Приклади розв’язання задач.
Задача 1. Довести, що точка є центром ваги трикутника (точкою перетину медіан) тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .
Доведення. Нехай точка є точкою перетину медіан та (рис. 5). Тоді , де – діагональ паралелограма . Оскільки точка – середина відрізків та , то . За відомою властивістю медіан трикутника , тому . Отже, .
Навпаки, нехай виконується рівність , тобто . Тоді , де – середина відрізка . З рівності випливає, що точки та лежать на одній прямій, а також, що – медіана трикутника. Оскільки , то точка є точкою перетину медіан.
Задача 2. У п’ятикутнику ABCDE точки K,L,M,N – середини відповідно сторін AB, BC, CD та DE, а точки R і S – середини відрізків KM та LN. Довести, що та (рис. 6).
Доведення. Введемо позначення: . Тоді
.
Знайдемо вектор .
.
Оскільки
та
,
то
.
Із одержаної векторної рівності випливає, що та .
Задача 3. В опуклому чотирикутнику точки та – відповідно середини сторін і . Довести, що якщо , то .
Доведення. Очевидно, що та . Додавши одержані рівності, дістаємо , звідки . Але за умовою . Рівність можлива тільки тоді, коли вектори та спів напрямлені, тобто, коли відрізки та паралельні. Отже, .
Задача 4. Що можна сказати про два ненульові вектори та , для яких виконується одна із рівностей: 1) , 2) , 3) ?
Розв’язання. 1). Вектори та співпадають із діагоналями паралелограма, побудованого на векторах та . Оскільки, згідно із умовою задачі, довжини цих діагоналей рівні, то паралелограм є прямокутником. Отже, вектори та перпендикулярні. 2)-3). Із нерівності трикутника випливає, що вектори та колінеарні. Рівність 2) можлива тільки у випадку, коли дані вектори співнапрямлені. Рівність 3) виконується при умові, коли вектори напрямлені протилежно, причому довжина вектора більша або дорівнює довжині вектора .
Задачі для самостійного розв’язання.
-
За заданими векторами та побудувати вектори:
1) ;
2)
3)
4)
-
Нехай - паралелограм і - точка перетину діагоналей, і - середини паралельних сторін та Побудуйте вектори:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
-
У вектор та вектор Побудувати вектори ; ; ; .
-
Нехай - паралелепіпед, - точка перетину діагоналей, - середини відповідно сторін і За допомогою вказаних точок та точок, які є вершинами паралелепіпеда, записати вектори, рівні наступним векторам:
а)
б)
в)
г)
-
Нехай - паралелограм та - точка перетину діагоналей, і - середини паралельних сторін та Побудуйте вектори:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
-
Як зміниться вектор, якщо його помножити на число , якщо:
1) ;
2) ;
3)
4) ?
-
Задано вектор , довжина якого 7. Знайти вектор, напрямлений протилежно до , довжина якого 5.
Дано три довільні точки . Побудувати точку таку, щоб виконувалася рівність .
-
Про вектори та відомо, що , Обчислити:
-
Довести, що для довільних векторів та виконуються співвідношення:
1) ;
2) .
При якій умові виконується рівність?
-
При яких умовах мають місце наступні співвідношення:
1) =
2) >
3) <
-
У кожному з випадків встановити, чи існують вектори, для яких одночасно виконуються нерівності:
а) < та <
б) > та >
-
При якій умові вектор ділить пополам кут між векторами та ?
-
При якій умові вектори та колінеарні?
-
У трикутнику вектори та напрямлені по медіанах. Знайти їхню суму.
-
Медіани трикутника перетинаються у точці Обчислити довжину вектора .
-
Обчислити довжину вектора, який є сумою всіх векторів з початком у центрі та кінцями у вершинах правильного многокутника.
-
Довести, що існує трикутник, сторони якого рівні і паралельні медіанам даного трикутника.
-
Точки - середини сторін . Довести, що , де - довільна точка простору.
-
Задано паралелограм та довільна точка простору Доведіть, що
-
Відомо, що - довільні точки простору, точка - середина відрізка і точка - середина відрізка . Довести, що .
-
Для деякого просторового чотирикутника та довільної точки простору виконується співвідношення Довести, що - паралелограм.
-
Задано деякий чотирикутник . Точка - середина сторони і точка - середина Відомо, що має місце співвідношення Доведіть, що чотирикутник - трапеція або паралелограм.
-
Довести векторним методом теореми про середні лінії трикутника та трапеції.
-
На кожній із двох прямих вибрано по три точки та , причому виконується рівність . Довести, що середини відрізків , , лежать на одній прямій.
-
Через середину ребра та центр ваги основи піраміди проведено пряму, яка перетинає площину у точці . Довести, що .