Пример 11.	Из выборки в 15 элементов	нормальной	генеральной
совокупности	найдены оценки математического ожидания		m* =-1.5 и
несмещенной дисперсии s2= 1.21. Найти точность		оценки математического
ожидания и	доверительный интервал, соответствующие доверительной
вероятности	β= 0.98.

Определить эти же величины для выборки в 40 элементов, если оценки оказались такими же.

Решение. Истинные математическое ожидание m и дисперсия σ 2 данного нормального распределения не известны, поэтому воспользуемся

	формулами ε=tβ	s	и Iβ=(m*-ε; m*+ε)= (m* −tβ	s	; m* + tβ	s	) ,
				n		n
		n

где ε - предельная ошибка, Iβ - доверительный интервал, соответствующий

доверительной вероятности β,

tβ- значения квантиля распределения Стьюдента для числа степеней

свободы, k=n-1.

В данной задаче число степеней свободы k=14, а доверительная вероятность β=0.98. По таблице 10 приложения значений квантилей распределения Стьюдента находится tβ=2.62449. Тогда предельная ошибка

ε=2.62449 1.2115 ≈ 0.75 и доверительный интервал I0.98 =(-1.5-0.75;-1.5+0.75) =

(-2.25;-0.75). Полученный результат позволяет утверждать, что с вероятностью 0.98 математическое ожидание рассматриваемой случайной величины принадлежит интервалу (-2.25;-0.75).

При выборке 40 элементов в связи с тем, что с увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к

	нормальному, воспользуемся формулами	ε=	σ	zβ для вычисления
			n

предельной ошибки оценки математического ожидания и Iβ=(m*-ε; m*+ε) = (m*- σn zβ;m*+ σn zβ) длявычислениядоверительногоинтервала.

	В этих формулах zβ	находится как корень уравнения Ф(zβ)=	1 + β	по
			2

таблицам значений нормированной функции распределения нормального закона. zβ называется квантилью порядка 1 +2 β нормированного нормального распределения.

Вычислив 1 + β =1 + 0.98 = 0.99, входим с этим значением функции в таблицу

2 2

и находим её аргумент, равный 2.327.

	Таким образом, точность оценки ε=	1.21	2.327 ≈ 0.405 , а
		40

доверительный интервал I0.98=(-1.5–0.405;-1.5+0.405) = (-1.905; -1.045).

Заметим, что увеличение объема выборки существенно сузило доверительный интервал.