3.2.1.3 Наближення 1d-сплески
Найпростіша форма так званого материнського вейвлета волосся вейвлет Ψ0 (див. 3.17a):
Рис 3.16 Перетворення Фур'є для даних з прикладу 3.2.1.5, п = 3
Кожна сім'я вейвлет будується за допомогою певного мати-вейвлет наступним перетворенням (див рис 3.17.):
Рис. 3.17 Три волосся-сплески: (a) є матір'ю волосся вейвлет Ψ1, 0 з (3-61), (b) isΨ6, 0, і (c) isΨ4, 1 з (3-62)
Відомі вейвлет сім'ї гаусом, мексиканська капелюх, Мейер, і Морлі сімей. Тут ми хочемо застосувати волосся вейвлети, щоб продемонструвати, як працює наближення вейвлет. Якщо ми покладемо
в (3-62), отримаємо ортонормованій базис функцій в L2 (R):
Рисунок 3.18 показує в схематичне ніж в математично точною ШЛЯХ три функції від цієї основі. Використовуючи цю основу, ми можемо уявити будь-яку функцію F (X) з простору всіх двічі диференційовних функцій L2 (R) в наступному вигляді:
Після
деяких подальших кроках, рівняння (3-63)
стає
Рівняння (3-63?) Може бути спрощена в разі волос-сплесків від (3-61), щоб
Ставлення з (3-63) може бути використаний для наближеного розрахунку ваги CI, к, I, K ∈ Z в разі дискретного вейвлет згортки з hairwavelets, як показано в наступному прикладі.
Приклад 3.2.1.6 Розіб'ємо інтервал [0, 1] в 23 = 8 підінтервалів
Рис. 3.18 Три волосся-сплески від ортонормированном (3-62?): (А) isΨ0, 0, (б) isΨ1, 0, і (С) Ψ1 1
Вимірювання
проводяться в дев'яти вузлів цих
інтервалів. Таким чином, ми маємо:
Ми припускаємо, що ці Z-значення від невідомого аналітичної функції F (X). Почнемо з чисельного розрахунку ваг з використанням (3-63) і правила трапеції для відповідних інтегральних наближень на відрізку [0, 1]:
Аналогічно, ми отримуємо
Зважаючи обмеженого числа вимірів, далі розрахунок коефіцієнт фантастичних коефіцієнтами не має сенсу. Після установки, дані Z-значення, ми отримаємо
Рисунок 3.19 показує дискретний вейвлет наближення як (3-63) для даних вимірювань з даними, отриманими вагами:
Рис. 3.19 Дискретне вейвлет згортки для даних з прикладу 3.2.1.6
З коефіцієнт ,наведених в ( *.0,7’) це призводить до
Звичайно, є багато чисельні алгоритми для "оптимальних" вейвлет згорток: швидко, швидко, тверді, м'які, і так далі. Наша мета була проста пояснення основною ідеєю вейвлет наближенні. Більш детальна інформація про сплесків можна знайти, наприклад, в Strang і Нгуєн (1997) та Wickerhauser (1994).
Примітка: найменших квадратів не єдиний критерій згладжування, що є корисним для наближення підходів. Диркс (1993) обговорили розширення критерію згладжування для тензора продукції сплайнов-так званий варіаційний підхід, який має справу з наближень, де функціональна форма аналітичного функція не специфічною ред заздалегідь, але випливає з рішення варіаційної задачі.
3.2 Опис Удавана "Хаос" у вимірах за допомогою аналітичної функції
3.2.2 Стохастична точка зору: Випадкові процеси та корисні кількісні характеристики
З стохастичною точки зору ми вважаємо, що вимірювання відносяться до реалізації випадкового процесу, який ми відзначали в п. 3.1.2. Реалізація випадкового процесу можна наблизити аналітичної функції, але випадковий процес є більш складна модель. Часто говорять про випадкову функції щодо річних спостережень температури або інших часових вимірів, які інтерпретуються як випадкового процесу. Реалізація (ortrajectory) ofthis процес ISA кривої для кожного конкретного року. AValue з thisrandom процесу на acertain день випадкова величина. Де визначенню 3.1.2-1 для випадкових полями можуть бути адаптовані для випадкових функцій наступним чином: Де визначенню 3.2.2-1 сімейство випадкових величин Z (T) = {Zt, т ∈T} називається випадковий процес або випадкова функція. З Т = {0, 1, 2, ...} це випадковий процес називається дискретною. З T = [0, ∞), то позначається як безперервне.
Де визначенню 3.2.2-1 призводить до випадкових процесів. Як додаткова характеристика функція розподілу к-мірне може бути визначена для випадкових процесів: De визначенню 3.2.2-2 При будь-якому виборі t1, ..., Tk ∈ T загальний розподіл F (x1, ..., хк) = Р (Z (T1) <x1, ..., Z (TK) <хк) випадкового вектора називається функція розподілу к-мірне.
Примітка: Випадкові процеси з K-мерному нормальному розподілу називаються гауссових процесів.
Давайте обговоримо деякі важливі моделі слабо стаціонарні (тут, в коротких стаціонарних випадкових процесів). Ми говоримо про слабо стаціонарні випадкові процеси, якщо виконуються наступні дві вимоги є FUL заповненого:
Ці умови призводять до процесу з постійною середньою і ковариационной функції, які залежать тільки від відстані між двома випадковими значеннями з цього процесу.
Випадкові значення ε я = Z (Ti), Ti ∈ {0, 1, 2, ...} з thisprocess можна позначити як IID (Незалежно однаково розподілені) Вони слідують ідентичні функції розподілу F0 (х). Таким чином, в цьому випадку має місце наступне:
Рис3.20 показує реалізація цього процесу.Тут ми використовуємо нормальний розподіл з μ = 0, σ 2 = 1 для вимірювань на місцях з Т = {0, 1, 2, ...}. Примітка: можна просто-нестаціонарної-узагальнення цього процесу може бути побудована, якщо вимога однакового розподілу опускається. Наприклад, у нас є вимірювання, де середнє і дисперсія варіюватися залежно ОНТ. Таким чином, у нас є
Малюнок 3.20b показує реалізацію цього процесу. Тут ми використовуємо нормальний розподіл з μ = 0, σ 2 = ехр (-0.05t) для вимірювань на місцях з Т = {0, 1, 2, ...}.
Змінного середнього або МА (1) Процес
У цьому випадку випадкове значення в точці т є наступне зважена сума сусідніх випадкових значень процесу білого шуму (3-65):
Рисунок. 3.20 реалізацій стаціонарного процесу білого шуму (а) і нестаціонарного процесу білого шуму (б). Нормальний розподіл використовується з μ = 0, σ 2 = 1 в (а) і μ = 0, σ 2 = ехр (-0.05t) в (б)
Параметр є детермінованою сталою.Якщо ми припускаємо,
,
ми отримаємо:
MA(q) процес
Логічно узагальнення (1) процесу (М.А. 3-66) є МА (Q) процес з урахуванням до сусідньої значення процесу білого шуму. Це, очевидно, виражається таким чином:
Процес авторегресії AR (1)
В AR (1) обробляє випадкове значення при Т являє собою зважену суму попереднього випадкового значення процесу, тобто, Z (T-1), і величина ε процесу білого шуму (т). Це означає, що
АР (1) нерухомий, тільки якщо детерміновані постійні Ful Fi заповнює | | <1. Цей процес є випадковим модель простої лінійної регресії. Це також вірно, що
Рисунок 3.21 показує дві реалізації одного і того ж випадкового процесу AR (1). Початковий випадкова величина Z (0), як правило, поширюється з μ = 5, σ2 = 1. Для процесу Whitenoise μ = 0, σ2 = 0,5 вибираються. Ми використовуємо = 0,8, як константа.
ARMA(p, q) Процес
АRМА (P, Q) процес узагальнено АР (1), а також М. (д) -processes.Коли обидва підходи враховуються, це узагальнення дається
З постійними фул заповненням деякі вимоги цей процес є стаціонарним. Але як часові виміри дійсно бути проаналізовані? Ми обговоримо деякі підходи зі спеціальної статистичної бази, відомої як аналіз часових рядів. Термін "часовий ряд" описує тимчасову упорядковану послідовність кількісного
Рис. 3.21 Два реалізації одного і того ж випадкового процесу AR (1). Початковий випадкова величина Z (0) є гауссовским з μ = 5, σ2 = 1. Для прикладного процесу білого шуму μ = 0, σ2 = 0.5 вибраний. Ми використовуємо = 0,8, як постійна
вимірювання. Практичні приклади часових рядів можуть включати в себе температуру повітря, обсягів опадів, сили вітру, і ціни на акції. По-перше, ми припускаємо, що дані вимірювання можуть бути описані наступним простим адитивної моделі:
де М (Т) позначає детерміновану і невідомий тенденцію. Випадкова складова ε (T) описує залишки. Ми можемо оцінити цей невідомий тенденцію із простої лінійної форми М (Т) = a0 + a1t невідомі параметри а0 і а1 можуть бути оцінені з використанням методу найменших квадратів, що призводить до М (Т) = а0 + a1t , Оцінюючи ці параметри слід тим же курсом, що і в лінійних підходів регресії. Таким чином, для N вимірів (T1, Z (t 1)), ..., (Тп, Z (TN)) дає такі оцінки:
У більш узагальненому підході будь невідомо тенденція може бути описаний як так званий квазі-лінійної моделі М (Т) = а0 + a1m1 (т) + ... + ADMD (т), які можуть бути застосовані з будь-яким залежить від часу функція M1 (т), ..., мкр (т) з невідомими параметрами а0, а1, ..., оголошення, d≤N-1. Очевидно, що ці параметри повинні бути оцінені за допомогою методу найменших квадратів. Пам'ятайте, що це свого роду детермінованих
Після закінчення процесу оцінки що призводить до â 0, â 1, . . . , â d і відповідного напрям mˆ (t) = â 0+ â 1m1 (t)+ . . . + â dmd (t) ми можемо довести,” якість” або критерій згоди обраної моделі з урахуванням наступних характеристик:
.
Якщо параметр B буде близько одиниці, модель може бути прийнята лінійною (квазі-лінійною) .Зі статистичної точки зору B називається коефіцієнтом детермінації. Друга характеристика s2 полягає в оцінці дисперсії залишків для невідомого .Залишки, εˆ (t) = Z (t)−mˆ (t) = Z (t)− â 0− â 1m1 (t)− . . . − â dmd (t) , також повинні бути проаналізовані, і тепер ми обговоримо цю тему.
Для прикладу 3.2.2.1 розглянемо ті ж самі вимірювання, як у прикладі 3.2.1.6:
По-перше, ми припускаємо, що ці виміри дотримуючись адитивної моделі (3-73) і невідомого напряму, виконуючи:
Ми застосовуємо метод найменших квадратів для оцінки а0, а1 як у прикладі 3.2.1.1:
Що стосується часткових похідних по відношенню до â 0 і â 1 і значення цих похідних рівних нулю призводить до LSE де рішення з відповідних мінімізацій проблеми дається в â 1 â 0
Використовуючи дані значення і рішення, LSE (* ,3) призводить до
і â 0 = 0,0, â 1 = 0,9999 Таким чином, невідомий напрям може бути оцінений
m(t) =0.9999sin (2πt).
Тепер, ми можемо прийняти це квазі-лінійною моделлю чи ні?
Для того, щоб відповісти на це питання, ми повинні обчислити параметр B від (3-73) і оцінити його в порівнянні з одиницею.
Очевидно, що параметр В, що ми отримаємо , не дорівнює одиниці.
Квазі-лінійна модель (* 0,1) не забезпечує досконалої або навіть досить хорошої форми, так давайте спробуємо поліпшити її, припускаючи, що наступний підхід:
Знову ж таки, ми повинні застосувати метод найменших квадратів для оцінки 0, а1, а2 після загального принципу від п. 3.2.1:
Частково диференціюючи функцію в (* 0,6) по відношенню до a0, a1, a2 Для того щоб вирішити відповідну задачу мінімізації отримуємо наступне LSE
За допомогою заданих значень та рішення LSE (* 0,7) отримуємо
і â 0 = 0,0, â 1 = 0,9999, â 2 = 1,0.
Невідомий напрям може бути оцінений m (t) = 0.9999sin (2πt) + SIN (4πt).: Чи може це поліпшення квазі-лінійної моделі бути прийняте?
Для того, щоб відповісти на це питання, ми повинні знову розрахувати коефіцієнт детермінації B від (3-73) і порівняти його з оптимальним значенням, що дорівнює одиниці:
Параметр B зараз приблизно дорівнює одиниці, так квазі-лінійна модель (*.5) краща, ніж (*.1). Малюнок 3.22 показує прогнозований напрямок для квазі-лінійних моделей (* 0,1)і (* 0,5).
Примітка.
Вейвлет підходи і перетворення Фур'є можна також застосовувати для придатного напряму (оцінка напрямів); див. 3.2.1 для більш докладної інформації. Детальніше про випадкові процеси можна знайти в Чіанг (1980).
Є багато різних підходів, щоб забезпечити придатний напрям згладжування, і напрям усунення . Ми обговоримо деякі з них пов'язані з областями їх застосування.