Мат. Анализ задание. Савастенко
.pdf5. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислить, на сколько квадратных сантиметров приблизительно увеличится площадь
круга радиуса 4 см, если этот радиус увеличить на 41 см.
ТЕМА 9. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Вопросы для повторения:
1.Определение производной n-ого порядка.
2.Формулы для производной второго порядка функции, заданной параметрическими уравнениями.
|
|
Задачи |
1. |
Дана функция = 1 − 3 − 4. Найти y (x) . |
|
2. |
Дана функция |
= 6 − 4 3 + 4. Найти f IV (1). |
3. |
Дана функция |
= arctg . Найти f (1) . |
4.Найти общее выражение для производной n-ого порядка, если:
1)= − ;
2)= 2 ;
3)= ∙ .
5.Доказать, что данная функция удовлетворяет соотношению:
1)= ∙ sin ; y 2y 2y 0;
2) = 4 + 2 − ; y 13y 12y 0.
6. Найти d 2 y , если: dx2
1)= + ;
2)ln − = 1;
3)+ = при x = 0.
dy
7.Найти dx2 , если:
1)= 2, = 3;
2)= cos , = sin ;
3)= ln , = 2 − 1.
8.Найти dy, d2y и d3y, если = (2 − 3)3.2
21
ТЕМА 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Вопросы для повторения:
1.Геометрический смысл производной.
2.Механический смысл производной.
Задачи
1. Написать уравнение касательной к кривой = 3 − 3 2 + 9 − 1
вточке M(1,6).
2.Найти угол наклона касательной к кривой = 3 в точке с абсцис-
сой x0 33 .
3.В какой точке касательная к параболе = −2 + 2 − 3 наклонена
коси Ox под углом 45°?
4. |
В какой точке касательная к кривой = ln параллельна прямой |
||||
= 2 − 3? |
|
|
|
|
|
5. |
Написать уравнение |
|
касательной к циклоиде = ( − sin ), |
||
= (1 − cos ) в точке M( t |
0 |
). |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Тело движется прямолинейно по закону |
|
= 1 + 2 + 2. Опреде- |
||
лить его скорость в момент времени t = 2. |
|
|
7.Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется формулой
= 3 + 2 мс . Какое ускорение будет иметь тело через 4 с после на-
чала движения? |
|
|||
|
8. Тело |
массой 100 кг движется прямолинейно по |
закону |
|
|
= 2 2 |
+ 3 + 1 (м). Определить кинетическую энергию ( |
m v2 |
) тела |
|
||||
|
|
2 |
|
через 5 с после начала движения.
9.Две материальные точки движутся по законам: 1 = 2 3 − 5 2 − −3 , 2 = 2 3 − 3 2 − 11 + 7. Найти ускорения этих точек в тот момент, когда их скорости равны.
10.Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:
1 = 2,5 2 − 6 + 1, 2 = 0,5 2 + 2 − 3. В какой момент времени скорость первой точки будет в 3 раза больше скорости второй?
22
11. Зависимость между количеством вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выражается формулой= (1 − − ). Определить скорость реакции.
ТЕМА 11. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ
Вопросы для повторения: |
|
|
|
1. Правила Лопиталя для неопределенностей вида |
0 |
и |
. |
|
|||
|
0 |
|
|
2.Основные приемы преобразований для неопределенностей вида
∞– ∞, 0 · ∞, 1∞, 00, ∞0.
Задачи
1. Найти указанные пределы функций:
1) lim ln ;
→1 − 1
2) lim 3 − 1 ;
→1 ln
3) lim − 1 ;
→1 − 1
4) lim tg − 1 ; →4 sin 4
5) lim ln ;
→+∞
6) lim 2 ;
→+∞
7) lim ln( 2 − 3) ; →2 2 + 3 − 10
8) lim − ln(1 + ) ;
→0 2
9)lim ln sin 2 . →0 ln sin
2.Раскрыть неопределенности вида ∞ – ∞ и 0 · ∞, преобразовав их
предварительно к неопределенностям вида |
0 |
и |
|
: |
|||||
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) lim( |
2 |
− |
3 |
); |
|
|
|
|
|
1 − 2 |
1 − 3 |
|
|
|
|
||||
→1 |
|
|
|
|
|
|
23
2) lim( |
1 |
− |
2 |
|
); |
|||
|
2 − 1 |
|||||||
→0 |
|
|
|
|||||
3) lim( |
1 |
− ctg ); |
|
|||||
|
|
|||||||
→0 |
|
|
|
|
|
|
||
4) lim( |
1 |
− |
ctg |
); |
||||
|
|
|||||||
→0 |
2 |
|
|
|
||||
5) lim |
ln ∙ ln( − 1); |
|||||||
→1+0 |
|
|
|
|
|
|
5) lim ( − 2 arctg ) ∙ ln .
→+∞
3. Раскрыть неопределенности вида 1∞, 00, ∞0, предварительно преобразовав их с помощью логарифмирования исходного выражения к неопре-
деленностям вида 0 · ∞, а затем к |
0 |
или |
|
: |
|||
|
|
||||||
0 |
|||||||
|
1 |
tg |
|
|
|
|
|
1) lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
→0 |
|
|
|
|
|
2) lim ln ctg tg ;
→0
3
3) lim cos2 2 ;
→0
4) lim sin .
→0
ТЕМА 12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Вопросы для повторения:
1.Формула Тейлора.
2.Формула Маклорена.
Задачи
1. Разложить многочлен f(x) по степеням x – x0, если:
1) |
= 3 + 4 2 − 6 − 8, |
0 |
= −1; |
2) |
= 5 − 3 4 + 7 + 2, |
0 |
= 2; |
|
|
|
2.Разложить по формуле Тейлора функцию f (x) 1x в точке 0 = 1.
3.Разложить по формуле Маклорена функцию f (x) sin2 x.
4. Пользуясь приближенной формулой |
ex 1 x |
x2 |
, |
найти значение |
|
||||
|
2 |
|
|
1 |
и оценить погрешность вычислений. |
|
4 e |
||
|
24
ТЕМА 13. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
КИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
ИПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
Вопросы для повторения:
1.Необходимое и достаточное условия монотонности функции.
2.Необходимое и достаточное условия экстремума.
3.Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
4.Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
5.Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции.
Задачи
1.Найти интервалы возрастания и убывания функций:
1)= 6 − 3 2 − 3;
2)= 4 − 2 2;
3)= ∙ ;
4)= ln( 2 − 2 + 4).
2.Найти экстремумы функций:
1) = 3 + 6 2 + 9 + 2;
|
|
(1 − 2)2 |
|||||||
2) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
; |
ln |
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
3) |
= |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
= |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
||||||||
1 + 2 |
|||||||||
|
3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке: |
||||||||
1) = 2 3 |
+ 3 2 − 12 + 1, [−1; 5]; |
||||||||
2) |
= |
− |
1 |
, 0; 4 . |
|||||
|
|
||||||||
+ |
1 |
4.Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
5.Нужно изготовить коническую воронку с образующей l. Какова должна быть высота H воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
25
6. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Числен-
ность популяции возрастает по закону p(t) 1000 1000t , где t – время,
100 t 2
ч. Найти максимальный размер этой популяции.
7.Скорость роста популяции x задана формулой = 0,001 100 − , когда время выражается в днях. При каком размере популяции эта скорость максимальна?
8.Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону
= 18 + 9 2 − 3, где S – путь, м, t – время, с. В какой момент времени t скорость υ движения точки будет наибольшей и какова величина этой наибольшей скорости?
9.Найти интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба графика функции:
1) = 3 − 6 2 + 9 + 5;
2) = 3 + 4 ;
4
1
3) = 2 − 4 ;
3
4) = 4 − 2.
10. Найти асимптоты графика функции:
2
1) = + 3 ;
6
2) = 2 − 16 ;
12 3) = 2 + 2 − 4 ;
|
2 |
|
|||
4) = |
|
; |
|
|
|
+ 4 |
|
||||
5) = |
2 + 8 − 6 |
; |
|||
|
|||||
|
|
||||
|
2 2 − 9 |
|
|||
6) = |
|
. |
|
||
+ 2 |
|
11. Исследовать функции и построить их графики:
2 + 1 1) = 2 − 1 ;
2) = ln 9 − 2 ;
3) = 2 ∙ − ;
4) = 2 + 1 ;
26
5)= ∙ ln ;
6)= 2 − 4.
ТЕМА 14. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вопросы для повторения:
1.Определения первообразной функции и неопределенного интеграла.
2.Основные свойства неопределенного интеграла.
3.Таблица простейших неопределенных интегралов.
4.Прием подведения функции под знак дифференциала.
5.Основные методы интегрирования.
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
1. Найти следующие интегралы: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
2 |
+ 9 |
|
|
|||||
2) |
|
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
− 16 |
|||||||
3) |
|
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 + 3 |
|
|
||||
4) |
(5 + 2) ; |
|||||||
|
4 |
+ 2 − 6 |
||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
510
6)− 4 3 ;
7)2 + 1 ;
8)( 3 + 2)2 ;
9) |
3 + |
|
4 − 2 |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 − 2 |
|
|
|
|
|||||
10) |
|
4 sin + 8 3 − |
11 |
|
; |
||||||
|
cos2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11) |
|
7 − |
8 |
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
12)5sh + 7 ch ;
|
|
|
2 |
|
|
||
13) |
sin |
|
|
; |
|
||
|
2 |
|
|||||
14) |
|
2 |
; |
|
|||
2 |
+ 1 |
|
|||||
15) |
|
2 |
; |
|
|||
2 |
− 9 |
|
|||||
16) |
|
4 |
; |
|
|||
2 |
+ 1 |
|
|||||
17) |
5 + sin3 |
. |
|||||
|
sin2 |
||||||
|
|
|
2. Используя прием подведения функции под знак дифференциала, найти следующие интегралы:
1)cos(4 − 3) ;
2)sin(5 − 3 ) ;
3)2 +7 ;
4)43−5 ;
5)(9 + 2)17 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
8 − 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) 3 + 4 ; |
|||||||||||||
8) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 2 − 25 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
4 2 + 1 |
|
|
|
||||||||||
10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
9 2 − 2 |
||||||||
11) |
2 |
|
2 + 1 |
; |
|||||||||
12) |
|
1 − 2 |
; |
||||||||||
13) |
sin3 ∙ cos ; |
||||||||||||
14) |
|
|
sin |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos2 |
|
|
28
15)ln ;
16) |
arctg4 |
|
; |
|
|
|
|
1 + 2 |
|
|
|
||
17) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
arcsin ∙ |
1 − 2 |
2
18)3 + 1 ;
19)+ 1 ;
20)ctg ;
|
|
|
|
|
sin 2 |
|||||||||||||||
21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
1 + cos2 |
||||||||||||||||||||
22) |
|
esin ∙ cos ; |
||||||||||||||||||
23) |
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
6 + 4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
3 − 1 |
||||||||||||||||||
24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
2 + 9 |
||||||||||||||||||
|
3. Используя метод замены переменной, найти следующие интегралы: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
∙ − 2 ; |
|||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 − 1 |
||||||||||||||||
|
∙ 3 |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
4) |
− 1 |
|||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
+ 1 |
||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 + |
29
2
10)4 + 1.
4.Используя метод интегрирования по частям, найти следующие инте-
гралы:
1)∙ sin 2 ;
2)( − 2) ∙ cos ;
3)∙ − ;
4)2 ∙ 4 ;
5)∙ arctg ;
6)arccos ;
7)( 2 + 4 ) ∙ ln ;
+ 2
8)sin2 ;
9)∙ cos2 .
ТЕМА 15. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Вопросы для повторения
1.Простейшие правильные рациональные дроби и их интегрирование.
2.Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших правильных рациональных дробей.
3.Способы нахождения неопределенных коэффициентов.
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
1. Разложить рациональную дробь в сумму простейших дробей: |
||||||
1) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ 1 |
( + 2)2 |
||||||
2) |
|
|
|
|
2 |
|
; |
+ 1 + 2 ( + 3) |
|||||||
|
2 |
+ 2 |
|
|
|||
3) |
|
|
|
; |
|
|
|
3 − 1 |
|
|
|
||||
4) |
2 |
+ 2 |
. |
|
|
|
|
4 |
− 1 |
|
|
|
|
2. Найти следующие интегралы:
30