104

−Qy −q y dx +Qy +dQy = 0 ,

M z +Qy dx +qy dx dx2 −M z −d M z = 0 .

Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, получим дифференциальные зависимости

	dQy		= qy (x);	d M	z	= Qy .
	dx			dx
В рассмотренном примере			qy (x)= 0 и, следовательно, на каждом участке
Qy = const . Из второго выражения следует,					что		M z имеет линейную зави-
симость от координаты x , что и имеет место. При							qy (x)≠ 0 зависимости носят

более сложный характер.

5.3. Механические напряжения в материале. Нормальные и касательные напряжения

Внутренние силы являются следствием сил взаимодействия молекул (атомов) в сечениях элементов конструкций. Это взаимодействие в различных точках сечения оказываются различными. Для упрощения атомномолекулярным строением вещества пренебрегается, а его строение полагается сплошным. Силы взаимодействия считаются непрерывно распределенными по сечению.

Для характеристики распределения внутренних сил около некоторой точки

С сечения с координатами y и	z выделяется площадка A, к которой
приложен вектор внутренних сил	R (рис. 5.7).

105

			y
	τy x		Qy	R
	A			p
				σx
	Qz		N
		C
	τz x		O	x

z

Рис. 5.7

Под напряжением понимается интенсивность внутренних сил, действующая в каждой точке поперечного сечения.

Вектор

pr = Lim	R
A→0	A

называется полным механическим напряжением в точке С данного сечения, который является характеристикой прочности материала. Составляющую вектора pr по нормали N x ,отнесенную к площади сечения A называют нормальным напряжением σх , а составляющие к площадке Qy ,Qz , деленные

на	площадь сечения		A–	касательными напряжениями τyx ,	τzx .	Их связь
выражается формулой
			p = σ2x + τ2yx + τ2zx = σ2x + τ2 ,
где τ =		τ2yx +τ2zx .
	Единица измерения напряжений: 1 Па=1Н/м2 .
	Если направление		Rr	совпадает с направлением нормали к сечению, то
r	r	τyx = τzx = τ	= 0 ,	то есть касательные напряжения	на	площадке
p	= σ;

106

отсутствуют. Такое нормальное напряжение является главным напряжением, а площадка, на которой действует это напряжение – главной площадкой в данной точке.

Нормальное и касательные напряжения распределены по сечению и являются функциями координат y и z , то есть σх = σх (y, z); τ = τ(y, z).

Располагая нормальными и касательными напряжениями, нетрудно найти все внутренние силовые факторы по формулам:

N x = ∫σх dA; Qy = ∫τyх dA; Qz = ∫τzх dA ;
(A)	(A)	(A)
M y = ∫σх z dA;	M z = ∫σх y dA ;	Tx = ∫(τzх y −τyх z)dA.
(A)	(A)	(A)

Для решения обратной задачи – нахождения напряжений по заданным внутренним силовым факторам – необходимы дополнительные сведения об особенностях деформирования и использования законов, связывающих внутренние силовые факторы с деформациями.

5.4. Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали. Закон Гука.

На практике связь между силами и деформациями определяется экспериментально. Однако получение связи между шестью основными факторами в сечении и соответствующими деформациями представляет сложную задачу. Поэтому экспериментальные зависимости находятся для простых видов деформации, например, для растяжения (сжатия).

При статических испытаниях на растяжение используются стандартные

образцы	из определенного материала с расчетной длиной l0	и диаметром d0
(обычно	l0 =10d0 ) (рис. 5.8, а). Выбор l0 обусловлен	необходимостью

исключения влияния местных деформаций. К концам образца прикладывается продольная сила F , образец растягивается и измеряется расстояние между

′	, A		′′	.	Величина l =l −l0 называется абсолютным удлинением, а величина
A
ε =			l		– относительным удлинением или линейной деформацией. Отношение
		l0

107

πd 2

силы F к площади сечения A0 = 40 , называется условным напряжением, то

есть σ = F .

A0

На рис. 5.8, б представлены результаты испытания образцов из углеродистой стали в виде диаграммы растяжения с координатами σ, ε, которые пропорциональны соответственно F и l . Диаграмма состоит из характерных участков.

а)

′	′′
A
	A

l0

б) σ,F

σвр				E
			K	N
		C D
	A	B

σт σy σпр

α

О	L M K	ε, l
	ε	εy

ε

Рис. 5.8

На линейном участке ОА имеет место прямая пропорциональность напряжений σ и относительных деформаций ε в виде

108

σ= E ε , E = μσ tgα,

με

установленная еще Р. Гуком в 1660 г. и носит название закона Гука. Величина Е называется модулем продольной упругости, зависит от

материала и определяется по углу наклона α участка ОА с учетом масштабов по осям координат μσ и με . Максимальное напряжение σпр в точке А этого участка называется пределом пропорциональности. На криволинейном участке после точки А до точки В напряжение уже не пропорционально деформации и отстоит от точки А на небольшое расстояние, поэтому напряжение в этой точке принимают в качестве предела упругости σy . На участке CD диаграмма носит почти горизонтальный характер, который называется участком текучести, а

соответствующее напряжение σт – пределом текучести. На криволинейном участке DE материал снова приобретает способность к сопротивлению, то есть происходит его упрочнение. В точке Е имеет место максимальное условное напряжение σвр , называемое пределом прочности или временным сопротивлением. В этой точке в некотором сечении, имеющем наибольшее число внутренних дефектов и дефектов поверхности, появляется местное сужение (шейка). Площадь сечения быстро уменьшается и вследствие этого удлинение происходит даже при уменьшении силы. В точке N происходит разрыв образца.

Диаграмма позволяет определить наиболее характерные величины напряжений для данного материала: предел пропорциональности σпр , предел упругости σy , предел текучести σт и временное сопротивление σвр . Измеряя длину l1 и диаметр шейки образца d1 после разрыва, находят важные характеристики пластичности материала: относительное остаточное удлинение

εr = l1 −l0 100% l0

и остаточное относительное сужение

109

ψr = A0 − A1 100%.

A0

Эти характеристики приводятся в соответствующих справочниках. Так, для стали Ст 3 σпр = 210 МПа, σт =230 МПа, σвр = 380 МПа, ψr =55%,

E = 2,1 105 МПа .

Процессу нагружения соответствует прямая KL , параллельная ОА. Отрезок OL определяет пластическую деформацию образца, а LM – упругую. После разгрузки образца и последующего нагружения, диаграмме растяжения будет соответствовать OLKEN , то есть произойдет качественное изменение материала: возрастает участок пропорциональности, исчезает зона текучести. Эта особенность называется наклепом, которая часто используется в технике, в частности, для поверхностного упрочнения материалов в технологии (обстрел корпусных листов судов дробью), при вытяжке электропроводов перед установкой на столбы и т.п.

При статических испытания образцов из хрупких материалов, например, чугуна, диаграмма растяжения имеет качественно отличный характер. Разрыв образца происходит внезапно при малых деформациях и без образования шейки. Закон Гука выполняется приближенно, а максимальное напряжение σвр

при разрыве называется пределом прочности. К хрупким материалам относятся чугуны, инструментальные стали, бетон, стекло.

Статические испытания на сжатие показывают, что диаграмма сжатия хрупких материалов аналогична диаграмме растяжения, однако предел прочности на сжатие σвр значительно больше предела прочности при растяжении σпр . Диаграмма сжатия пластичного материала примерно аналогична диаграмме растяжения до точки D , а затем кривая идет круто вверх. При этом разрушение не наступает, а происходит сплющивание. Пределы текучести при растяжении пластичных материалов одинаковы.

При динамических испытаниях величины максимальной силы растяжения и сжатия равны. Относя эти силы к площади, получают условные напряжения σ,