Вакарчук І.О. Квантова механіка

Пiдставляючи прийнятий вигляд функцiї ψ(x, t), отримуємо

−i~ax˙ 2 − i~b˙	= −	~2	(2ax)2 − 2a .
		2m

Прирiвнюючи злiва i справа коефiцiєнти при однакових степенях x, маємо:

	2~
a˙ =		mi	a2	,
	i~

b˙ =

m

a,

причому при t = 0 a = a0,

b = b0. Iнтеґруємо перше рiвняння:

−

1

2~

t = 0, const = −

1

=

t + const,

.

a

mi

a0

Отже,

a =

a0

=

a0

1

2i~

a0t .

2i~

~a

t

2

1 +

−

m

1 + m a0t

2 m0

Iнтеґруємо друге рiвняння:

a0 i~ dt

1

2i~

b =

Z

m

+ const =

ln 1 +

a0t + b0

1 +

2i~

a0t

2

m

m

1

ln "1 +

2~

2

# +

i

=

a0t

ϕ + b0,

4

m

2

2~

tg ϕ = m a0t.

Тепер для хвильової функцiї отримаємо:

ψ(x, t) =

1

(2πh(Δx)2i0)1/4

# −

m

exp (−

1

"1 +

2~

2

a0x2

+ iα)

×

ln

a0t

,

4

m

1 +

2~a0 t

2

251

де

	a2 2~ tx2
α =	0 m	− ϕ/2
	1 + 2~ma0 t 2

фаза, яку можна не враховувати, оскiльки хвильову функцiю визначаємо з точнiстю до довiльної фази. Отже, остаточно хвильову функцiю можна зобразити у виглядi хвильового пакета

ψ(x, t) =	1	exp −x2/4h(Δx)2i ,
	(2πh(Δx)2i)1/4

розмiри якого визначаються середньоквадратичним вiдхиленням

h(Δx)2i = h(Δx)2i0 +	~2t2
		.
	4m2h(Δx)2i0

Такий хвильовий пакет ми сконструювали ранiше (див. §3) при першому знайомствi з принципом суперпозицiї. Тепер ми одержали його з точного рiвняння Шрединґера. Як видно з цього виразу, хвильовий пакет розпливається з часом. Для того, щоб це розпливання було малим, необхiдно, щоб h(Δx)2i0 було достатньо вели-

ким, а це означає, що початковi розмiри пакета також повиннi бути значними. Ураховуючи, крiм того, що в законi розпливання пакета маса тiла є в знаменнику, бачимо, що для тiл макроскопiчних розмiрiв розпливання є надзвичайно малим. Для мiкрочастинок це розпливання є, навпаки, дуже великим. Наприклад, якщо по-

чатковi лiнiйнi розмiри пакета		2		i0		˚
		h(Δx)			1 A, то для електрона
через одну секунду, t = 1 сек,	величина					2			3
						(Δx)			10 км (!) (про
		p	ph				i

це вже також була мова).

Пiсля цих вступних зауважень переходимо до встановлення зв’язку мiж квантовими рiвняннями руху й класичними. Для цього усереднимо квантовi рiвняння руху частинки за станом, який описується хвильовим пакетом:

dtd hxi = hmpˆi,

dtd hpˆi = −h∂U∂x(x) i.

Якщо б у правiй частинi другого рiвняння замiсть величини h∂U(x)/∂xi стояла величина ∂U(hxi)/∂hxi, то ми мали б звичай-

нi класичнi рiвняння руху. Однак рiвностi мiж цими величинами

252

немає. Щоб з’ясувати умови, при яких така рiвнiсть виконується, розкладемо функцiю U(x) у ряд бiля точки hxi,

	U(x) =	U( x ) + U′( x )Δx +						1	U′′( x )(Δx)2
								2!
				h i	h i				h i
	+		1	U′′′( x )(Δx)3		+	· · ·	,
		3!
					h i

де x = x − hxi, а штрихи означають похiднi за hxi. Пiдставимо

цей вираз у друге усереднене квантове рiвняння руху i з урахуванням того, що h xi = 0, знаходимо

dhpi	=	−	U′( x )	U′′′(hxi)	(Δx)2	i	+	· · ·	.
dt			h i −	2	h

Якщо залишити в правiй частинi рiвняння лише перший доданок, то ми отримаємо класичне рiвняння Ньютона. Отже, решта доданкiв це квантовi поправки, якi є малими за умови, що

1
2	U′′′(hxi) h(Δx)2i		U′(hxi) .

Ця умова переходу вiд квантових рiвнянь руху до класичних, або, як її ще називають умова квазiкласичностi, виконуватиметься, якщо поле U = U(x) плавно змiнюється з координатою x,

а величина h(Δx)2i є достатньо малою. Якщо перша умова може бути виконана вибором функцiї U(x), то друга, узагалi кажучи, через деякий час t буде порушена внаслiдок розпливання паке-

та. Запобiгти цьому розпливанню можна лише великими значеннями iмпульсу частинки. Дiйсно, зi спiввiдношення невизначено-

стей Гайзенберґа h(Δx)2ih(				p)2i ≥ ~2/4 випливає, що для вико-
нання другої умови необхiднi великi значення h(							p)2i, а отже, i
				тодi чисто квантовомеханiчний дода-
самого iмпульсу p, оскiлькиc					2		/2m
нок (	p)	2	/2m в кiнетичнiй енерґiї частинки
					pˆ	i	c	буде малим
h	c		i	h

у порiвняннi з її класичною енерґiєю p2/2m. Зрозумiло, що при p

p = 2m(E − U(x)) = 0, тобто в класичних точках повороту,

умова квазiкласичностi “не працює”.

253

§ 29. Хвильова функцiя у квазiкласичному наближеннi.

Метод Вентцеля–Крамерса–Брiллюена

Поставимо тепер питання: як виглядає хвильова функцiя частинки при переходi до класичного опису її властивостей? Для цього потрiбно знайти наближений розв’язок рiвняння Шрединґера при ~ → 0. Використаємо метод, який одночасно розвинули

в1926 роцi Г. Вентцель, Г. А. Крамерс та Л. Брiллюен i який вiдомий тепер як метод ВКБ. Хоча слiд зазначити, що математичнi прийоми цього методу ще в 1912 роцi наводив лорд Дж. Релей для розв’язку задач поширення хвиль, а першi спроби застосувати їх до задач квантової фiзики належать Г. Джеффрiсовi (1923 р.).

Нехай частинка масою m рухається в одновимiрному просторi

вполi з потенцiальною енерґiєю U = U(x). Уважаємо, що по-

тенцiальна енерґiя не залежить вiд часу i нас цiкавить розв’язок стацiонарного рiвняння Шрединґера для хвильової функцiї ψ(x),

яку ми зобразимо у виглядi

ψ(x) = e~i σ(x).

Пiдстановка цього виразу в рiвняння Шрединґера

~2 d2ψ(x)

−2m dx2 + Uψ(x) = Eψ(x)

дає таке рiвняння для невiдомої функцiї σ = σ(x):

σ′2		~	σ′′ = E − U.
	+
2m		2mi

Тут штрихами ми позначили похiднi за координатою:

	dσ(x)	= σ′,	d2σ(x)	= σ′′.
	dx		dx2

Якщо в цьому рiвняннi формально покласти ~ = 0, то приходи-

мо до рiвняння Гамiльтона–Якобi в класичнiй механiцi для функцiї дiї σ, причому σ′ = p це iмпульс частинки. Цим ми вста-

новлюємо зв’язок мiж квантовим описом фiзичної системи мовою амплiтуди ймовiрностi та її класичном описом мовою функцiї дiї. Зауважимо, що величина σ = σ(x) є так званою вкороченою дiєю. Повна дiя S = S(x, t) залежить як вiд координати x, так i вiд часу t. У випадку, коли енерґiя зберiгається, тобто для стацiонарних станiв, повна дiя S(x, t) = −Et + σ(x).

254

Перейдемо до наближеного розв’язку рiвняння для σ. Припустимо, що величина σ є аналiтичною функцiєю сталої Планка ~, i розкладемо її в ряд за цим “малим параметром”:

~			~			2
σ = σ0 +		σ1	+			σ2 + · · · .
	i			i

Тут σ0 це класична дiя, а σ1, σ2, . . . квантовi поправки. Саме

цi квантовi поправки i цiкавлять нас. Рiвняння для них отримуємо з рiвнянь для σ шляхом прирiвнювання в ньому коефiцiєнтiв злiва i справа при однакових степенях незалежної “змiнної” ~/i. Маємо

таку систему рiвнянь1:

		σ′	2
	0			= E − U,
		2m
						σ′′
						0
	σ′		σ′		+		= 0,
	0			1		2

. . . . . . . . . . . . . . . .

З першого рiвняння

p

σ0′ = ± 2m[E − U(x)].

Уведемо класичний iмпульс частинки p

p = p(x) = 2m[E − U(x)].

Дослiдимо її рух у класично доступнiй областi, коли p є дiйсною

величиною. Тодi

σ′	=	±	p,
0
а
σ0 = ± Z	p dx + const.

Тепер з другого рiвняння маємо

2pσ1′ + p′ = 0

або

σ′ = − p′ .

1 2p

1Див. вiдступ наприкiнцi цього параграфа.

255

Iнтеґруємо:

σ1 = −12 ln p + const.

Ми обмежимось урахуванням лише першої квантової поправ-

ки:

ψ(x)

e

i

(σ0+ ~i σ1) = const e±

i

R p dx− 21 ln p =

const

e±

i

R p dx.

~

~

~

√

p

Загальний розв’язок беремо у виглядi лiнiйної комбiнацiї цих двох можливих розв’язкiв:

ψ(x) = √C1pe+ ~i R p dx + √C2pe− ~i R p dx,

де C1, C2 сталi нормування. Як бачимо, iмовiрнiсть перебування частинки в околi точки x

|ψ(x)|2 1p.

Це пояснюється просто: час перебування частинки в околi dx точки x обернено пропорцiйний до її iмпульсу.

Якщо E < U(x), тобто розглядається класично недоступна

область, то величина

p

p = i|p| = i 2m[U(x) − E]

є чисто уявною i хвильова функцiя

	C′		e−	1	R |p| dx +	C′		1	R |p| dx.
ψ(x) =	1			~		2		e~
	p					p
		|p|					|p|

Повернемось до початкового рiвняння для функцiї σ i дослi-

димо умову застосовностi розв’язкiв, якi ми знайшли. Для того, щоб квантовi поправки були малими, очевидно, необхiдно, щоб

~σ′′

1

або

d ~

1.

σ′2

dx σ′

Оскiльки σ′ p,

то

маємо

~

d

dx

p

1.

256

Нагадаємо зв’язок мiж iмпульсом частинки та довжиною хвилi де Бройля λ = 2π~/p, i отримуємо

	1 dλ
	2π dx				1.

Умова застосовностi квазiкласичного опису полягає у слабкiй залежностi λ вiд координати x.

Можна навести ще один вираз для умови квазiкласичностi через класичну силу F = −∂U/∂x. Отже,

d ~

~ dp

dx

p

1

або

p2

dx

1,

далi

~

−

1

dU

p2

√2m

2√

dx

1,

E U

i таким чином,

m~

p3 |F | 1,

p3 m~|F |.

Тобто iмпульс частинки не повинен бути малим. Зокрема, при p = 0 , коли E − U(x) = 0, тобто у класичних точках поворо-

ту, квазiкласичне наближення не застосовне ми повиннi точно розв’язувати рiвняння Шрединґера.

Приклад. Хвильова функцiя в околi класичної точки повороту. Для частинки, що рухається в одновимiрному просторi в полi з потенцiальною енерґiєю U = U(x) в околi класичної точки повороту x = x0, оператор Гамiльтона

ˆ	pˆ2	′	(x0)(x − x0).
H =	2m	+ U(x0) + U

Ми обмежуємось тут лiнiйними членами розкладу функцiї U(x) бiля точки x0, у якiй, за означенням, U(x0) = E, де E повна енерґiя частинки. Тепер наша задача стає подiбною до проблеми |x|-осцилятора з §24, тому, як i

там, запишемо рiвняння Шрединґера для хвильової функцiї в iмпульсному зображеннi C(p), коли pˆ = p, а xˆ = i~ d/dp:

p2 + U′(x0)i~ d C(p) = U′(x0)x0C(p). 2m dp

257

Переписавши це рiвняння у виглядi

dC(p	= i	p2		x
)			−	0
dp		2m~U′(x0)		~

бачимо, що воно легко iнтеґрується:

C(p) = C exp i	p3
		−
	6m~U′(x0)

C(p),

i	,
~ px0

C стала нормування. У координатному зображеннi хвильова функцiя

	∞ eipx/~
ψ(x) =	Z	√		C(p) dp.
			2π~

−∞

Урахуємо, що внесок непарної функцiї, якою є синус (ми розписуємо експоненту пiд знаком iнтеґрала за формулою Ейлера), в iнтеґрал iз симетричними межами дорiвнює нулевi, i знаходимо

2C

∞

p3

p

− x0) dp.

ψ(x) =

√

Z0

cos

+

(x

6m~U′(x0)

~

2π~

Замiна змiнної iнтеґрування

остаточно дає

p = q 6m~U′(x0) 1/3

ψ(x) = A Z∞cos(q3 + qz)dq,

0

де A стала нормування, а величина

z =

mU′(x

)

1/3

6

0

(x − x0).

~2

Це так званий iнтеґрал, або функцiя Ейрi, з якою ми вже мали справу в §24. З уваги на те, що ця функцiя виникла в теорiї райдуги, де вона дає кутовий розподiл iнтенсивностi певного кольору, її називають також функцiєю, або iнтеґралом, райдуги. На вiдмiну вiд теорiї Рене Декарта (1596–1650), яку вiн створив ще в 1638 роцi, у теорiї англiйського астронома Є. Б. Ейрi (1801–1892)

загасання iнтенсивностi певного кольору (пропорцiйної до |ψ|2) є осцилюючою

функцiєю кута спостереження. Зауважимо, що теорiєю райдуги займались також Дж. Є. Стокс (1819–1903) та А. Ф. Мебiус (1790–1868). Цiкаво також знати, що добре розвинутi сучаснi методи квазiкласичного наближення знайшли застосування у квантовiй теорiї розсiяння та в теорiї райдуги, де вони дають надзвичайно цiкаву тонку структуру спектра кольорiв.

258

Вiдступ.

Оскiльки фундаментальна константа ~ має певне значення, виникає питання про справедливiсть знайдених рiвнянь для поправок до класичної функцiї дiї. Адже для їх встановлення ми вважаємо, що ~ є незалежною величиною, яка може набувати будь-якi дiйснi додатнi значення. А це у свою чергу означає, що ми припускаємо iснування неперервного ряду Свiтiв, у яких реалiзу-

ється одне зi значень ~. У нашiй “Бульбашцi” ~ = 1.05457266 · 10−27 г·см2/сек.

Чому саме таке значення вибрала Аспiрантка, що запускала експериментальну установку, на якiй синтезувався наш Свiт, вiдповiсти важко. Можна лише дивуватись, наскiльки тонко та прецизiйно вона пiдiбрала фундаментальнi

фiзичнi константи, якi й дозволили реалiзувати наше iснування2. Як один iз

прикладiв, проаналiзуємо “налаштування” спектра мас елементарних частинок.

Розглянемо атом водню. Електрон, що рухається навколо ядра, тобто протона, має ненульову ймовiрнiсть побувати в ядрi, коли момент кiлькостi руху електрона дорiвнює нулевi (його хвильова функцiя s-стану при r = 0 вiдмiн-

на вiд нуля). Таким чином, можлива реакцiя p + e− → n + ν, що призвело

би до нестабiльностi атома водню, тобто його вiдсутностi у Всесвiтi, а отже, вiдсутностi ядерного палива в зiрках i, як наслiдок, вiдсутностi Нас з Вами спостерiгачiв. Однак така реакцiя заборонена з енерґетичних мiркувань. Процес не йде тому, що mp + me < mn (позначення очевиднi, крiм того, множник

c2 бiля маси для простоти запису опускаємо i беремо граничний випадок, коли

нейтрино виносить нульову енерґiю). Отже,

me < m,

m = mn − mp,

m = 1.3 MeV.

Звiдси випливає, що для нашого з вами iснування необхiдно, щоб електрон був легшим, нiж 1.3 MeV. I вiн дiйсно є найлегшим з усiх частинок, що мають ненульову масу спокою. Щодо маси нейтрино, то цiєї проблеми ми торкались у виносцi до §7.

Цiкаво, що рiзниця мас нейтрона i протона m є меншою, нiж рiзниця мас

частинок iнших мультиплетiв. У чому рiч? Давайте проаналiзуємо питання стабiльностi важкого водню дейтерiю. Виявляється, що його стабiльнiсть зумовлена тим, що нейтроновi не вигiдно розпадатись. Справдi, розпад n →

p+e− +ν¯ тут є неможливим, оскiльки цього не дозволяє енерґетичний баланс:

mn + mp + E < 2mp + me,

де E = −2.2 MeV енерґiя основного стану дейтерiю. Отже, m < −E + me,

або

m < 2.2 MeV + me,

тобто m < 2.7 MeV, що i реалiзується в нашому Всесвiтi. Якщо б m не

задовольняло цю нерiвнiсть, то шлях утворення важких елементiв через дейтерiй був би перекритим, а наслiдки очевиднi вiдсутнiсть спостерiгачiв.

2“Мудрець же фiзику провадив,

I толковав якихсь монадiв,

I думав, вiдкiль взявся свiт?”

Iван Котляревський. Енеїда. 1809.

259

Отже, Природа дуже тонко налаштувала вiдповiднi константи, зокрема маси частинок:

me < m < 2.2 MeV + me.

Достатньо порушити цi нерiвностi на долю вiдсотка m/mp, як Всесвiт у

такому виглядi, як ми спостерiгаємо, зникає разом з нами.

Застережень щодо iснування iнших Всесвiтiв, де є iншi закони Природи, iншi фундаментальнi константи, немає. Однак спостерiгачiв таких, як ми з вами, там також немає. У цьому i полягає антропний принцип. Утворення бiологiчних систем потребує макроскопiчного числа N складових, таких, як елементарнi частинки, атоми, молекули, для забезпечення N! комбiнацiй їх

“розташування”. Це своєю чергою є необхiдним для створення достатньої кiлькостi iнформацiї ln N! N ln(N/e), щоб могли iснувати такi функцiонально

складнi системи, як живi органiзми.

§ 30. Правило квантування Бора–Зоммерфельда

Перейдемо тепер до встановлення зв’язку мiж точними умовами квантування, зокрема енерґiї, через рiвняння Шрединґера з умовами квантування “старої квантової механiки”, вiдомими як умови квантування Бора–Зоммерфельда.

Розглянемо одновимiрний рух частинки з енерґiєю E в класично доступнiй областi, обмеженiй двома точками повороту, x1 ≤ x ≤ x2 (див. рис. 28). Дослiдимо спочатку рух частинки бiля правої точки повороту x = x2. Праворуч вiд неї x > x2, U(x) > E, i

хвильова функцiя

	C			1	x
			−	~	Rx2	|p| dx
ψ(x) = p
			e

2|p|

спадає зi зростанням x.

Лiворуч вiд точки повороту x < x2 у класично доступнiй обла-

стi маємо осцилюючi розв’язки:

	C1 e			i	x	C2 e−			i	x
ψ(x) =					Rx2 p dx +					Rx2 p dx.
				~					~
	√					√
		p					p

Виписанi хвильовi функцiї це розв’язок одного й того ж рiвняння Шрединґера для x > x2 та x < x2. Тому мiж сталими C1, C2 та C iснує зв’язок. Для його встановлення необхiдно перейти у хвильовiй функцiї вiд значень x, бiльших за x2, до значень, менших за x2. Однак здiйснити це неможливо тому, що довелось би перейти через точку повороту x2, де квазiкласичне наближення не пра-

цює. Тому бiля точки повороту потрiбно знайти точний розв’язок рiвняння Шрединґера (див. приклад до попереднього параграфа). Ми тут цього робити не будемо, а скористаємось таким трюком.

260