III Семестр

1. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется четным, либо кратно 5.

2. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма очков будет кратна четырем?

3. Из последовательности чисел 1,2,...,10 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность, что одно из них меньше 5, а другое больше 5?

4. На стене висят 15 картин, 8 из них в рамках. Наудачу снимают четыре картины. Какова вероятность того, что все четыре картины в рамках?

5. В урне 8 белых шаров и 2 черных шар. Вынули сразу три шара. Какова вероятность того, что все шары белые?

6. Из колоды в 36 карт одну за другой вытаскивают 2 карты. Какова вероятность, что среди них две дамы?

7. Из колоды в 36 карт одну за другой вытаскивают три карты. Какова вероятность того, что первой картой будет валет, второй – дама, третьей – король?

8. Из колоды в 36 карт вытаскивают три карты. Какова вероятность, что будет хотя бы одна карта бубновой масти?

9. Какова вероятность получить менее 10 очков, бросая две игральные кости?

10. Из 15 лотерейных билетов, среди которых есть 5 выигрышных, наудачу берут 4. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выигрышный?

11. В книжной лотерее разыгрывается 15 билетов, среди которых 5 выигрышных. Наудачу покупают три билета. Какова вероятность того, что среди них ровно два выигрышных?

12. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков не более трех?

13. Из колоды в 36 карт вытаскивают 5. Какова вероятность, что нет дам?

14. Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее двух бомб. Независимо сбросили три бомбы с вероятностями попадания 0.1, 0.2 и 0.3. Какова вероятность, что мост разрушен?

15. В ящике 5 белых, 6 красных и 4 черных шара. Какова вероятность того, что вынутые два шара окажутся разного цвета.

16. Из колоды в 36 карт вытаскивают 4. Какова вероятность того, что окажется три семерки и один туз?

17. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ИНТЕРНАЦИОНАЛ». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «ИНТЕРНАЦИОНАЛ».

18. На складе 30 изделий первого сорта и 20 второго. Найти вероятность того, что три взятых наугад изделия – второго сорта.

19. В ящике 10 красных и 5 белых шаров. Вынимаются наудачу два шара. Какова вероятность того, что шары будут одноцветными?

20. Студент знает 12 вопросов из 20. В билете содержится 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит хотя бы на один из них.

21. На стол бросается кубик, 4 грани которого окрашены. Какова вероятность того, что кубик упадет на стол окрашенной гранью.

22. В ящике имеется 12 деталей, среди которых 5 окрашенных. Наудачу извлечены 3 детали. Найти вероятность того, что все детали не окрашены.

23. Каждое из 6 предприятий выполняет месячный план с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что в конце месяца план выполнят, по крайней мере, 4 предприятия.

24. Пирамидка (цифры 1,2,3,4) подбрасывается 5 раз. Какова вероятность, что не выпадет ни одной четверки?

25. Какова вероятность того, что при семи бросаниях пирамидки (цифры 1,2,3,4) двойка выпадет не более четырех раз

26. Отдел технического контроля проверяет партию из 8 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,7. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

27. Товаровед осматривает 20 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

28. Произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,2. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы два раза.

29. В каждой из шести колод карт выбирается наудачу по одной карте. Найти вероятность того, что 2 карты окажутся красной масти, а 4 – черной.

30. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,2; 0,3 и 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

31. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 150 деталей, со 2-го – 200, а с 3-го – 250.

32. На сборку поступают детали с 3 автоматов. Первый дает 25%, второй – 30% и третий – 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат выпускает 0,2% нестандартных деталей, второй – 0,3%, третий – 0,4%. Найти вероятность того, что оказавшаяся нестандартной деталь изготовлена первым автоматом.

33. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: ,. Какова вероятность того, что абсцисса (x) точки попадания не меньше ординаты (y)?

34. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: ,. Какова вероятность того, что произведение координат точки попадания отрицательное?

35. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений пятерки.

36. В партии из пяти деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.

37. Найти дисперсию случайной величины Х – числа отказов элемента некоторого устройства в 8 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,7.

38. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,4.

39. Найти дисперсию случайной величины Х, принимающей значения 1,2 и 4 с вероятностями 0,2; 0,5 и 0,3 соответственно.

40. Производится один выстрел по самолету. Вероятность попадания - 0,2. Найти закон распределения и функцию распределения случайной величины Х числа попаданий в самолет.

41. Монета подбрасывается три раза. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа появлений решки.

42. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, если она принимает значения 121; 139; 155 и 178 с вероятностями 0,05; 0,1; 0,25 и 0,6 соответственно.

43. Две игральных кости одновременно бросают 2 раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений нечетного числа очков на двух игральных костях.

44. Случайная величина Х принимает значения 3; 5; 8; 10 с вероятностями 0,1; 0,2; 0,4 и 0,3 соответственно. Найти математическое ожидание и функцию распределения Х.

45. В урне 5 белых и 15 черных шаров. Вынули 2 шара. Случайная величина X – число вынутых белых шаров. Построить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию величины X.

46. Построить закон распределения случайной величины X – числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания каждый раз равна 0.2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины X.

47. Построить закон распределения для величины X, равной числу выпадений очков кратных четырем при трех бросаниях игральной кости. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины X.

48. Вероятность успешной сдачи данного экзамена для каждого из трех студентов равна 0.7. Пусть X – случайная величина, равная числу студентов сдавших экзамен. Построить закон распределения величины X, вычислить математическое ожидание и дисперсию.

49. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна ⅛. Пусть X – случайная величина, равная числу невыигрышных билетов из трех. Найти закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию.

50. Из 10 приборов, испытываемых на надежность, 5 высшей категории. Наугад выбираются 4 прибора. Случайная величина X - число приборов высшей категории среди отобранных. Найти закон распределения Х, математическое ожидание и дисперсию.

51. Бросают 2 игральные кости. Пусть , если сумма очков нечетна, и, если сумма четна, а, если произведение очков четно, и, если произведение нечетно. Составить совместный закон распределения величин (X, Y), построить прямую регрессии X на Y.

52. Есть правильный жетон, у которого на одной стороне стоит цифра 1, а на другой – 0, и есть правильный кубик, у которого на противоположных гранях написаны цифры 1, 2 и 3 соответственно. Жетон и кубик бросаются на стол. Пусть X – очки на жетоне, Y – на кубике. Составить совместный закон распределения величин (X, Y), построить прямую регрессии X на Y.

53. Есть правильная пирамидка, у которой на гранях написаны цифры 1, 2, 3, 4, и есть правильный кубик, у которого на противоположных гранях написаны цифры 1,2 и 3 соответственно. Пирамидку и кубик бросают на стол. Пусть X – сумма очков на пирамидке и кубике, Y – разность очков. Составить совместный закон распределения величин (X, Y), построить прямую регрессии Y на X.

54. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Известно, что с вероятностью 0.15 она принимает значения меньше 1.06, а с вероятностью 0.1 больше 3.38. Определить математическое ожидание и дисперсию величины X.

55. Найти вероятность того, что случайная величина Х, имеющая нормальное распределение с параметрами ,, попадет в интервал (1; 7)

Зав. кафедрой высшей математики и информационных технологий Э.В. Мусафиров