ряди Фур'є, логістична функція, експонента та інші.

Вирівнювання за прямою використовується в тих випадках, коли абсолютні прирости більш-менш постійні, тобто коли рівні динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії, або близькі до неї.

Рівняння прямої має вигляд: у€t = a0 + a1t,

де у€t - вирівняні значення динамічного ряду;

a0 , a1 - параметри шуканої прямої (початковий рівень і щорічний приріст); t - умовне позначення часу.

Для знаходження параметрів « a0 » і « a1 » потрібно розв'язати за способом найменших квадратів систему нормальних рівнянь:

∑ y = па	0	+ а ∑t;
		1
			2
				,
∑ty = a0 ∑t + a1 ∑t

125

де у - фактичні рівні динамічного ряду; п - число членів ряду динаміки.

При відліку часу від середини ряду коли ∑t = 0 , тоді система рівнянь для

знаходження параметрів « a0 » і « a1 » матиме вигляд: ∑ y = па0 ;

∑ty = a0 ∑t 2 ,

звідки: а0 = ∑пу , а1 = ∑ у2t .

∑t

Методику вирівнювання врожайності озимої пшениці за рівнянням прямої покажемо на прикладі.

Розрахункова таблиця для вирівнювання ряду динаміки за прямою

		Урожайність озимої					Умовне									Вирівняна
Роки		пшениці, ц/га					позначення				t2			Yt		урожайність
				(у)			часу (t)									у€t = a0 + a1t
1991			15,6					-7			49			-109,2		14,1
1992			16,0					-6			36			-96,0		15,3
1993			18,9					-5			25			-94,5		16,5
1994			15,7					-4			16			-62,8		17,8
1995			20,0					-3			9			-60,0		19,0
1996			19,6					-2			4			-39,2		20,2
1997			19,8					-1			1			-19,8		21,5
1998			21,5					0			0			0		22,7
1999			20,0					1			1			20,0		23,9
2000			27,3					2			4			54,6		25,2
2001			24,4					3			9			73,2		26,4
2002			28,2					4			16			112,8		27,7
2003			27,9					5			25			139,5		28,9
2004			33,1					6			36			198,6		30,1
2005			32,7					7			49			228,9		31,4
п=15			340,7					0			280			346,1		340,7
Використовуючи розрахункові підсумки, отримуємо:
а	0	= ∑ у	=	340,7	= 22,713;		а	= ∑ уt	=	346,1		=1,236.
										280,0
		п	15				1	∑t 2
Звідси рівняння прямої							буде мати наступний вигляд: у€t									= 22,713 +1,236 t.

Коефіцієнт регресії ( a1 =1,236) характеризує середній приріст урожайності озимої пшениці за рік. Величина 22,713 буде показувати теоретичну врожайність 1998 р., для якого ми взяли «0» номер року. Підставляючи у рівняння у€t = 22,713 +1,236 t послідовно значення t (-7, -6, -5 і т.д.), отримаємо вирівняний

(теоретичний) ряд динаміки урожайності озимої пшениці

126

Результати проведеного аналітичного вирівнювання ряду динаміки урожайності озимої пшениці за 1991-2005 pp. і фактичні дані покажемо на графіку

(мал. 7.2.).

Вирівнювання за гіперболою проводиться тоді, коли із плином часу ряд динаміки зростає або спадає до певної межі.

Рівняння гіперболи визначається за формулою: у€t = a0 + a1 1t .

Для знаходження параметрів « a0 » і « a1 » в даному рівнянні способом найменших квадратів застосовують систему нормальних рівнянь:

∑ у

= па

0

+ а

∑

1

;

1

t

y

1

∑

= a

0

∑

+ a

∑

t

t

1

1 . t 2

Якщо добитись, щоб ∑t = 0 , тоді параметри « a0 » і « a1 » знаходять за новою

∑ y = па0 ;
системою рівнянь: ∑	y	= a	∑	1	.
	t	1		t 2

Перетворивши цю

систему

рівнянь в

логарифмічну, будемо мати:

∑lgy = пlgа

0

;

∑lgy

∑tlgy

звідси:

lg a0

=

;

lg a1 =

.

2

n

2

,

∑t

∑tlgy = lga1 ∑t

127

Урожайність , ц/ га

Y

34

32

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

Роки

---------- вирівняні дані;

––––––– фактичні дані.

Мал. 7.2 Урожайність озимої пшениці в селянській спілці

"Колос" за 1991-2005 рр.

При

вирівнюванні за параболою

другого порядку

у€ = a

0

+ a t + a

2

t 2

t

1

параметри « a0 », « a1 », і « a2 »

визначаються способом найменших квадратів, для

чого складають і розв'язують систему нормальних рівнянь:

∑ y = па

0

+ а ∑t + a

2

∑t 2 ;

1

∑ty = a0 ∑t + a1 ∑t 2 + a2 ∑t 3 ;

∑ yt 2

= a ∑t 2 + a ∑t 3 + a ∑t 4 .

0

1

2

Якщо

добитись щоб ∑t = 0 ,

тоді

і

∑t 3 = 0 , а отже,

система

рівняння

спроститься:

∑∑∑

y = па0 + a2 ∑t 2 ; ty = a1 ∑t 2 ;

yt 2 = a0 ∑t 2 + a2 ∑t 4 .

128

Із цієї системи а	=	∑ уt	, а параметри « a	0	» і « a	2	» визначаються розв'язком
1		∑t 2

системи двох рівнянь з двома невідомими.

Параметри рівняння параболи другого порядку потрібно інтерпретувати наступним чином: « a0 » - це величина, яка виражає середні умови утворення рівнів ряду; « a1 » - швидкість розвитку даних динамічного ряду; « a2 »-

характеризує прискорення цього розвитку.

Вирівнювання за показниковою функцією проводиться в тих випадках,

коли динамічний ряд розвивається в геометричній прогресії, тобто тоді, коли ланцюгові темпи росту більш-менш постійні.

Показникова функція описується рівнянням: у€t = a0 + a1t .

Для визначення параметрів « a0 » і « a1 » цього рівняння методом найменших квадратів попередньо логарифмують рівні, тоді логарифми показникової функції

описують лінійною функцією: lgу€t	= lga0 + tlga1.
Система нормальних рівнянь має вигляд:
∑lgy = пlgа		0	+ lgа ∑t;
			1
				2
			∑t + lga1 ∑t		,
∑tlgy = lga0

коли добитись, що ∑t =					0 , тоді		∑lgy = пlgа		;
								0		2
											,
							∑tlgy = lga1 ∑t
звідки lga	0	=	∑lgy	і lga	=	∑tlgy .
			n	1		∑t 2

Коефіцієнт « a1 », в показниковій функції характеризує середній темп росту досліджуваної ознаки.

Особливе місце в аналітичному вирівнюванні рядів динаміки займає

вирівнювання за допомогою ряду Фур'є, який описується рівнянням:

т

у€t = a0 + ∑ (апсoskt +an−1 sin kt),

п=1

де k - ступінь точності гармонік (найчастіше від 1 до 4); t - час, виражений в радіанній мірі або градусах.

129

При вирівнюванні по ряду Фур'є періодичні коливання рівнів динамічного ряду виступають у вигляді суми декількох гармонік, нашарованих одна на одну. Так, наприклад, при k = 1 рівняння Фур'є матиме вигляд:

у€t = a0 + a1 cos t + a2 sin t.

Параметри рівняння теоретичних рівнянь визначаються за способом найменших квадратів.

Знайшовши часткові похідні функції ряду Фур'є і прирівнявши їх до нуля, отримаємо систему нормальних рівнянь, за якими можна вирахувати параметри:

а

0

=

∑ у

,

а

=

2 ∑ уcos t

,

а

2

=

2 ∑ уsin t

.

п

n

1

n

Вирівнювання радів динаміки використовують також для знаходження відсутніх членів раду за допомогою інтерполяції і екстраполяції.

Інтерполяцією називається в статистиці знаходження відсутнього показника усередині раду. Наприклад, на початок 2005 року в селянській спілці числилось 10 тис. голів овець. Потрібно визначити ймовірну чисельність овець на 1.04.2005 р.

Визначимо річний абсолютний приріст овець:

∆у = уі − у1 =12,4 −10,0 = 2,4 тис. голів.

Знаходимо середньомісячний абсолютний приріст:

∆у = ∑п∆у = 122,,40 = 0,2 тис. голів.

Якщо припустити, що кожного місяця абсолютний приріст овець був приблизно однаковий, тоді на 1.04.2005 р. в спілці числилось 10,6 тис. голів:

у€t(1.04.2005 p.) = y1 + ∆y t =10 + 0.2 3 =10,6 тис. голів.

Екстраполяцією в статистиці називається знаходження невідомих рівнів в кінці або на початку динамічного ряду. Звернемось до прикладу. Нехай в місті на 1.01.2005 р. проживало 200 тис. чол. Середньорічний темп приросту за попередні п'ять років склав 2 %. Потрібно визначити ймовірну чисельність населення міста на 1.01.2010 р.

130