7. Собственные числа и собственные векторы матрицы.

8. Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду.

9. Системы линейных уравнений.

Система вида

(1)

называется системой n-линейных уравнений с n неизвестными, где aij – коэффициент системы при неизвестных, хj – неизвестные (переменные), bi – свободные коэффициенты системы.

Решение системы уравнений (1) наз. Картеж (х1,х2,…хn) из n чисел, при подстановке которых в систему (1) каждое уравнение превращается в тождество.

Решить систему (1) означает найти множество всех ее решений.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений не имеет.

Система, имеющая единственное решение, называется определенной, имеющая более одного решения – неопределенной.

Равносильными или эквивалентными наз. Системы уравнений, которые имеют одно и тоже множество решений.

10. Правило Крамера.

Метод решения систем лин. уравнений методом Крамера: Рассмотрим систему . Пусть m=n ,пусть матрица системыА-не вырождена det A≠0. Тогда система имеет единств. Решение, кот. Определяется по формулам Крамера: х_i= i= где △-определитель А, △_i-полученое из ⃓△⃓ заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пример:

A= B= X=

△79≠0

△₁==395, △₂==-158, △₃==237

X₁===5, X₂= ,

X₃=

11. Метод Гаусса.

Метод Гаусса заключается в сведении системы к треугольному виду путем исключения неизвестных при выполнении линейных преобразований над уравнениями системы, к которым относятся:

• умножение обеих частей уравнения на одно и то же число,

• сложение двух уравнений, одно из которых умножено на какое-либо число.

Алгоритм решения систем методом Гаусса:

1) составляем расширенную матрицу системы

2) с помощью элементарных преобразований приводим расширенную матрицу к треугольному виду.

3) если последняя строка полученной матрицы имеет только один шаг в ширину, то система несовместна. Если же не менее 2-х шагов в ширину, то система совместна.

4) если число строк равно числу неизвестных и последняя строка имеет два шага в ширину, то система имеет единственное решение. Это решение находится последовательно, начиная с последнего уравнения.

5) совместная система имеет бесконечное множество решений, если последняя строка имеет боле двух шагов в ширину или хотя бы одна из остальных строк имеет более одного шага в ширину.

12. Матричный метод решения систем линейных уравнений

m = n, det A ≠ 0

A×X = B

Умножаем систему 2 слева на матрицу А^-1

А^-1 × А × Х = А^-1 × В

Е × Х = А^-1 × В

Х = А^-1 × В

13. Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений

Совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

r (A)=r (Ар)