Вакарчук І.О. Квантова механіка

Ми маємо не що iнше, як добуток матриць.

Отже, хвильову функцiю можна розглядати як матрицю:

hq1

|A1i

hq1

|A2i

. . .

hq1|Ani

q

A

q

A

. . .

q

A

ψA(q) = hq|Ai =

h 2| 2i

...

h 2| ni

h 2| 1i

.

m

1

· · ·

m

n

· · ·

i

· · ·

h

|

. . .

. . .

h

| i

q A

q A

Якщо iндекс стану фiксований A = A1, то

	hq1			|A1i
		q			A
hq|A1i =	.					1i
	h		2	|..					.
		q	m			A	1
					|			i
	h

Кажуть, що хвильова функцiя ψA задана у власному пред-

ставленнi, коли в ролi змiнних виступають власнi значення цього

ж оператора ˆ

A

ψA(A′) = hA′|Ai.

З iншого боку,

Z

hA|A′i = ψA(q)ψA′ (q)dq = δAA′ .

Отже,

hA|A′i = δAA′ ,

тобто хвильова функцiя у власному представленнi є одиничною матрицею.

Наприклад, якщо фiзична величина може набувати лише два значення A1, A2, то хвильова функцiя у власному зображеннi

це матриця-стовпчик з двома елементами:

A 1 =

h1|1i

=

1

,

A 2 =

h1|2i

=

0

.

h | i

h2|1i

0

h | i

h2|2i

1

141

У подальшому викладi ми не раз будемо зустрiчатись iз цими векторами станiв.

Запишемо в дiракiвських позначеннях умову повноти системи функцiї {. . . , ψn(q), . . .}, тобто подамо розклад довiльної функцiї ψ(q) = hq|ψi в ряд за функцiями ψn(q) = hq|ni:

X

hq|ψi = hq|nihn|ψi,

n

у “старих” позначеннях коефiцiєнт розкладу hn|ψi ≡ Cn. Символi-

чно в операторнiй формi цю умови повноти можна записати так:

X

|nihn| = 1.

n

Дiракiвськi позначення є дуже зручними. Вони економнi у використаннi лiтер для позначень хвильових функцiй, оскiльки зосереджують увагу лише на головному: iндексах станiв та iндексах зображень. Пiсля кiлькох вправ до них звикаєш, i тому надалi ми використовуємо їх нарiвнi зi звичайними позначеннями.

§ 13. Рiзнi представлення операторiв. Матрицi операторiв

Дотепер ми розглядали дiю операторiв на хвильовi функцiї, що залежать вiд координат частинки, тобто хвильовi функцiї були заданi в координатному представленнi. Отже, i оператори були заданi в координатному представленнi: наприклад, оператор iмпульсу pˆ = −i~ d/dx. Розглянемо, як перетворюються операто-

ри при переходi до iншого представлення. Ми вводили поняття

оператора ˆ через потребу знаходити середнi значення фiзичної

A

величини A. Тому й перехiд до iншого зображення здiйснюємо,

виходячи з означення оператора.

		ˆ
Нехай ми маємо оператор A i шукаємо його середнє значення
в станi ψ(q):	Z
hAi =		ψ (q)Aψˆ (q)dq.

Розкладемо ψ(q) в ряд за довiльною повною системою ϕn(q):

X

ψ(q) = Cnϕn(q),

n

142

	X X	CmCn Z		X X
hAi =	m n		ϕm	(q)Aϕˆ n(q)dq =	m n	CmCnAmn ,
де числа		Amn = Z
				ϕm(q)Aϕˆ n(q)dq
		ˆ	на хвильовi функцiї ϕn(q). Бачимо, що
задають дiю оператора A

сукупнiсть чисел Amn є повноважним представником спостережуваної величини A, причому система значень Amn є двовимiрною, тобто має два значки, хоч iндекси (m, n) самi можуть бути бага-

товимiрними. Таким чином, для обчислення середнього значення нам достатньо знати табличку Amn. Цi величини утворюють ма-

ˆ	ˆ	в “n-
трицю оператора A, Amn матричнi елементи оператора A
	ˆ
представленнi”. Матриця Amn повнiстю задає оператор A, оскiль-

ки нею визначена його дiя на будь-яку функцiю. Справдi, маємо,

що
	ˆ	ˆ
	Aψ(q) =	CnAϕn(q),
	n
	X

ˆ
а нову функцiю Aϕn(q) знову розкладаємо в ряд
ˆ		X
Aϕn(q) =		Amnϕm(q),
		m
i отже,	X X CnAmnϕm(q).
Aψˆ (q) =
	m	n

Таким чином, щоб знайти дiю оператора ˆ на довiльну функцiю

A

ψ(q), нам достатньо обчислити його матричнi елементи Amn на хвильових функцiях {. . . , ϕn(q), . . .}, що утворюють повну систе-

му. Про цю систему говорять як про базисну систему функцiй. Якщо iндекс f, що нумерує функцiї ϕf (q) базисної системи, тобто

	ˆ	на функцiю ψ(q)
iндекс стану, є неперервним, то дiю оператора A
записуємо через iнтеґрали:
ψ(q) = Z	df C(f)ϕf (q),

ZZ

ˆ ′

Aψ(q) = df df C(f)Af′f ϕf′ (q).

143

Домовимось про дiракiвське позначення матричних елементiв

	оператора:	X
	ˆ
		ˆ
	Amn = hm|A|ni =	hm|qiAhq|ni.
		q

У цих позначеннях розклад функцiї ψ(q) = hq|ψi в ряд за повною системою ϕn(q) = hq|ni виглядає як

X

hq|ψi = hq|nihn|ψi,

n

(пригадуємо, що в старих позначеннях hn|ψi ≡ Cn) i дiю операто-

ˆ	на ψ(q), тобто
ра A
	ˆ	ˆ
	Aψ(q) = hq|Aψi,

записуємо так:

X X

h | ˆ i h | ih | ˆ| ih | i q Aψ = q m m A n n ψ .

mn

Для неперервних iндексiв стану

ZZ

h | ˆ i ′ h | ′ih ′| ˆ| ih | i q Aψ = df df q f f A f f ψ .

Для iлюстрацiї сказаного обчислимо, наприклад, матрицю оператора координати x в iмпульсному p-представленнi:

Z

xp′p = hp′|xˆ|pi = dxhp′|xixhx|pi

∞ e−ip′x/~

eipx/~

=

Z

√

x

√

dx =

2π~

2π~

−∞

Отже,

xp′p = p′ xˆ p

=

~ d

i dp

h

| | i

~ d			∞ ei(p−p′)x/~
			Z		dx.
i dp				2π~

−∞

δ(p − p′).

144

Якщо задана хвильова функцiя в iмпульсному зображеннi C(p) = hp|Ci, то результат дiї оператора координати є таким:

Z

xCˆ (p) = hp|xCˆ i = dp′hp|xˆ|p′ihp′|Ci

Z

=dp′hp′|Ci~i dpd ′ δ(p′ − p) = (iнтеґруємо частинами)

Z

= dp′δ(p′ − p)i~dpd ′ hp′|Ci = i~dCdp(p) .

Отже, оператор координати в iмпульсному зображеннi

xˆ = i~dpd .

Оператор у власному зображеннi представляється дiагональною матрицею:

X	X
ˆ	hm|qihq|ni = Anhm|ni = Anδmn.
Amn = hm|qiAhq|ni = An
q	q

Наприклад, матриця оператора координати в координатному

представленнi

hx′|xˆ|xi = xδ(x − x′),

а матриця оператора iмпульсу в iмпульсному представленнi

hp′|pˆ|pi = pδ(p − p′).

Розглянемо добуток операторiв i знайдемо його матрицю

ˆ ˆ

(AB)mn

ˆ ˆ

(AB)mn

h| ˆ ˆ| i

=m AB n

X	ˆ ˆ	X	X	ˆ
=	hm|qiABhq|ni =		hm|qiA	hk|B|nihq|ki
q		q	k
X X		ˆ	X	ˆ	ˆ
=	ˆ					|ni,
	hm|qiAhq|kihk|B		|ni = hm|A|kihk|B
k	q		k

X

=AmkBkn.

k

145

Ми отримали правило множення матриць.

Знайдемо тепер умову ермiтовостi операторiв у матричнiй формi. Маємо

Amn = Z		ϕm(q)Aϕˆ n(q)dq = Z	˜
			ϕn(q)Aϕˆ m(q)dq,
Amn	= Z	ϕn(q)Aˆ ϕm(q)dq = Z	ϕn(q)Aˆ+ϕm(q)dq.
		˜
ˆ+	ˆ
Якщо A	= A, то
		Amn = Anm
це i є умова ермiтовостi операторiв у матричнiй формi.
			ˆ	в мат-
Розглянемо рiвняння на власнi значення оператора A
ричнiй формi:
		ˆ
		Aψ(q) = Aψ(q).

Розкладемо ψ(q) у ряд за довiльною повною ортогоналiзованою системою функцiй ϕn(q),

X	X	X
ψ(q) =	Cnϕn(q),	ˆ
		CnAϕn(q) = A Cnϕn(q),
n	n	n

множимо злiва на ϕm(q), iнтеґруємо за q й отримуємо

XX

	CnAmn = A Cnδmn,
n	n

тобто систему лiнiйних однорiдних алґебраїчних рiвнянь на визначення невiдомих коефiцiєнтiв Cn:

X

Cn(Amn − Aδmn) = 0.

n

Умова нетривiальностi її розв’язку:

detkAmn − Aδmnk = 0.

Ця умова й визначає можливi значення A, при яких рiвняння на

власнi значення має нетривiальний розв’язок. Отже, коренi цього

146

рiвняння7 i дають власнi значення. Це рiвняння не що iнше, як рiвняння на знаходження власних значень матрицi Amn.

Таким чином, робимо висновок, що всi дiї над операторами, якi заданi в матричнiй формi, є дiями над матрицями.

Приклад 1. Оператор спiну. Розгляньмо оператор σˆ = iσˆx + jσˆy + kσˆz, що

задається матрицями Паулi:

σˆx =	0	1	! , σˆy =	0	−i	! , σˆz =	1	0		! .
	1	0		i	0		0	−	1

З множником ~/2 вiн є оператором власного моменту iмпульсу, тобто спiну, наприклад, електрона. Покажiмо, що вiн є ермiтовим. Маємо для y-

компоненти

˜	0 i		+	˜		=	0	−i	! .
σˆy =	−	i 0 !	, σˆy	= σˆy			i	0
Очевидно, що (ˆσy)mn = (ˆσy )nm			i оператор σˆy є ермiтовим. Аналогiчно для
iнших компонент, отже σˆ + = σˆ.

Легко перевiрити також, що

σˆxσˆy = iσˆz , σˆz σˆx = iσˆy , σˆyσˆz = iσˆx.

Крiм того, σˆx2 = σˆy2 = σˆz2 = 1, тому розкладом в ряд Тейлора переконуємося,

що

eiασˆx = cos α + iσˆx sin α,

α число. Таку ж рiвнiсть маємо для σˆy , σˆz.

Власнi значення λ оператора σˆy визначаємо з рiвняння

det||(ˆσy )mn − λδmn|| = 0,

або			i	−λ		= 0,
			−λ	i
				−
тобто	2
λ		= 1,			λ = ±1.

Власнi значення операторiв σˆx, σˆz також дорiвнюють ±1.

Приклад 2. Оператор Адамара. Цей оператор визначаємо лiнiйною ком-

бiнацiєю:	√
ˆ

H = (ˆσx + σˆz)/ 2,

7Воно вiдоме як секулярне, або вiкове, рiвняння. Назва походить з небе-

сної механiки, де такi рiвняння визначають вiковi змiщення параметрiв орбiт планет.

147

де σˆx, σˆz матрицi Паулi. Очевидно, що															!
					Hˆ			1			1	1
						=	√				1			1
									2			−
						ˆ +					ˆ
є самоспряженим оператором, H								= H. Крiм того, вiн є унiтарним, оскiльки
1		1	1		!	1		1			! =	1			2	0	! =	1	0	!
Hˆ 2 =		1		1		1				1					0	2		0	1
	2		−					−				2

i отже, ˆ 2

H

знаходимо

або ˆ ˆ −1, i нарештi, ˆ + ˆ −1. Його власнi значення

= 1 H = H H = H λ iз секулярного рiвняння

	√
	λ 2		1			= 0,
	1 −1		1 λ√2
			− −

звiдки λ = ±1. Оператор Адамара цiкавий тим, що вiн здiйснює елементарнi

дiї, з яких складається ланцюг операцiй у так званому квантовому комп’ютерi.

Приклад 3. Енерґетичнi рiвнi полiенового ланцюжка. Матричнi елементи

Hn,n′ гамiльтонiана, який описує стан електронiв на π-зв’язках в органiчних

молекулах зi структурою ланцюжка (див. рис. 17) iз системою одинарних та подвiйних суперпозицiйних зв’язкiв, що чергуються (етилен, бутадiєн, . . . ), задаються рiвняннями:

Hn,n = E0, Hn,n±1 = A,

решта Hn,n′ = 0; n номер зв’язку (n = 1, . . . , N), де E0 енерґiя електрона на цьому зв’язку, A обмiнна енерґiя.

Рис. 17. Полiеновий ланцюжок.

Секулярне рiвняння, з якого визначаємо рiвнi енерґiї молекули, має ви-

гляд:
		E0 − E	A	0	...	0
			−	−
		A	E0 E		...	0
				A
		0	A	E0	E ...	0
			.
	.							= 0.
	.		.
			.
	.
						−
		0	0	...		E0 E

148

Уведiмо змiнну x = (E − E0)/A i перепишiмо визначник, попередньо подiливши його на AN , так:

		−x	1		0		0 ...
			−		−
		1		x			0 ...
					1
		0	1			x	1 ...
N =			.		.		.	.			= 0.
	.
	.		.		.		.	.
								−
			.		.		.
	.							.
			.		.		.		x
	.

Розкладаючи N за елементами першого стовпчика, отримуємо два додан-

ки, у другому з яких робимо розклад за елементами першого рядка з одним доданком:

N = −x N−1 − N−2.

Ця рекурентна формула породжує полiноми Чебишова (Δ0 = 1):

1 = −x, 2 = x2 − 1, 3 = −x3 + 2x, 4 = x4 − 3x2 + 1, . . . .

Легко зауважити, що при x = −2 cos θ

N = sin[(N + 1)θ] . sin θ

Справдi, оскiльки

sin[(N + 1)θ] = sin(Nθ) cos θ + cos(Nθ) sin θ,
sin[(N − 1)θ] = sin(Nθ) cos θ − cos(Nθ) sin θ,
то сума цих виразiв дає рекурентне рiвняння
sin[(N + 1)θ] + sin[(N − 1)θ] = 2 cos θ sin(Nθ),
яке збiгається з наведеним вище спiввiдношенням, що зв’язує		N з	N−1 та
N−2. Тому покладаємо	N = f(θ) sin[(N + 1)θ], причому з умови		0 = 1
знаходимо множник f(θ) = 1/ sin θ, а умова 1 = −x дає x = −2 cos θ.
Отже, тепер умова	N = 0 дає (N + 1)θ = kπ, k = 1, 2,	. . . , N. Таким

чином, x = −2 cos[kπ/(N + 1)], або у явнiй формi для рiвнiв енерґiї маємо:

kπ Ek = E0 − 2A cos N + 1 .

Зокрема для етилену (N = 2, k = 1, 2) маємо E1 = E0 − A, E2 = E0 + A (див.

приклад 3 у §3).

149

Для молекули бутадiєну N = 4 i рiвнi енерґiї є такими:

√

π

5

+ 1

E1

=

E0 −

2A cos

= E0 − A

,

5

2

−

5

−

√

2

E2

=

E0

2A cos

2π

= E0

A

5 −

1

,

√

E3

=

E0

−

2A cos

3π

= E0

+ A

5 −

1

,

5

2

√

+

E4

=

E0 −

2A cos

4π

= E0

+ A

5

1

.

5

2

За словами Фейнмана, яких лише чудес не буває в математицi: золотий пе-

рерiз грекiв дає найнижче значення енерґiї бутадiєну (див. Вiдступ до цiєї

√

глави). Отже, “Божественна пропорцiя” Φ = ( 5 + 1)/2 не дiлить наш свiт на

квантовий та класичний, вона виявляє себе в рiзноманiтних явищах з однаковою силою як на атомних масштабах, так i в масштабах макроскопiчних це також є свiдченням єдностi нашого свiту.

Повна енерґiя чотирьох електронiв на π-зв’язках

√

E = 2E1 + 2E2 = 4E0 − 2 5A

на двох нижнiх рiвнях маємо по два електрони з протилежно напрямленими спiнами. Якщо розглядати молекулу бутадiєну як систему з двома iзольованими подвiйними зв’язками, то повна енерґiя E = 4E0 − 4A. Отже, коли

електронам “дати волю” i дозволити рухатись по всiх зв’язках, то енерґiя з
розрахунку на один електрон понижується на величину	√
	= A( 5/2 − 1).

Маємо iлюстрацiю зв’язку принципу суперпозицiї з принципом мiнiмальностi енерґiї основного стану.

§14. Квантова механiка теорiя лiнiйних операторiв

угiльбертовому просторi

Задача квантової механiки передбачення можливих результатiв наступних вимiрювань на основi попереднiх вимiрювань та ймовiрностi, з якою отримується кожен цей результат. Самi вимiрювання можна розглядати як деякi операцiї над фiзичними системами. Тому i математика, яка описує цi операцiї на мiкроскопiчному рiвнi, мусить бути математикою операторiв.

Фундаментальний принцип квантової механiки це принцип суперпозицiї. Тому стани квантовомеханiчної системи повиннi бути такими математичними величинами, якi можна додавати, множити на комплекснi числа i дiставати величини такого ж типу. Це

150