- •Учреждение образования «высший государственный колледж связи» числовые и степенные ряды
- •«Высшая математика»
- •Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда
- •Сходящиеся и расходящиеся ряды
- •Основные свойства сходящихся рядов
- •Признаки сходимости числовых рядов
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Знакоположительные числовые ряды
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •, , …,, … (8)
- •Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости
- •Степенные ряды
- •, (15)
- •Разложение элементарных функций в степенные ряды
- •Приближенные вычисления
- •С помощью степенных рядов
- •Приближенное вычисление значений
- •Некоторых функций
- •Приближенное вычисление корней
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •Литература
- •Числовые и степенные ряды
- •«Высшая математика»
- •220114, Г. Минск, ул. Ф. Скорины 8, к.2
Степенные ряды
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.
Определение
Степенным рядом называется функциональный ряд
, (15)
члены которого являются произведениями постоянных ,, ...,,... на степенные функции от разностис целыми неотрицательными показателями степеней.
Точка x0 называется центром степенного ряда.
Пример 20
Ряд – степенной ряд с центром в точке.
Ряд – степенной ряд с центром в точке.
Ряд – функциональный ряд.
Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является важной задачей теории рядов. Ее решение основано на теореме Абеля.
ТЕОРЕМА 11 (Теорема Абеля)
Если степенной ряд сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех, удовлетворяющих неравенству
.
Если степенной ряд расходится при , то он расходится для всех, удовлетворяющих неравенству
.
Доказательство
1) Введем замену . Тогда получаем степенной ряд, точка сходимости которого, а неравенство, описывающее область сходимости, примет вид.
По условию числовой ряд сходится, следовательно общий член при, но любая последовательность, имеющая предел ограничена, т.е. существует такое, чтодля всех.
Рассмотрим общий член степенного ряда .
,
, так как .
Получили новый ряд , который является геометрической прогрессией со знаменателем, следовательно, он сходится. Так как, то из первого признака сравнения следует абсолютная сходимость исходного степенного ряда.
2) Вторую часть теоремы можно доказать аналогично.
Геометрическая интерпретация этой теоремы
Если ряд (1) сходится в точке , то он сходится и во всех точках, расположенных ближе к центру степенного ряда , чем. Если же ряд расходится при , то он расходится и во всех более удаленных от центра ряда точках.
Опираясь на теорему Абеля, можно доказать, что существует такое положительное число , что для всех, удовлетворяющих неравенству , ряд сходится абсолютно и расходится при всех , для которых .
Число называетсярадиусом сходимости ряда , а интервал –интервалом сходимости.
В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае ) или может превращаться в точку (в этом случае). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.
Пример 21. Найти интервал сходимости степенного ряда
.
Решение
Первый способ решения
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим признак Даламбера:
.
Если , то ряд сходится. Итак,,– интервал сходимости данного ряда. Поведение данного ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точкахи, исследуется отдельно.
При из данного ряда получаем ряд, который условно сходится.
При получаем гармонический ряд, который расходится.
Второй способ решения
Если для степенного ряда (2) существует , то радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле
В нашем случае и, поэтому
.
Так как – центр степенного ряда, то– интервал сходимости данного ряда.
Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше.
Итак, данный ряд сходится абсолютно при и условно при.