7

Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника

Кафедра алгебри та геометрії

Р. І. Собкович, К. М. Копорх

Задачі та вправи для практичних занять з аналітичної геометрії

Частина 1.

Геометричні образи рівнянь першого степеня із двома та трьома змінними

Івано-Франківськ

2011

Зміст

1. Практичне заняття № 1. Вектори. Лінійні операції над векторами.

2. Практичне заняття № 2. Лінійна залежність та незалежність векторів. Базис. Координати вектора.

3. Практичне заняття № 3. Загальна афінна та прямокутна декартова системи координат. Координати точки. Поділ відрізка у даному відношенні.

4. Практичне заняття № 4. Скалярний добуток векторів.

5. Практичне заняття № 5. Векторний добуток двох векторів.

6. Практичне заняття № 6. Мішаний добуток трьох векторів.

7. Практичне заняття № 7. Контрольна робота №1.

8. Практичне заняття № 8. Різні способи задання прямої на площині. Дві прямі на площині. Кут між прямими. Умова перпендикулярності.

9. Практичне заняття № 9. Відстань від точки до прямої. Геометричний зміст знаку виразу . Пучок прямих.

10. Практичне заняття № 10. Різні способи задання площини. Відстань від точки до площини. Геометричний зміст знаку виразу . Дві площини в просторі.

11. Практичне заняття № 11. Різні способи задання прямої в просторі. Взаємне розташування двох прямих.

12. Практичне заняття № 12. Пряма та площина в просторі. Рівняння спільного перпендикуляра. Відстань між двома мимобіжними прямими.

13. Практичне заняття № 13. Контрольна робота №2.

Практичне заняття № 1. Вектори. Лінійні операції над векторами.

Основні теоретичні факти.

Вектором називається напрямлений відрізок.

Основними характеристиками, які визначають вектор, є його довжина та напрям.

Довжиною (модулем) вектора називають довжину відрізка, яким він зображається. Позначають довжину вектора символом . Якщо довжина вектора дорівнює одиниці, то його називають одиничним або ортом. Якщо довжина вектора дорівнює 0, то його називають нульовим і позначають .

Під напрямом вектора розуміють напрям променя .

Два вектори, які мають однакові довжини та протилежні напрямки, називають протилежними.

Два вектори називають колінеарними, якщо вони паралельні деякій прямій.

Три вектори називають компланарними, якщо вони паралельні деякій площині.

Два вектори називають рівними, якщо вони однаково напрямлені та мають рівні довжини.

Від будь-якої точки площини чи простору можна відкласти вектор, рівний даному і причому тільки один.

Сумою векторів та називають вектор, проведений з початку вектора до кінця вектора при умові, що кінець вектора співпадає з початком вектора (рис. 1).

Для довільних трьох точок та , згідно із означенням суми векторів, виконується рівність .

Означений таким чином спосіб додавання векторів називають “правилом трикутника”. Якщо вектори та відкласти із спільного початку та на одержаних відрізках, як на сторонах, побудувати паралелограм, то вектор, який співпадає з діагоналлю та має початок у спільному початку даних векторів, буде їхньою сумою (рис. 2). Такий спосіб знаходження суми векторів називається “правилом паралелограма”.

Для довільного трикутника виконується рівність . Навпаки, якщо дано три вектори та , серед яких є хоча б два не колінеарних, то із них можна утворити трикутник тоді і тільки тоді, коли виконується рівність , або коли один із векторів є сумою двох інших.

При перетвореннях виразів із векторами використовують наступні властивості операції додавання:

1) (комутативність додавання або переставна властивість);

2) (асоціативність додавання або сполучна властивість);

3) ;

4) .

Різницею векторів та називають вектор , який є розв’язком рівняння . Його записують у виді . Побудова вектора, який є різницею векторів та , здійснюють наступним чином: вектори та відкладають із спільного початку, а потім, сполучивши кінці векторів , та вибравши напрям шуканого вектора від кінця до кінця вектора , одержують вектор (рис. 3). Різницю векторів та можна одержати, додаючи вектори та (рис. 4).

Добутком вектора на число називають вектор , який задовольняє наступним умовам:

1) довжина вектора ,

2) , якщо та , якщо .

Множення вектора на число має ряд властивостей:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) (асоціативність множення відносно числових множників та );

6) (дистрибутивність множення відносно числового множника);

7) (дистрибутивність множення відносно векторного множника).

Якщо , то вектор одиничний і однаково напрямлений із вектором .

Якщо задані два ненульові вектори та , то вектори та матимуть однакові довжини . Вектор + задає напрям бісектриси кута, утвореного векторами та , оскільки він матиме напрям діагоналі паралелограма, побудованого на векторах і , який є ромбом.