readmsg

σ – середнє квадратичне відхилення;

π– величина відношення довжини кола до діаметру, π =3,1415;

е– основа натуральних логарифмів, е ≈ 2,7182 .

Для перевірки відповідності фактичного розподілу нормальному, потрібно частоти фактичного розподілу порівняти з теоретичними частотами, які характерні для нормального розподілу. Для цього потрібно за фактичними даними вирахувати теоретичні частоти кривої нормального розподілу. Тобто, фактичні криву розподілу потрібно вирівняти кривою нормального розподілу.

Після розрахунку теоретичних частот виникає потреба перевірки висунутої гіпотези про відповідність або невідповідність того чи іншого теоретичного закону розподілу, прийнятого в якості математичної моделі для емпіричного розподілу. При цьому виходять з того, що якщо відхилення між емпіричними і теоретичними частотами можна вважати випадковими, тоді гіпотеза про те, що прийнятий теоретичний розподіл відповідає даному емпіричному, не відхиляється.

Математична статистика дає декілька показників, за котрими можна судити, наскільки фактичний розподіл узгоджується з нормальним. Ці показники називаються критеріями узгодження. Критерій узгодження виступає у вигляді деякої величини, яка оцінює досліджуване явище з певною ймовірністю.

Статистика використовує критерії узгодження К. Пірсона ( χ2 ), А.Н.

Колмогорова ( λ ), П.С. Ястремського (L), В.І. Романовського (R), Р. Фішера ( Ζ), Вілконсона і ін.

Одними із основних і найбільш розповсюджених показників є критерій « χ2 »

і « λ ». Критерій « χ2 » запропонував англійський статистик К. Пірсон:

χ	2	= ∑	(f − f ′)2	,
			f ′

де f i f ′ – відповідно фактичні і теоретичні частоти.

81

По таблицях визначаємо імовірність досліджуваного значення χ2 в

залежності від числа ступенів вільності. Число ступенів вільності визначається за формулою: k = m – r,

де m – число груп; r – число обмежених зв’язків.

Якщо фактичне χ2 менше табличного (χф2 < χтабл2 . ), тоді при прийнятому рівні

значимості розходження між фактичними і теоретичними частотами вважаються випадковими, гіпотеза про закон розподілу приймається.

Приклад 4

Маємо дані про урожайність озимої пшениці господарств регіону

Урожай-						Кіль-
ність						кість																								( f − f	′	2
																		X − X
озимої						госпо-				Х		Х − Х					t =						f (t)		f ′	f	− f ′	( f − f ′)2			)
																		σ												f ′
пшениці,						дарств
ц/га							(f)
40-42						4				41		5,72					2,22						0,0339		2		2	4	2,00
42-44						7				43		3,72					1,44						0,1415		11		-4	16	1,45
44-46						28				45		1,72					0,67						0,3187		25		3	9	0,36
46-48						35				47		0,28					0,11						0,3965		31		4	16	0,52
48-50						16				49		2,28					0,88						0,2709		21		-5	25	1,19
50-52						6				51		4,28					1,66						0,1006		8		-2	4	0,50
52-54						4				53		6,28					2,43						0,0208		2		2	4	2,00
Разом:						100				х		х						х						х	100		х	х	8,02
		=		∑		хf	=	4672		= 46,72 ц/га;								σ =				6,6414 = 2,58 ц/га;
	Х
								100
				∑ f
				i					2							′			i				(t)= 77,5 0,0339 = 2
∑ f			σ =100 2,58 = 77,5 ;												f		= ∑ f σ				f						;
(χф2			< χтабл2					. ); k = m −r = 7 −3 = 4 ; χтабл2																. (р = 0,99)=13,28.
Висновок:									оскільки						фактичний									критерій			χф2	значно	менший

χтабл2 . (8,02<13,28), то із ймовірністю 0,99 можна вважати доведеним, що тип розподілу вибраний правильно, тобто, що розподіл господарств за врожайністю озимої пшениці є нормальним.

82

f	Фактична крива

Крива нормального розподілу

Мал. 2. Крива розподілу господарств регіону за урожайністю озимої пшениці

x

41 43 45 47 49 51 53

Критерій узгодження А.Н. Колмогорова ( λ ) оцінює близькість фактичного розподілу до теоретичного шляхом знаходження величини (D), тобто максимальної різниці нагромаджених частот фактичного і теоретичного розподілів.

Критерій А.Н. Колмогорова розраховується за формулою: λ = D n ,

де D – абсолютна величина максимальної різниці між нагромадженими частками (долями) фактичного і теоретичного рядів розподілу;

п – чисельність одиниць сукупності.

Якщо розподіл задано в частотах, тоді формула має вигляд:

	λ =		D .
			n
					Приклад 5
	Розрахунок критерія « λ »
Номер груп	Нагромаджені частоти			Відхилення
	Емпіричні S f		Теоретичні S f ′		S f − S f ′
1	4		2	2
2	11		13	2
3	39		38	1
4	74		69	5
5	90		90	0
6	96		98	2
7	100		100	0
				83

λ = D =	5 =	5	= 0,5.
n	100	10
По спеціальній таблиці ймовірностей		для критерія узгодження « λ »

знаходимо, що значенню λ = 0,5 відповідає ймовірність 0,9639, це означає, що з ймовірністю 0,9639 можна стверджувати, що розподіл ділянок за урожайністю є нормальним.

Критерій узгодження В.І. Романовського використовується для оцінки наближення фактичного розподілу до теоретичного.

R = χ2 −k . 2k

Приклад 6

R = χ22−kk = 8,022 −44 = 24,8284,02 =1,42 <3.

Якщо при дослідженні наближення фактичного розподілу до теоретичного величина цього виразу менша трьох (1,42<3), це дає підставу для ствердження про можливість прийняття теоретичного розподілу за закон даного розподілу. Тобто розподіл господарств за врожайністю озимої пшениці є нормальним.

Критерій узгодження Б.С. Ястремського (L) використовується для прямої відповіді на питання про міру розбіжності між фактичним і теоретичним розподілом:

	L =	χ2	−n	,
		2n	+4Q

де Q = (fi − fi′)2 – при кількості груп, менше 20(п<20), дорівнює 0,6.

fi (1− pi )

Приклад 7

	L =	χ2	−n	=	8,02 −	7	=	1,02	= 0,25.
		2n	+4Q		2 7 +4 0,6			4,02

Так як величина L<3 (0,25<3), то з ймовірністю 0,997 можна стверджувати, що розподіл господарств за врожайністю озимої пшениці є нормальним.

84

5.4. Графічне зображення рядів розподілу

Для графічного зображення рядів розподілу використовують такі графіки як полігон, гістограма, кумулята, огіва, крива концентрації (Лоренца), показникова крива, крива Парето, антимода.

Полігон – графічне зображення варіаційного ряду в прямокутній системі координат, при котрому величина ознаки відкладається на осі абсцис, частоти або частки (щільність розподілу) – на осі ординат.

Частіше полігон застосовується для зображення дискретного варіаційного ряду, однак може використовуватись і для інтервального ряду. Графік полігона має вигляд:

f

50

40

30

20

10

х

0

1

2

3

4

5

Мал. 3. Полігон

Гістограма – графічне зображення інтервального варіаційного ряду у вигляді прямокутників різної висоти, основа яких – відрізки осі абсцис, котрі відповідають інтервалам зміни ознаки. Висоти прямокутників пропорціональні при рівності інтервалів частотам або часткам інтервалів, а при нерівності – щільностям (абсолютним чи відносним). Графік гістограми має вигляд:

85

f
35
30
25
15
10
5
0
10	20	30	40	50	60	x

Мал. 4. Гістограма

Кумулятивна крива (кумулята) – графічне зображення варіаційного ряду, складене за нагромадженими частотами або частками.

f

50

40

30

20

10

0

2

4

6

8

10

12

x

Мал. 5. Кумулята

Огіва – графічне зображення варіаційного ряду, складене аналогічно кумуляті, але на осі ординат наносяться значення ознаки, а на осі абсцис – нагромаджені частоти.

86

х

10

8

6

4

2

0

10

20

30

40

50

60

x

Мал. 6. Огіва

Крива концентрації Лоренца – використовується в якості показника ступеня оцінки концентрації розподілу частот. Крива Лоренца має вигляд:

100

	80
Лінія	60											Лінія рівномірного
концепції	40											розподілу
розподілу	20
	0										100
			20		40		60		80

Мал. 7. Крива концентрації (Лоренца)

До інших видів графічного зображення рядів розподілу відносять: показникові криву, криву Парето і антимоду. Ці графіки мають вигляд:

f f f

0

x

0

x

0

x

87

Мал.8. Показникові крива

Мал.9. Крива Парето

Мал. 10. Антимода

Прикладом показникового розподілу є термін служби предметів, які вибувають ізза аварійності – довговічність посуду в підприємствах громадського харчування, тривалість телефонних викликів, час між простоями верстатів і т.д.

Крива Парето показує розподіл доходів у відповідності з їх величиною. Антимода – абсциса нижньої точки, розміщеної в центральній частині U –

подібного розподілу ознаки. По обидві сторони антимоди частоти зростають.

ЛЕКЦІЯ 6. СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ ВИВЧЕННЯ ВЗАЄМОЗВ’ЯЗКІВ

ПЛАН:

6.1.Зв’язки суспільних явищ і завдання їх статистичного вивчення.

6.2.Загальні методи вивчення зв’язків.

6.3.Кореляційний і регресійний методи аналізу зв’язку.

6.4.Нелінійні залежності.

6.5.Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз.

6.6.Непараметричні показники тісноти зв’язку.

6.1. Зв’язки суспільних явищ і завдання їх статистичного вивчення

Одним з найбільш загальних законів об’єктивного світу є закон зв’язку і залежності між явищами суспільного життя. Ці явища найбільш складні, оскільки вони формуються під дією багаточисельних, різноманітних і взаємозв’язаних чинників.

Усі явища суспільного життя існують не ізольовано, вони органічно зв’язані між собою, залежать одні від одних і знаходяться в постійному русі і розвитку. Розкриваючи взаємозв’язки і взаємозалежності між явищами можна пізнати їх суть і закони розвитку. Тому вивчення взаємозв’язків є основним завданням всякого статистичного аналізу.

Суспільні явища або окремі їх ознаки, які впливають на інші і обумовлюють їх зміну називаються факторними, а суспільні явища або окремі їх ознаки, які змінюються під впливом факторних, називаються результативними.

88

За характером залежності явищ розрізняють функціональні і кореляційні зв’язки.

Функціональним називається зв'язок, при якому певному значенню факторної ознаки завжди відповідає одне значення результативної ознаки. Функціональні зв’язки характеризуються певною відповідністю між причиною і наслідком.

Кореляційним називається зв'язок, при якому кожному значенню факторної ознаки, відповідає декілька значень результативної ознаки. В кореляційних зв’язках між причиною і наслідком немає повної відповідності, а спостерігається лише певне співвідношення.

За напрямом розрізняють зв’язки прямі і обернені.

Прямий зв'язок – це такий зв'язок, коли із зростанням факторної ознаки, результативна також зростає.

При оберненому зв’язку із збільшенням факторної ознаки результативна зменшується або, навпаки, із зменшенням факторної ознаки, результативна зростає.

За формою зв'язок ділиться на прямолінійний і криволінійний.

При прямолінійній кореляційній залежності рівним змінним середніх значень факторної ознаки відповідають приблизно рівні зміни середніх значень результативної ознаки.

При криволінійній кореляційній залежності рівним змінним середніх значень факторної ознаки відповідають нерівні зміни середніх значень результативної ознаки.

Статистичне вивчення взаємозв’язків розв’язує наступні завдання: а) визначаються форми зв’язку; б) вимірюється тіснота (сила) зв’язку;

в) виявляється вплив окремих чинників на результативну ознаку.

6.2. Загальні методи вивчення зв’язків

Зв’язки і залежності суспільних явищ вивчаються різними методами, які дають уявлення про їх наявність і характер. До цих методів відносять:

89

балансовий метод, метод порівняння паралельних рядів, графічний метод, метод аналітичних групувань, індексний метод, кореляційно-регресійний аналіз та ін.

Одним з поширених методів статистичного вивчення зв’язків суспільних явищ є балансовий метод, як прийом аналізу зв’язків і пропорцій в економіці.

Статистичний баланс являє собою систему показників, яка складається із двох сум абсолютних величин, зв’язаних між собою знаком рівності.

а+б=в+г Цю балансову ув’язку можна зобразити через балансове рівняння: залишок на

початок + поступлення = видатки + залишок на кінець. Наведена балансова рівність характеризує єдиний процес руху матеріальних ресурсів і показує взаємозв’язок і пропорції окремих елементів цього процесу.

Метод порівняння паралельних рядів полягає в тому, що отримані в результаті групування і лічильної обробки матеріали статистичного спостереження рангованими паралельними рядами за факторною ознакою. Паралельно записуються значення результативної ознаки. Це дає можливість, порівнюючи їх, простежити співвідношення, виявити існування зв’язку і його напрямок.

Покажемо застосування цього методу на прикладі. Нехай маємо такі дані про роботу десяти однотипних підприємств.

Номер підприємства		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вартість	основних
виробничих фондів, млн.		5,3	6,4	7,9	8,3	9,2	10,1	12,5	13,0	14,6	15,7
грн., (х)
Випуск продукції, млн.		5,8	7,6	8,7	9,1	11,9	12,3	13,8	14,0	15,2	17,6
грн., (у)

З таблиці видно, що із збільшенням вартості основних виробничих фондів випуск продукції зростає.

На основі порівняння паралельних рядів вираховують напрямок і силу зв’язку за допомогою коефіцієнта Фехнера і кореляції рангів Спірмена.

90