Мат. Анализ задание. Савастенко
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
( − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 − 4 + 8 |
|
|
|
||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 + 6 + 10 |
|
||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 + + 1 |
|
|
|
|
|||||||
6) |
|
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
2 − 8 + 25 |
|
||||||||||
7) |
|
|
+ 2 |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
2 + 3 + 5 |
|
||||||||||
8) |
|
|
2 − 3 |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
( − 5)( + 2) |
|||||||||||
9) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 + 2 |
|
|
|
|
|
||||||
10) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 − 8 |
|
|
|
|
|
|||||
11) |
|
|
( + 2) |
; |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
( 2 − 1)( 2 + 1) |
||||||||||
12) |
|
5 + 4 − 8 |
. |
|
|||||||
|
|
3 − 4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ТЕМА 16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Вопросы для повторения:
1.Основные формулы тригонометрии.
2.Типы тригонометрических функций и методы их интегрирования.
Задачи
1.Найти интегралы:
1)sin 3 ∙ sin 7 ;
31
2)sin 4 ∙ cos5 ;
3)cos2 ∙ cos6 ;
4)cos ∙ cos3 ∙ sin 5 .
2.Используя прием подведения функции под знак дифференциала, найти следующие интегралы:
1)sin7 ∙ cos ;
2) |
|
|
cos |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 + sin2 |
|
|
|
||
3) |
|
cos |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin2 − 9 |
|
|
|
||||
4) |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|||||
|
3tg2 + 5 |
cos2 |
3. Найти интегралы:
1)cos3 ;
2)sin5 ;
3)sin2 3 ;
4) cos4 2 ;
5) sin3 ∙ cos2 ;
6) sin2 ∙ cos4 .
4. Найти интегралы:
1) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||
2 |
+ 3 cos |
|||||
2) |
|
cos |
; |
|
||
|
|
|
|
|
||
1 |
+ cos |
|
||||
3) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
+ sin |
|
32
4) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
− 7 cos |
2 |
|
|||||||
|
4 sin |
|
|
|
|
|||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
4 sin − 3 cos − 5 |
||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
||
6) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
sin − cos2 |
|
|
|
|
|
|
||||
7) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin + 2 cos 2 |
|
|
|||||||
8) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin |
1 + cos |
|
|
|
|
ТЕМА 17. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для повторения: |
|
1. Основные методы интегрирования иррациональных функций. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
1. Найти следующие интегралы: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
+ 2 + 5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 2 + 4 + 5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 − 2 − 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
− 2 |
|||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
− 10 + 29 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 + |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
6) |
|
|
|
; |
||||||||
1 + 4 |
|
|
||||||||||
3 |
1− 2
7);
2
4− 2
8);
33
9) ;
2 ∙ 2 + 1
10) ;
∙ 2 − 1
11) .
4 + 2 3
ТЕМА 18. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Вопросы для повторения:
1.Определение определенного интеграла и его основные свойства.
2.Метод замены переменной в определенном интеграле.
3.Метод интегрирования по частям.
4.Приложения определенного интеграла в геометрии и физике.
Задачи
1. Вычислить следующие интегралы:
1
1)2 + 1 ;
−1 0
2)−2 ;
−1
3)sin 4 ;
0
3
4)2 3 + 2 − 5 ;
−2 2
5)3 + 4 ;
0
3
6)sin 2 ∙ cos 2 ;
0
34
2
7)sin2 2 ;
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
8) |
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 + 1 2 |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||
9) |
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 2 + 1 3 |
|
||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin |
|
||||||
10) |
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 − cos 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
cos |
|
|
|
|||||
11) |
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
− 1 |
|
|
|
1
2. Используя метод замены переменной, вычислить следующие интегралы:
|
4 |
1) |
; |
2 + 4
1
7
2)49 − 2 ;
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
2 + 6 + 8 |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
4) |
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 + |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
|
|
; |
|
||||
0 |
1 + |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
35
2
6)− 1 ;
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
+ 2 + 9 |
||||
−2 |
|
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|||||||
8) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
04 −
3.Используя метод интегрирования по частям, вычислить следующие2
интегралы:
1
1)− ;
0
2)2 ln ;
1
1
3)arcsin ;
0
2
4)∙ cos .
0
4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)= 2; = 2 − 2;
2) 2 = 2 + 1; − − 1 = 0; 3) = ; = −; = 1.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ox и одной аркой циклоиды = 2 − sin , = 2 1 − cos .
6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией = sin 3 .
7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
= 1 − cos .
8.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:
1)= 4; = 1; = 4; = 0; ;
2) = 3; = 2; = 0; и ; 3) = 2; 4 − = 0; .
36
9. Найти объем тела, полученного при вращении одной арки циклоиды
= − sin , = 1 − cos вокруг оси Ox. 10. Найти длину дуги кривой:
1) |
2 = 3, отсеченной прямой x = |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= ∙ cos , |
= ∙ sin от |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
= 0 до |
2 |
= ln . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси |
|||||||||||
Ox дуги линии = ∙ sin t , |
= ∙ cos от = 0 |
до |
|
= |
|
. |
||||||
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
12.Найти путь, пройденный точкой за четвертую секунду, зная скорость ее прямолинейного движения = 3 2 − 2 − 3(м с).
13.Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее останов-
ки, зная скорость ее прямолинейного движения = 18 − 6 2 м с .
ТЕМА 19. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вопросы для повторения:
1.Интегралы с одним или двумя бесконечными пределами и их вычисление.
2.Интегралы от неограниченных функций и их вычисление.
Задачи
1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
+∞
1)−4 ;
0 +∞
2)−2 ;
0 +∞
3
3) ;
0 +∞
16 4 + 1
4) |
|
|
|
; |
|
3 |
|
||
|
ln |
|
0
5)cos 3 ;
−∞
37
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2 + 6 + 12 |
|||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2. Исследовать на сходимость интегралы: |
||||||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 + 4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
+ cos2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи- |
||||||||||||||
мость: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
− 2 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
0 |
1 − cos2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5)ln ;
0
0
6)
3
−4
.
4 + 3
ТЕМА 20. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ СХОДИМОСТЬ
Вопросы для повторения:
1.Определение числового ряда и его суммы.
2.Необходимое условие сходимости числовых рядов.
38
3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
4.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
5.Абсолютная и условная сходимость знакочередующегося ряда.
Задачи
1.Записать первые 5 членов ряда по заданному общему члену:
1)= 2 + 1 ;
+ 1
2)= ∙ 2 ;
+ 3
3)= ! .
2.Записать формулу общего члена ряда:
1) 1 + 1 + 1 + 1 + ;
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
3 |
|
4 |
4 |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
2) − |
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− ; |
|||||||||||||
2 |
4 |
6 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||
3) 1 − |
1 |
|
+ |
1 |
− |
1 |
|
|
+ ; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
5 |
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4) |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
+ ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 ∙ 2 |
2 ∙ 3 |
3 ∙ 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
+ . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
201 |
401 |
601 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. Найти сумму ряда: |
||||||||||||||||||||||||||||||
1) 1 + |
1 |
|
+ |
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
+ ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
16 |
64 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2) 1 + |
2 |
|
+ |
4 |
+ |
8 |
|
+ ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
9 |
|
27 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
∞ |
7 − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1
4.Исследовать сходимость ряда, используя следствие из необходимого
признака сходимости числового ряда:
∞4 − 3
1)5 + 2 ;
=1
∞
2)
=1
3
4 + 1 ;
39
∞ |
|
|
2 + 5 |
|||
|
|
|
||||
3) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||
=1 |
|
16 2 |
− 7 + 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
+ 1 |
|
|
|||
4) |
|
|
; |
|
|
|
− 1 |
|
|
||||
=2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 − 1 |
|
|
|||
5) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
2 |
|
|||
=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
+ 1 |
|
|||
6) |
|
|
. |
|||
|
+ 3 |
|||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
5. С помощью признаков сравнения исследовать на сходимость ряд: |
||||||
∞ |
1 |
|
|
|
||
1) |
|
; |
|
|||
|
|
|||||
3 + 2 |
|
|||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
||
2) |
|
; |
|
|||
|
|
|||||
2 + 6 |
|
=1
∞1
3)ln ;
=2
4)∞ 2 + 4 + 3 ;3 + 1
=1
∞2 + + 1
5)3 4 + 2 + 2 .
=1
6.Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
|
∞ |
1 |
|
|
|
1) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|||
|
|
2 − 1 5 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
2) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
3 |
2 + 1 |
|
=1
∞4
3)3 ;
=1
40